MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brdomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brdomi 8999
Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Avoid ax-un 7755. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
brdomi (𝐴𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem brdomi
StepHypRef Expression
1 reldom 8991 . . . 4 Rel ≼
21brrelex12i 5740 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3 brdom2g 8996 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
42, 3syl 17 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
54ibi 267 1 (𝐴𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wex 1779  wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  1-1wf1 6558  cdom 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-dom 8987
This theorem is referenced by:  domssl  9038  domssr  9039  2dom  9070  undom  9099  xpdom2  9107  domunsncan  9112  sucdom2OLD  9122  dom0  9142  fodomr  9168  domssex  9178  domtrfil  9232  sucdom2  9243  sdom1  9278  1sdom2dom  9283  infn0  9340  fodomfir  9368  hartogslem1  9582  infdifsn  9697  acndom  10091  acndom2  10094  fictb  10284  fin23lem41  10392  iundom2g  10580  pwfseq  10704  omssubadd  34302
  Copyright terms: Public domain W3C validator