Theorem ssdomg 8741

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5242	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		f1oi 6737	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
4		dff1o3 6706	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
5	3, 4	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴))
6	5	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴
7		fof 6672	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴
9		fss 6601	. . . . . 6 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
10	8, 9	mpan 686	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
11		funi 6450	. . . . . . 7 ⊢ Fun I
12		cnvi 6034	. . . . . . . 8 ⊢ ◡ I = I
13	12	funeqi 6439	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡ I ↔ Fun I )
14	11, 13	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡ I
15		funres11 6495	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡ I → Fun ◡( I ↾ 𝐴))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun ◡( I ↾ 𝐴)
17		df-f1 6423	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
18	10, 16, 17	sylanblrc 589	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
20		f1dom2g 8712	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
21	1, 2, 19, 20	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22	21	expcom 413	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   I cid 5479  ^◡ccnv 5579   ↾ cres 5582  Fun wfun 6412  ⟶wf 6414  –1-1→wf1 6415  –onto→wfo 6416  –1-1-onto→wf1o 6417   ≼ cdom 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-dom 8693

This theorem is referenced by:  cnvct  8778  ssct  8793  undom  8800  xpdom3  8810  domunsncan  8812  sucdom2  8822  0domg  8840  domtriord  8859  sdomel  8860  sdomdif  8861  onsdominel  8862  pwdom  8865  2pwuninel  8868  mapdom1  8878  mapdom3  8885  limenpsi  8888  php  8897  php2  8898  php3  8899  nndomog  8904  onomeneq  8943  unbnn  9000  nnsdomg  9003  fodomfi  9022  fidomdm  9026  pwfilemOLD  9043  hartogslem1  9231  hartogs  9233  card2on  9243  wdompwdom  9267  wdom2d  9269  wdomima2g  9275  unxpwdom2  9277  unxpwdom  9278  harwdom  9280  r1sdom  9463  tskwe  9639  carddomi2  9659  cardsdomelir  9662  cardsdomel  9663  harcard  9667  carduni  9670  cardmin2  9688  infxpenlem  9700  ssnum  9726  acnnum  9739  fodomfi2  9747  inffien  9750  alephordi  9761  dfac12lem2  9831  djudoml  9871  cdainflem  9874  djuinf  9875  unctb  9892  infunabs  9894  infdju  9895  infdif  9896  infdif2  9897  infmap2  9905  ackbij2  9930  fictb  9932  cfslb  9953  fincssdom  10010  fin67  10082  fin1a2lem12  10098  axcclem  10144  dmct  10211  brdom3  10215  brdom5  10216  brdom4  10217  imadomg  10221  fnct  10224  mptct  10225  ondomon  10250  alephval2  10259  alephadd  10264  alephmul  10265  alephexp1  10266  alephsuc3  10267  alephexp2  10268  alephreg  10269  pwcfsdom  10270  cfpwsdom  10271  canthnum  10336  pwfseqlem5  10350  pwxpndom2  10352  pwdjundom  10354  gchaleph  10358  gchaleph2  10359  gchac  10368  winainflem  10380  gchina  10386  tsksdom  10443  tskinf  10456  inttsk  10461  inar1  10462  inatsk  10465  tskord  10467  tskcard  10468  grudomon  10504  gruina  10505  axgroth2  10512  axgroth6  10515  grothac  10517  hashun2  14026  hashss  14052  hashsslei  14069  isercoll  15307  o1fsum  15453  incexc2  15478  znnen  15849  qnnen  15850  rpnnen  15864  ruc  15880  phicl2  16397  phibnd  16400  4sqlem11  16584  vdwlem11  16620  0ram  16649  mreexdomd  17275  pgpssslw  19134  fislw  19145  cctop  22064  1stcfb  22504  2ndc1stc  22510  1stcrestlem  22511  2ndcctbss  22514  2ndcdisj2  22516  2ndcsep  22518  dis2ndc  22519  csdfil  22953  ufilen  22989  opnreen  23900  rectbntr0  23901  ovolctb2  24561  uniiccdif  24647  dyadmbl  24669  opnmblALT  24672  vitali  24682  mbfimaopnlem  24724  mbfsup  24733  fta1blem  25238  aannenlem3  25395  ppiwordi  26216  musum  26245  ppiub  26257  chpub  26273  dirith2  26581  upgrex  27365  rabfodom  30752  abrexdomjm  30753  mptctf  30954  locfinreflem  31692  esumcst  31931  omsmeas  32190  sibfof  32207  subfaclefac  33038  erdszelem10  33062  snmlff  33191  finminlem  34434  iccioo01  35425  isinf2  35503  pibt2  35515  phpreu  35688  lindsdom  35698  poimirlem26  35730  mblfinlem1  35741  abrexdom  35815  heiborlem3  35898  ctbnfien  40556  pellexlem4  40570  pellexlem5  40571  ttac  40774  idomodle  40937  idomsubgmo  40939  iscard5  41039  uzct  42500  smfaddlem2  44186  smfmullem4  44215  smfpimbor1lem1  44219  aacllem  46391