Theorem brdomi 8952

Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Avoid ax-un 7732. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
brdomi	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem brdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8945	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex12i 5716	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3		brdom2g 8950	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
4	2, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
5	4	ibi 270	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5109  –1-1→wf1 6533   ≼ cdom 8937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-xp 5667  df-rel 5668  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-dom 8941

This theorem is referenced by:  domssl  8991  domssr  8992  2dom  9023  undom  9049  xpdom2  9056  domunsncan  9061  dom0  9089  fodomr  9112  domssex  9122  domtrfil  9172  sucdom2  9183  sdom1  9206  1sdom2dom  9210  infn0  9258  fodomfir  9283  hartogslem1  9500  infdifsn  9622  acndom  10031  acndom2  10034  fictb  10223  fin23lem41  10331  iundom2g  10519  pwfseq  10644  omssubadd  34690