Theorem brdomi 8901

Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Avoid ax-un 7684. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
brdomi	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem brdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8894	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex12i 5681	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3		brdom2g 8899	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
5	4	ibi 267	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  –1-1→wf1 6491   ≼ cdom 8886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5632  df-rel 5633  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-dom 8890

This theorem is referenced by:  domssl  8940  domssr  8941  2dom  8972  undom  8998  xpdom2  9005  domunsncan  9010  dom0  9038  fodomr  9061  domssex  9071  domtrfil  9121  sucdom2  9132  sdom1  9155  1sdom2dom  9159  infn0  9207  fodomfir  9233  hartogslem1  9452  infdifsn  9573  acndom  9968  acndom2  9971  fictb  10161  fin23lem41  10269  iundom2g  10457  pwfseq  10582  omssubadd  34464