Theorem brdomi 8897

Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Avoid ax-un 7679. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
brdomi	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem brdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8890	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex12i 5674	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3		brdom2g 8895	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
5	4	ibi 268	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   class class class wbr 5073  –1-1→wf1 6483   ≼ cdom 8882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-pr 5363

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-br 5074  df-opab 5136  df-xp 5625  df-rel 5626  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-dom 8886

This theorem is referenced by:  domssl  8936  domssr  8937  2dom  8968  undom  8994  xpdom2  9001  domunsncan  9006  dom0  9034  fodomr  9057  domssex  9067  domtrfil  9117  sucdom2  9128  sdom1  9151  1sdom2dom  9155  infn0  9203  fodomfir  9229  hartogslem1  9448  infdifsn  9570  acndom  9965  acndom2  9968  fictb  10158  fin23lem41  10266  iundom2g  10454  pwfseq  10579  omssubadd  34493