Theorem brdomi 8617

Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brdomi	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem brdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8610	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5591	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		brdomg 8616	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
5	4	ibi 270	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209  ∃wex 1787   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398   class class class wbr 5039  –1-1→wf1 6355   ≼ cdom 8602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-dm 5546  df-rn 5547  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-dom 8606

This theorem is referenced by:  2dom  8685  xpdom2  8718  domunsncan  8723  sucdom2  8733  fodomr  8775  domssex  8785  hartogslem1  9136  infdifsn  9250  acndom  9630  acndom2  9633  fictb  9824  fin23lem41  9931  iundom2g  10119  pwfseq  10243  omssubadd  31933