Theorem ssdomg 9060

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5341	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		f1oi 6900	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
4		dff1o3 6868	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
5	3, 4	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴))
6	5	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴
7		fof 6834	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴
9		fss 6763	. . . . . 6 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
10	8, 9	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
11		funi 6610	. . . . . . 7 ⊢ Fun I
12		cnvi 6173	. . . . . . . 8 ⊢ ◡ I = I
13	12	funeqi 6599	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡ I ↔ Fun I )
14	11, 13	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡ I
15		funres11 6655	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡ I → Fun ◡( I ↾ 𝐴))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun ◡( I ↾ 𝐴)
17		df-f1 6578	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
18	10, 16, 17	sylanblrc 589	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
20		f1dom2g 9029	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
21	1, 2, 19, 20	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22	21	expcom 413	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   I cid 5592  ^◡ccnv 5699   ↾ cres 5702  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  –1-1→wf1 6570  –onto→wfo 6571  –1-1-onto→wf1o 6572   ≼ cdom 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-dom 9005

This theorem is referenced by:  cnvct  9099  ssctOLD  9118  undomOLD  9126  xpdom3  9136  domunsncan  9138  sucdom2OLD  9148  0domgOLD  9167  domtriord  9189  sdomel  9190  sdomdif  9191  onsdominel  9192  pwdom  9195  2pwuninel  9198  mapdom1  9208  mapdom3  9215  limenpsi  9218  phpOLD  9285  php2OLD  9286  php3OLD  9287  nndomogOLD  9289  onomeneqOLD  9292  unbnn  9360  nnsdomgOLD  9364  fodomfiOLD  9398  fidomdm  9402  pwfilemOLD  9416  hartogslem1  9611  hartogs  9613  card2on  9623  wdompwdom  9647  wdom2d  9649  wdomima2g  9655  unxpwdom2  9657  unxpwdom  9658  harwdom  9660  r1sdom  9843  tskwe  10019  carddomi2  10039  cardsdomelir  10042  cardsdomel  10043  harcard  10047  carduni  10050  cardmin2  10068  infxpenlem  10082  ssnum  10108  acnnum  10121  fodomfi2  10129  inffien  10132  alephordi  10143  dfac12lem2  10214  djudoml  10254  cdainflem  10257  djuinf  10258  unctb  10273  infunabs  10275  infdju  10276  infdif  10277  infdif2  10278  infmap2  10286  ackbij2  10311  fictb  10313  cfslb  10335  fincssdom  10392  fin67  10464  fin1a2lem12  10480  axcclem  10526  dmct  10593  brdom3  10597  brdom5  10598  brdom4  10599  imadomg  10603  fnct  10606  mptct  10607  ondomon  10632  alephval2  10641  alephadd  10646  alephmul  10647  alephexp1  10648  alephsuc3  10649  alephexp2  10650  alephreg  10651  pwcfsdom  10652  cfpwsdom  10653  canthnum  10718  pwfseqlem5  10732  pwxpndom2  10734  pwdjundom  10736  gchaleph  10740  gchaleph2  10741  gchac  10750  winainflem  10762  gchina  10768  tsksdom  10825  tskinf  10838  inttsk  10843  inar1  10844  inatsk  10847  tskord  10849  tskcard  10850  grudomon  10886  gruina  10887  axgroth2  10894  axgroth6  10897  grothac  10899  hashun2  14432  hashss  14458  hashsslei  14475  isercoll  15716  o1fsum  15861  incexc2  15886  znnen  16260  qnnen  16261  rpnnen  16275  ruc  16291  phicl2  16815  phibnd  16818  4sqlem11  17002  vdwlem11  17038  0ram  17067  mreexdomd  17707  pgpssslw  19656  fislw  19667  cctop  23034  1stcfb  23474  2ndc1stc  23480  1stcrestlem  23481  2ndcctbss  23484  2ndcdisj2  23486  2ndcsep  23488  dis2ndc  23489  csdfil  23923  ufilen  23959  opnreen  24872  rectbntr0  24873  ovolctb2  25546  uniiccdif  25632  dyadmbl  25654  opnmblALT  25657  vitali  25667  mbfimaopnlem  25709  mbfsup  25718  fta1blem  26230  aannenlem3  26390  ppiwordi  27223  musum  27252  ppiub  27266  chpub  27282  dirith2  27590  upgrex  29127  rabfodom  32533  abrexdomjm  32535  mptctf  32731  locfinreflem  33786  esumcst  34027  omsmeas  34288  sibfof  34305  subfaclefac  35144  erdszelem10  35168  snmlff  35297  finminlem  36284  iccioo01  37293  isinf2  37371  pibt2  37383  phpreu  37564  lindsdom  37574  poimirlem26  37606  mblfinlem1  37617  abrexdom  37690  heiborlem3  37773  ctbnfien  42774  pellexlem4  42788  pellexlem5  42789  ttac  42993  idomodle  43152  idomsubgmo  43154  iscard5  43498  uzct  44965  rn1st  45183  smfaddlem2  46685  smfmullem4  46715  smfpimbor1lem1  46719  aacllem  48895