Theorem brdomi 8999

Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.) Avoid ax-un 7755. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
brdomi	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem brdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8991	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex12i 5740	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3		brdom2g 8996	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
5	4	ibi 267	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  –1-1→wf1 6558   ≼ cdom 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-dom 8987

This theorem is referenced by:  domssl  9038  domssr  9039  2dom  9070  undom  9099  xpdom2  9107  domunsncan  9112  sucdom2OLD  9122  dom0  9142  fodomr  9168  domssex  9178  domtrfil  9232  sucdom2  9243  sdom1  9278  1sdom2dom  9283  infn0  9340  fodomfir  9368  hartogslem1  9582  infdifsn  9697  acndom  10091  acndom2  10094  fictb  10284  fin23lem41  10392  iundom2g  10580  pwfseq  10704  omssubadd  34302