Theorem ssdomg 8947

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5285	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		f1oi 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
4		dff1o3 6795	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
5	3, 4	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴))
6	5	simpli 484	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴
7		fof 6761	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴
9		fss 6690	. . . . . 6 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
10	8, 9	mpan 688	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
11		funi 6538	. . . . . . 7 ⊢ Fun I
12		cnvi 6099	. . . . . . . 8 ⊢ ◡ I = I
13	12	funeqi 6527	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡ I ↔ Fun I )
14	11, 13	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡ I
15		funres11 6583	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡ I → Fun ◡( I ↾ 𝐴))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun ◡( I ↾ 𝐴)
17		df-f1 6506	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
18	10, 16, 17	sylanblrc 590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
19	18	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
20		f1dom2g 8916	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
21	1, 2, 19, 20	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22	21	expcom 414	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3446   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110   I cid 5535  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640  Fun wfun 6495  ⟶wf 6497  –1-1→wf1 6498  –onto→wfo 6499  –1-1-onto→wf1o 6500   ≼ cdom 8888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-dom 8892

This theorem is referenced by:  cnvct  8985  ssctOLD  9003  undomOLD  9011  xpdom3  9021  domunsncan  9023  sucdom2OLD  9033  0domgOLD  9052  domtriord  9074  sdomel  9075  sdomdif  9076  onsdominel  9077  pwdom  9080  2pwuninel  9083  mapdom1  9093  mapdom3  9100  limenpsi  9103  phpOLD  9173  php2OLD  9174  php3OLD  9175  nndomogOLD  9177  onomeneqOLD  9180  unbnn  9250  nnsdomgOLD  9254  fodomfi  9276  fidomdm  9280  pwfilemOLD  9297  hartogslem1  9487  hartogs  9489  card2on  9499  wdompwdom  9523  wdom2d  9525  wdomima2g  9531  unxpwdom2  9533  unxpwdom  9534  harwdom  9536  r1sdom  9719  tskwe  9895  carddomi2  9915  cardsdomelir  9918  cardsdomel  9919  harcard  9923  carduni  9926  cardmin2  9944  infxpenlem  9958  ssnum  9984  acnnum  9997  fodomfi2  10005  inffien  10008  alephordi  10019  dfac12lem2  10089  djudoml  10129  cdainflem  10132  djuinf  10133  unctb  10150  infunabs  10152  infdju  10153  infdif  10154  infdif2  10155  infmap2  10163  ackbij2  10188  fictb  10190  cfslb  10211  fincssdom  10268  fin67  10340  fin1a2lem12  10356  axcclem  10402  dmct  10469  brdom3  10473  brdom5  10474  brdom4  10475  imadomg  10479  fnct  10482  mptct  10483  ondomon  10508  alephval2  10517  alephadd  10522  alephmul  10523  alephexp1  10524  alephsuc3  10525  alephexp2  10526  alephreg  10527  pwcfsdom  10528  cfpwsdom  10529  canthnum  10594  pwfseqlem5  10608  pwxpndom2  10610  pwdjundom  10612  gchaleph  10616  gchaleph2  10617  gchac  10626  winainflem  10638  gchina  10644  tsksdom  10701  tskinf  10714  inttsk  10719  inar1  10720  inatsk  10723  tskord  10725  tskcard  10726  grudomon  10762  gruina  10763  axgroth2  10770  axgroth6  10773  grothac  10775  hashun2  14293  hashss  14319  hashsslei  14336  isercoll  15564  o1fsum  15709  incexc2  15734  znnen  16105  qnnen  16106  rpnnen  16120  ruc  16136  phicl2  16651  phibnd  16654  4sqlem11  16838  vdwlem11  16874  0ram  16903  mreexdomd  17543  pgpssslw  19410  fislw  19421  cctop  22393  1stcfb  22833  2ndc1stc  22839  1stcrestlem  22840  2ndcctbss  22843  2ndcdisj2  22845  2ndcsep  22847  dis2ndc  22848  csdfil  23282  ufilen  23318  opnreen  24231  rectbntr0  24232  ovolctb2  24893  uniiccdif  24979  dyadmbl  25001  opnmblALT  25004  vitali  25014  mbfimaopnlem  25056  mbfsup  25065  fta1blem  25570  aannenlem3  25727  ppiwordi  26548  musum  26577  ppiub  26589  chpub  26605  dirith2  26913  upgrex  28106  rabfodom  31496  abrexdomjm  31497  mptctf  31702  locfinreflem  32510  esumcst  32751  omsmeas  33012  sibfof  33029  subfaclefac  33857  erdszelem10  33881  snmlff  34010  finminlem  34866  iccioo01  35871  isinf2  35949  pibt2  35961  phpreu  36135  lindsdom  36145  poimirlem26  36177  mblfinlem1  36188  abrexdom  36262  heiborlem3  36345  ctbnfien  41199  pellexlem4  41213  pellexlem5  41214  ttac  41418  idomodle  41581  idomsubgmo  41583  iscard5  41930  uzct  43393  rn1st  43623  smfaddlem2  45125  smfmullem4  45155  smfpimbor1lem1  45159  aacllem  47368