Theorem brdomi 8313

Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brdomi	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem brdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8308	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5456	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		brdomg 8312	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
5	4	ibi 259	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198  ∃wex 1742   ∈ wcel 2048  Vcvv 3412   class class class wbr 4927  –1-1→wf1 6183   ≼ cdom 8300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pr 5184  ax-un 7277

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ral 3090  df-rex 3091  df-rab 3094  df-v 3414  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-nul 4178  df-if 4349  df-sn 4440  df-pr 4442  df-op 4446  df-uni 4711  df-br 4928  df-opab 4990  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-dm 5414  df-rn 5415  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-dom 8304

This theorem is referenced by:  2dom  8375  xpdom2  8404  domunsncan  8409  fodomr  8460  domssex  8470  sucdom2  8505  hartogslem1  8797  infdifsn  8910  acndom  9267  acndom2  9270  fictb  9461  fin23lem41  9568  iundom2g  9756  pwfseq  9880  omssubadd  31194