MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brdomi 8507
Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
brdomi (𝐴𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem brdomi
StepHypRef Expression
1 reldom 8502 . . . 4 Rel ≼
21brrelex2i 5577 . . 3 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
3 brdomg 8506 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
42, 3syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
54ibi 270 1 (𝐴𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wex 1781  wcel 2112  Vcvv 3444   class class class wbr 5033  1-1wf1 6325  cdom 8494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-dm 5533  df-rn 5534  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-dom 8498
This theorem is referenced by:  2dom  8569  xpdom2  8599  domunsncan  8604  sucdom2  8614  fodomr  8656  domssex  8666  hartogslem1  8994  infdifsn  9108  acndom  9466  acndom2  9469  fictb  9660  fin23lem41  9767  iundom2g  9955  pwfseq  10079  omssubadd  31666
  Copyright terms: Public domain W3C validator