Theorem ssdomg 8538

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5191	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		f1oi 6627	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
4		dff1o3 6596	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
5	3, 4	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴))
6	5	simpli 487	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴
7		fof 6565	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴
9		fss 6501	. . . . . 6 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
10	8, 9	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
11		funi 6356	. . . . . . 7 ⊢ Fun I
12		cnvi 5967	. . . . . . . 8 ⊢ ◡ I = I
13	12	funeqi 6345	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡ I ↔ Fun I )
14	11, 13	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡ I
15		funres11 6401	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡ I → Fun ◡( I ↾ 𝐴))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun ◡( I ↾ 𝐴)
17		df-f1 6329	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
18	10, 16, 17	sylanblrc 593	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
19	18	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
20		f1dom2g 8510	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
21	1, 2, 19, 20	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22	21	expcom 417	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   I cid 5424  ^◡ccnv 5518   ↾ cres 5521  Fun wfun 6318  ⟶wf 6320  –1-1→wf1 6321  –onto→wfo 6322  –1-1-onto→wf1o 6323   ≼ cdom 8490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-dom 8494

This theorem is referenced by:  cnvct  8569  ssct  8581  undom  8588  xpdom3  8598  domunsncan  8600  sucdom2  8610  0domg  8628  domtriord  8647  sdomel  8648  sdomdif  8649  onsdominel  8650  pwdom  8653  2pwuninel  8656  mapdom1  8666  mapdom3  8673  limenpsi  8676  php  8685  php2  8686  php3  8687  nndomog  8692  onomeneq  8693  unbnn  8758  nnsdomg  8761  fodomfi  8781  fidomdm  8785  pwfilem  8802  hartogslem1  8990  hartogs  8992  card2on  9002  wdompwdom  9026  wdom2d  9028  wdomima2g  9034  unxpwdom2  9036  unxpwdom  9037  harwdom  9039  r1sdom  9187  tskwe  9363  carddomi2  9383  cardsdomelir  9386  cardsdomel  9387  harcard  9391  carduni  9394  cardmin2  9412  infxpenlem  9424  ssnum  9450  acnnum  9463  fodomfi2  9471  inffien  9474  alephordi  9485  dfac12lem2  9555  djudoml  9595  cdainflem  9598  djuinf  9599  unctb  9616  infunabs  9618  infdju  9619  infdif  9620  infdif2  9621  infmap2  9629  ackbij2  9654  fictb  9656  cfslb  9677  fincssdom  9734  fin67  9806  fin1a2lem12  9822  axcclem  9868  dmct  9935  brdom3  9939  brdom5  9940  brdom4  9941  imadomg  9945  fnct  9948  mptct  9949  ondomon  9974  alephval2  9983  alephadd  9988  alephmul  9989  alephexp1  9990  alephsuc3  9991  alephexp2  9992  alephreg  9993  pwcfsdom  9994  cfpwsdom  9995  canthnum  10060  pwfseqlem5  10074  pwxpndom2  10076  pwdjundom  10078  gchaleph  10082  gchaleph2  10083  gchac  10092  winainflem  10104  gchina  10110  tsksdom  10167  tskinf  10180  inttsk  10185  inar1  10186  inatsk  10189  tskord  10191  tskcard  10192  grudomon  10228  gruina  10229  axgroth2  10236  axgroth6  10239  grothac  10241  hashun2  13740  hashss  13766  hashsslei  13783  isercoll  15016  o1fsum  15160  incexc2  15185  znnen  15557  qnnen  15558  rpnnen  15572  ruc  15588  phicl2  16095  phibnd  16098  4sqlem11  16281  vdwlem11  16317  0ram  16346  mreexdomd  16912  pgpssslw  18731  fislw  18742  cctop  21611  1stcfb  22050  2ndc1stc  22056  1stcrestlem  22057  2ndcctbss  22060  2ndcdisj2  22062  2ndcsep  22064  dis2ndc  22065  csdfil  22499  ufilen  22535  opnreen  23436  rectbntr0  23437  ovolctb2  24096  uniiccdif  24182  dyadmbl  24204  opnmblALT  24207  vitali  24217  mbfimaopnlem  24259  mbfsup  24268  fta1blem  24769  aannenlem3  24926  ppiwordi  25747  musum  25776  ppiub  25788  chpub  25804  dirith2  26112  upgrex  26885  rabfodom  30274  abrexdomjm  30275  mptctf  30479  locfinreflem  31193  esumcst  31432  omsmeas  31691  sibfof  31708  subfaclefac  32536  erdszelem10  32560  snmlff  32689  finminlem  33779  iccioo01  34741  isinf2  34822  pibt2  34834  phpreu  35041  lindsdom  35051  poimirlem26  35083  mblfinlem1  35094  abrexdom  35168  heiborlem3  35251  ctbnfien  39759  pellexlem4  39773  pellexlem5  39774  ttac  39977  idomodle  40140  idomsubgmo  40142  iscard5  40242  uzct  41697  smfaddlem2  43397  smfmullem4  43426  smfpimbor1lem1  43430  aacllem  45329