Theorem rex2dom 9282

Description: A set that has at least 2 different members dominates ordinal 2. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rex2dom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦) → 2o ≼ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rex2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3501	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		prssi 4821	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴)
3		df2o3 8514	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
4		0ex 5307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ∅ ∈ V)
6		1oex 8516	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 1o ∈ V)
8		vex 3484	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 ∈ V)
10		vex 3484	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦 ∈ V)
12		1n0 8526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ≠ ∅
13	12	necomi 2995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ≠ 1o
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ∅ ≠ 1o)
15		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 ≠ 𝑦)
16	5, 7, 9, 11, 14, 15	en2prd 9088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → {∅, 1o} ≈ {𝑥, 𝑦})
17	3, 16	eqbrtrid 5178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 2o ≈ {𝑥, 𝑦})
18		endom 9019	. . . . . . 7 ⊢ (2o ≈ {𝑥, 𝑦} → 2o ≼ {𝑥, 𝑦})
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → 2o ≼ {𝑥, 𝑦})
20		domssr 9039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ 2o ≼ {𝑥, 𝑦}) → 2o ≼ 𝐴)
21	20	3expib 1123	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐴 ∧ 2o ≼ {𝑥, 𝑦}) → 2o ≼ 𝐴))
22	2, 19, 21	syl2ani 607	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 2o ≼ 𝐴))
23	22	expd 415	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ 𝑦 → 2o ≼ 𝐴)))
24	23	rexlimdvv 3212	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦 → 2o ≼ 𝐴))
25	1, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦 → 2o ≼ 𝐴))
26	25	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝑦) → 2o ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {cpr 4628   class class class wbr 5143  1_oc1o 8499  2_oc2o 8500   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-suc 6390  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-1o 8506  df-2o 8507  df-en 8986  df-dom 8987

This theorem is referenced by:  1sdom2dom  9283  1sdom  9284