Theorem rex2dom 9160

Description: A set that has at least 2 different members dominates ordinal 2. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rex2dom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦) → 2o ≼ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rex2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3453	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		prssi 4759	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴)
3		df2o3 8410	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
4		0ex 5236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ∅ ∈ V)
6		1oex 8412	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 1o ∈ V)
8		vex 3436	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 ∈ V)
10		vex 3436	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 ∈ V)
12		1n0 8420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ≠ ∅
13	12	necomi 2989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ≠ 1o
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ∅ ≠ 1o)
15		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 ≠ 𝑦)
16	5, 7, 9, 11, 14, 15	en2prd 8991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → {∅, 1o} ≈ {𝑥, 𝑦})
17	3, 16	eqbrtrid 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 2o ≈ {𝑥, 𝑦})
18		endom 8923	. . . . . . 7 ⊢ (2o ≈ {𝑥, 𝑦} → 2o ≼ {𝑥, 𝑦})
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 2o ≼ {𝑥, 𝑦})
20		domssr 8943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ 2o ≼ {𝑥, 𝑦}) → 2o ≼ 𝐴)
21	20	3expib 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ 2o ≼ {𝑥, 𝑦}) → 2o ≼ 𝐴))
22	2, 19, 21	syl2ani 613	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 2o ≼ 𝐴))
23	22	expd 416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 2o ≼ 𝐴)))
24	23	rexlimdvv 3196	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦 → 2o ≼ 𝐴))
25	1, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦 → 2o ≼ 𝐴))
26	25	imp 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦) → 2o ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  {cpr 4564   class class class wbr 5079  1_oc1o 8395  2_oc2o 8396   ≈ cen 8887   ≼ cdom 8888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-mo 2543  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-suc 6323  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-1o 8402  df-2o 8403  df-en 8891  df-dom 8892

This theorem is referenced by:  1sdom2dom  9161  1sdom  9162