Theorem rex2dom 9144

Description: A set that has at least 2 different members dominates ordinal 2. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rex2dom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦) → 2o ≼ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rex2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3458	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		prssi 4772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴)
3		df2o3 8399	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
4		0ex 5247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ∅ ∈ V)
6		1oex 8401	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 1o ∈ V)
8		vex 3441	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 ∈ V)
10		vex 3441	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 ∈ V)
12		1n0 8409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ≠ ∅
13	12	necomi 2983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ≠ 1o
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ∅ ≠ 1o)
15		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 ≠ 𝑦)
16	5, 7, 9, 11, 14, 15	en2prd 8976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → {∅, 1o} ≈ {𝑥, 𝑦})
17	3, 16	eqbrtrid 5128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 2o ≈ {𝑥, 𝑦})
18		endom 8908	. . . . . . 7 ⊢ (2o ≈ {𝑥, 𝑦} → 2o ≼ {𝑥, 𝑦})
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 2o ≼ {𝑥, 𝑦})
20		domssr 8928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ 2o ≼ {𝑥, 𝑦}) → 2o ≼ 𝐴)
21	20	3expib 1122	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ 2o ≼ {𝑥, 𝑦}) → 2o ≼ 𝐴))
22	2, 19, 21	syl2ani 607	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 2o ≼ 𝐴))
23	22	expd 415	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 2o ≼ 𝐴)))
24	23	rexlimdvv 3189	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦 → 2o ≼ 𝐴))
25	1, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦 → 2o ≼ 𝐴))
26	25	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦) → 2o ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  {cpr 4577   class class class wbr 5093  1_oc1o 8384  2_oc2o 8385   ≈ cen 8872   ≼ cdom 8873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2537  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-suc 6317  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-1o 8391  df-2o 8392  df-en 8876  df-dom 8877

This theorem is referenced by:  1sdom2dom  9145  1sdom  9146