Theorem ssdomg 9038

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5328	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		f1oi 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
4		dff1o3 6854	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
5	3, 4	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴))
6	5	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴
7		fof 6820	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴
9		fss 6752	. . . . . 6 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
10	8, 9	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
11		funi 6599	. . . . . . 7 ⊢ Fun I
12		cnvi 6163	. . . . . . . 8 ⊢ ◡ I = I
13	12	funeqi 6588	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡ I ↔ Fun I )
14	11, 13	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡ I
15		funres11 6644	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡ I → Fun ◡( I ↾ 𝐴))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun ◡( I ↾ 𝐴)
17		df-f1 6567	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
18	10, 16, 17	sylanblrc 590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
20		f1dom2g 9008	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
21	1, 2, 19, 20	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22	21	expcom 413	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477   ⊆ wss 3962   class class class wbr 5147   I cid 5581  ^◡ccnv 5687   ↾ cres 5690  Fun wfun 6556  ⟶wf 6558  –1-1→wf1 6559  –onto→wfo 6560  –1-1-onto→wf1o 6561   ≼ cdom 8981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-dom 8985

This theorem is referenced by:  cnvct  9072  ssctOLD  9090  undomOLD  9098  xpdom3  9108  domunsncan  9110  sucdom2OLD  9120  0domgOLD  9139  domtriord  9161  sdomel  9162  sdomdif  9163  onsdominel  9164  pwdom  9167  2pwuninel  9170  mapdom1  9180  mapdom3  9187  limenpsi  9190  phpOLD  9256  php2OLD  9257  php3OLD  9258  nndomogOLD  9260  onomeneqOLD  9263  unbnn  9329  nnsdomgOLD  9333  fodomfiOLD  9367  fidomdm  9371  hartogslem1  9579  hartogs  9581  card2on  9591  wdompwdom  9615  wdom2d  9617  wdomima2g  9623  unxpwdom2  9625  unxpwdom  9626  harwdom  9628  r1sdom  9811  tskwe  9987  carddomi2  10007  cardsdomelir  10010  cardsdomel  10011  harcard  10015  carduni  10018  cardmin2  10036  infxpenlem  10050  ssnum  10076  acnnum  10089  fodomfi2  10097  inffien  10100  alephordi  10111  dfac12lem2  10182  djudoml  10222  cdainflem  10225  djuinf  10226  unctb  10241  infunabs  10243  infdju  10244  infdif  10245  infdif2  10246  infmap2  10254  ackbij2  10279  fictb  10281  cfslb  10303  fincssdom  10360  fin67  10432  fin1a2lem12  10448  axcclem  10494  dmct  10561  brdom3  10565  brdom5  10566  brdom4  10567  imadomg  10571  fnct  10574  mptct  10575  ondomon  10600  alephval2  10609  alephadd  10614  alephmul  10615  alephexp1  10616  alephsuc3  10617  alephexp2  10618  alephreg  10619  pwcfsdom  10620  cfpwsdom  10621  canthnum  10686  pwfseqlem5  10700  pwxpndom2  10702  pwdjundom  10704  gchaleph  10708  gchaleph2  10709  gchac  10718  winainflem  10730  gchina  10736  tsksdom  10793  tskinf  10806  inttsk  10811  inar1  10812  inatsk  10815  tskord  10817  tskcard  10818  grudomon  10854  gruina  10855  axgroth2  10862  axgroth6  10865  grothac  10867  hashun2  14418  hashss  14444  hashsslei  14461  isercoll  15700  o1fsum  15845  incexc2  15870  znnen  16244  qnnen  16245  rpnnen  16259  ruc  16275  phicl2  16801  phibnd  16804  4sqlem11  16988  vdwlem11  17024  0ram  17053  mreexdomd  17693  pgpssslw  19646  fislw  19657  cctop  23028  1stcfb  23468  2ndc1stc  23474  1stcrestlem  23475  2ndcctbss  23478  2ndcdisj2  23480  2ndcsep  23482  dis2ndc  23483  csdfil  23917  ufilen  23953  opnreen  24866  rectbntr0  24867  ovolctb2  25540  uniiccdif  25626  dyadmbl  25648  opnmblALT  25651  vitali  25661  mbfimaopnlem  25703  mbfsup  25712  fta1blem  26224  aannenlem3  26386  ppiwordi  27219  musum  27248  ppiub  27262  chpub  27278  dirith2  27586  upgrex  29123  rabfodom  32532  abrexdomjm  32534  mptctf  32734  locfinreflem  33800  esumcst  34043  omsmeas  34304  sibfof  34321  subfaclefac  35160  erdszelem10  35184  snmlff  35313  finminlem  36300  iccioo01  37309  isinf2  37387  pibt2  37399  phpreu  37590  lindsdom  37600  poimirlem26  37632  mblfinlem1  37643  abrexdom  37716  heiborlem3  37799  ctbnfien  42805  pellexlem4  42819  pellexlem5  42820  ttac  43024  idomodle  43179  idomsubgmo  43181  iscard5  43525  modelaxreplem1  44942  uzct  45002  rn1st  45218  smfaddlem2  46719  smfmullem4  46749  smfpimbor1lem1  46753  aacllem  49031