MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rex2dom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rex2dom 9277
Description: A set that has at least 2 different members dominates ordinal 2. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
rex2dom ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 2o𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rex2dom
StepHypRef Expression
1 elex 3492 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 prssi 4829 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴)
3 df2o3 8501 . . . . . . . 8 2o = {∅, 1o}
4 0ex 5311 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 → ∅ ∈ V)
6 1oex 8503 . . . . . . . . . 10 1o ∈ V
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 → 1o ∈ V)
8 vex 3477 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦𝑥 ∈ V)
10 vex 3477 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦𝑦 ∈ V)
12 1n0 8515 . . . . . . . . . . 11 1o ≠ ∅
1312necomi 2992 . . . . . . . . . 10 ∅ ≠ 1o
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 → ∅ ≠ 1o)
15 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦𝑥𝑦)
165, 7, 9, 11, 14, 15en2prd 9079 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦 → {∅, 1o} ≈ {𝑥, 𝑦})
173, 16eqbrtrid 5187 . . . . . . 7 (𝑥𝑦 → 2o ≈ {𝑥, 𝑦})
18 endom 9006 . . . . . . 7 (2o ≈ {𝑥, 𝑦} → 2o ≼ {𝑥, 𝑦})
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑥𝑦 → 2o ≼ {𝑥, 𝑦})
20 domssr 9026 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ 2o ≼ {𝑥, 𝑦}) → 2o𝐴)
21203expib 1119 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ 2o ≼ {𝑥, 𝑦}) → 2o𝐴))
222, 19, 21syl2ani 605 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑥𝑦) → 2o𝐴))
2322expd 414 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → 2o𝐴)))
2423rexlimdvv 3208 . . 3 (𝐴 ∈ V → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → 2o𝐴))
251, 24syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦 → 2o𝐴))
2625imp 405 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 2o𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  wne 2937  wrex 3067  Vcvv 3473  wss 3949  c0 4326  {cpr 4634   class class class wbr 5152  1oc1o 8486  2oc2o 8487  cen 8967  cdom 8968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-suc 6380  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-1o 8493  df-2o 8494  df-en 8971  df-dom 8972
This theorem is referenced by:  1sdom2dom  9278  1sdom  9279
  Copyright terms: Public domain W3C validator