MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rex2dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rex2dom 9279
Description: A set that has at least 2 different members dominates ordinal 2. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
rex2dom ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 2o𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rex2dom
StepHypRef Expression
1 elex 3498 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 prssi 4825 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴)
3 df2o3 8512 . . . . . . . 8 2o = {∅, 1o}
4 0ex 5312 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 → ∅ ∈ V)
6 1oex 8514 . . . . . . . . . 10 1o ∈ V
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 → 1o ∈ V)
8 vex 3481 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦𝑥 ∈ V)
10 vex 3481 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦𝑦 ∈ V)
12 1n0 8524 . . . . . . . . . . 11 1o ≠ ∅
1312necomi 2992 . . . . . . . . . 10 ∅ ≠ 1o
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 → ∅ ≠ 1o)
15 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦𝑥𝑦)
165, 7, 9, 11, 14, 15en2prd 9086 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦 → {∅, 1o} ≈ {𝑥, 𝑦})
173, 16eqbrtrid 5182 . . . . . . 7 (𝑥𝑦 → 2o ≈ {𝑥, 𝑦})
18 endom 9017 . . . . . . 7 (2o ≈ {𝑥, 𝑦} → 2o ≼ {𝑥, 𝑦})
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑥𝑦 → 2o ≼ {𝑥, 𝑦})
20 domssr 9037 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ 2o ≼ {𝑥, 𝑦}) → 2o𝐴)
21203expib 1121 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ 2o ≼ {𝑥, 𝑦}) → 2o𝐴))
222, 19, 21syl2ani 607 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝑦) → 2o𝐴))
2322expd 415 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → 2o𝐴)))
2423rexlimdvv 3209 . . 3 (𝐴 ∈ V → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → 2o𝐴))
251, 24syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → 2o𝐴))
2625imp 406 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 2o𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  Vcvv 3477  wss 3962  c0 4338  {cpr 4632   class class class wbr 5147  1oc1o 8497  2oc2o 8498  cen 8980  cdom 8981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-suc 6391  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-1o 8504  df-2o 8505  df-en 8984  df-dom 8985
This theorem is referenced by:  1sdom2dom  9280  1sdom  9281
  Copyright terms: Public domain W3C validator