Theorem brdomi 8998

Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Avoid ax-un 7754. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
brdomi	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem brdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8990	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex12i 5744	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3		brdom2g 8995	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
5	4	ibi 267	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  –1-1→wf1 6560   ≼ cdom 8982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-rel 5696  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-dom 8986

This theorem is referenced by:  domssl  9037  domssr  9038  2dom  9069  undom  9098  xpdom2  9106  domunsncan  9111  sucdom2OLD  9121  dom0  9141  fodomr  9167  domssex  9177  domtrfil  9230  sucdom2  9241  sdom1  9276  1sdom2dom  9281  infn0  9338  fodomfir  9366  hartogslem1  9580  infdifsn  9695  acndom  10089  acndom2  10092  fictb  10282  fin23lem41  10390  iundom2g  10578  pwfseq  10702  omssubadd  34282