Theorem ssdomg 8996

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5324	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		f1oi 6872	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
4		dff1o3 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
5	3, 4	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴))
6	5	simpli 485	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴
7		fof 6806	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴
9		fss 6735	. . . . . 6 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
10	8, 9	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
11		funi 6581	. . . . . . 7 ⊢ Fun I
12		cnvi 6142	. . . . . . . 8 ⊢ ◡ I = I
13	12	funeqi 6570	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡ I ↔ Fun I )
14	11, 13	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡ I
15		funres11 6626	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡ I → Fun ◡( I ↾ 𝐴))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun ◡( I ↾ 𝐴)
17		df-f1 6549	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
18	10, 16, 17	sylanblrc 591	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
19	18	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
20		f1dom2g 8965	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
21	1, 2, 19, 20	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22	21	expcom 415	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149   I cid 5574  ^◡ccnv 5676   ↾ cres 5679  Fun wfun 6538  ⟶wf 6540  –1-1→wf1 6541  –onto→wfo 6542  –1-1-onto→wf1o 6543   ≼ cdom 8937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-dom 8941

This theorem is referenced by:  cnvct  9034  ssctOLD  9052  undomOLD  9060  xpdom3  9070  domunsncan  9072  sucdom2OLD  9082  0domgOLD  9101  domtriord  9123  sdomel  9124  sdomdif  9125  onsdominel  9126  pwdom  9129  2pwuninel  9132  mapdom1  9142  mapdom3  9149  limenpsi  9152  phpOLD  9222  php2OLD  9223  php3OLD  9224  nndomogOLD  9226  onomeneqOLD  9229  unbnn  9299  nnsdomgOLD  9303  fodomfi  9325  fidomdm  9329  pwfilemOLD  9346  hartogslem1  9537  hartogs  9539  card2on  9549  wdompwdom  9573  wdom2d  9575  wdomima2g  9581  unxpwdom2  9583  unxpwdom  9584  harwdom  9586  r1sdom  9769  tskwe  9945  carddomi2  9965  cardsdomelir  9968  cardsdomel  9969  harcard  9973  carduni  9976  cardmin2  9994  infxpenlem  10008  ssnum  10034  acnnum  10047  fodomfi2  10055  inffien  10058  alephordi  10069  dfac12lem2  10139  djudoml  10179  cdainflem  10182  djuinf  10183  unctb  10200  infunabs  10202  infdju  10203  infdif  10204  infdif2  10205  infmap2  10213  ackbij2  10238  fictb  10240  cfslb  10261  fincssdom  10318  fin67  10390  fin1a2lem12  10406  axcclem  10452  dmct  10519  brdom3  10523  brdom5  10524  brdom4  10525  imadomg  10529  fnct  10532  mptct  10533  ondomon  10558  alephval2  10567  alephadd  10572  alephmul  10573  alephexp1  10574  alephsuc3  10575  alephexp2  10576  alephreg  10577  pwcfsdom  10578  cfpwsdom  10579  canthnum  10644  pwfseqlem5  10658  pwxpndom2  10660  pwdjundom  10662  gchaleph  10666  gchaleph2  10667  gchac  10676  winainflem  10688  gchina  10694  tsksdom  10751  tskinf  10764  inttsk  10769  inar1  10770  inatsk  10773  tskord  10775  tskcard  10776  grudomon  10812  gruina  10813  axgroth2  10820  axgroth6  10823  grothac  10825  hashun2  14343  hashss  14369  hashsslei  14386  isercoll  15614  o1fsum  15759  incexc2  15784  znnen  16155  qnnen  16156  rpnnen  16170  ruc  16186  phicl2  16701  phibnd  16704  4sqlem11  16888  vdwlem11  16924  0ram  16953  mreexdomd  17593  pgpssslw  19482  fislw  19493  cctop  22509  1stcfb  22949  2ndc1stc  22955  1stcrestlem  22956  2ndcctbss  22959  2ndcdisj2  22961  2ndcsep  22963  dis2ndc  22964  csdfil  23398  ufilen  23434  opnreen  24347  rectbntr0  24348  ovolctb2  25009  uniiccdif  25095  dyadmbl  25117  opnmblALT  25120  vitali  25130  mbfimaopnlem  25172  mbfsup  25181  fta1blem  25686  aannenlem3  25843  ppiwordi  26666  musum  26695  ppiub  26707  chpub  26723  dirith2  27031  upgrex  28352  rabfodom  31743  abrexdomjm  31744  mptctf  31942  locfinreflem  32820  esumcst  33061  omsmeas  33322  sibfof  33339  subfaclefac  34167  erdszelem10  34191  snmlff  34320  finminlem  35203  iccioo01  36208  isinf2  36286  pibt2  36298  phpreu  36472  lindsdom  36482  poimirlem26  36514  mblfinlem1  36525  abrexdom  36598  heiborlem3  36681  ctbnfien  41556  pellexlem4  41570  pellexlem5  41571  ttac  41775  idomodle  41938  idomsubgmo  41940  iscard5  42287  uzct  43750  rn1st  43978  smfaddlem2  45480  smfmullem4  45510  smfpimbor1lem1  45514  aacllem  47848