MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rex2dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rex2dom 9282
Description: A set that has at least 2 different members dominates ordinal 2. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
rex2dom ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 2o𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rex2dom
StepHypRef Expression
1 elex 3501 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 prssi 4821 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴)
3 df2o3 8514 . . . . . . . 8 2o = {∅, 1o}
4 0ex 5307 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 → ∅ ∈ V)
6 1oex 8516 . . . . . . . . . 10 1o ∈ V
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 → 1o ∈ V)
8 vex 3484 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦𝑥 ∈ V)
10 vex 3484 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦𝑦 ∈ V)
12 1n0 8526 . . . . . . . . . . 11 1o ≠ ∅
1312necomi 2995 . . . . . . . . . 10 ∅ ≠ 1o
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 → ∅ ≠ 1o)
15 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦𝑥𝑦)
165, 7, 9, 11, 14, 15en2prd 9088 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦 → {∅, 1o} ≈ {𝑥, 𝑦})
173, 16eqbrtrid 5178 . . . . . . 7 (𝑥𝑦 → 2o ≈ {𝑥, 𝑦})
18 endom 9019 . . . . . . 7 (2o ≈ {𝑥, 𝑦} → 2o ≼ {𝑥, 𝑦})
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑥𝑦 → 2o ≼ {𝑥, 𝑦})
20 domssr 9039 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ 2o ≼ {𝑥, 𝑦}) → 2o𝐴)
21203expib 1123 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ 2o ≼ {𝑥, 𝑦}) → 2o𝐴))
222, 19, 21syl2ani 607 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝑦) → 2o𝐴))
2322expd 415 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → 2o𝐴)))
2423rexlimdvv 3212 . . 3 (𝐴 ∈ V → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → 2o𝐴))
251, 24syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → 2o𝐴))
2625imp 406 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 2o𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  {cpr 4628   class class class wbr 5143  1oc1o 8499  2oc2o 8500  cen 8982  cdom 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-suc 6390  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-1o 8506  df-2o 8507  df-en 8986  df-dom 8987
This theorem is referenced by:  1sdom2dom  9283  1sdom  9284
  Copyright terms: Public domain W3C validator