Theorem ssdomg 8971

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		f1oi 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
4		dff1o3 6806	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
5	3, 4	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴))
6	5	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴
7		fof 6772	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴
9		fss 6704	. . . . . 6 ⊢ ((( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
10	8, 9	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵)
11		funi 6548	. . . . . . 7 ⊢ Fun I
12		cnvi 6114	. . . . . . . 8 ⊢ ◡ I = I
13	12	funeqi 6537	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡ I ↔ Fun I )
14	11, 13	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡ I
15		funres11 6593	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡ I → Fun ◡( I ↾ 𝐴))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun ◡( I ↾ 𝐴)
17		df-f1 6516	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵 ↔ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡( I ↾ 𝐴)))
18	10, 16, 17	sylanblrc 590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵)
20		f1dom2g 8941	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
21	1, 2, 19, 20	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≼ 𝐵)
22	21	expcom 413	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107   I cid 5532  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640  Fun wfun 6505  ⟶wf 6507  –1-1→wf1 6508  –onto→wfo 6509  –1-1-onto→wf1o 6510   ≼ cdom 8916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-dom 8920

This theorem is referenced by:  cnvct  9005  xpdom3  9039  domunsncan  9041  domtriord  9087  sdomel  9088  sdomdif  9089  onsdominel  9090  pwdom  9093  2pwuninel  9096  mapdom1  9106  mapdom3  9113  limenpsi  9116  unbnn  9243  nnsdomgOLD  9247  fodomfiOLD  9281  fidomdm  9285  hartogslem1  9495  hartogs  9497  card2on  9507  wdompwdom  9531  wdom2d  9533  wdomima2g  9539  unxpwdom2  9541  unxpwdom  9542  harwdom  9544  r1sdom  9727  tskwe  9903  carddomi2  9923  cardsdomelir  9926  cardsdomel  9927  harcard  9931  carduni  9934  cardmin2  9952  infxpenlem  9966  ssnum  9992  acnnum  10005  fodomfi2  10013  inffien  10016  alephordi  10027  dfac12lem2  10098  djudoml  10138  cdainflem  10141  djuinf  10142  unctb  10157  infunabs  10159  infdju  10160  infdif  10161  infdif2  10162  infmap2  10170  ackbij2  10195  fictb  10197  cfslb  10219  fincssdom  10276  fin67  10348  fin1a2lem12  10364  axcclem  10410  dmct  10477  brdom3  10481  brdom5  10482  brdom4  10483  imadomg  10487  fnct  10490  mptct  10491  ondomon  10516  alephval2  10525  alephadd  10530  alephmul  10531  alephexp1  10532  alephsuc3  10533  alephexp2  10534  alephreg  10535  pwcfsdom  10536  cfpwsdom  10537  canthnum  10602  pwfseqlem5  10616  pwxpndom2  10618  pwdjundom  10620  gchaleph  10624  gchaleph2  10625  gchac  10634  winainflem  10646  gchina  10652  tsksdom  10709  tskinf  10722  inttsk  10727  inar1  10728  inatsk  10731  tskord  10733  tskcard  10734  grudomon  10770  gruina  10771  axgroth2  10778  axgroth6  10781  grothac  10783  hashun2  14348  hashss  14374  hashsslei  14391  isercoll  15634  o1fsum  15779  incexc2  15804  znnen  16180  qnnen  16181  rpnnen  16195  ruc  16211  phicl2  16738  phibnd  16741  4sqlem11  16926  vdwlem11  16962  0ram  16991  mreexdomd  17610  pgpssslw  19544  fislw  19555  cctop  22893  1stcfb  23332  2ndc1stc  23338  1stcrestlem  23339  2ndcctbss  23342  2ndcdisj2  23344  2ndcsep  23346  dis2ndc  23347  csdfil  23781  ufilen  23817  opnreen  24720  rectbntr0  24721  ovolctb2  25393  uniiccdif  25479  dyadmbl  25501  opnmblALT  25504  vitali  25514  mbfimaopnlem  25556  mbfsup  25565  fta1blem  26076  aannenlem3  26238  ppiwordi  27072  musum  27101  ppiub  27115  chpub  27131  dirith2  27439  upgrex  29019  rabfodom  32434  abrexdomjm  32436  mptctf  32641  locfinreflem  33830  esumcst  34053  omsmeas  34314  sibfof  34331  subfaclefac  35163  erdszelem10  35187  snmlff  35316  finminlem  36306  iccioo01  37315  isinf2  37393  pibt2  37405  phpreu  37598  lindsdom  37608  poimirlem26  37640  mblfinlem1  37651  abrexdom  37724  heiborlem3  37807  ctbnfien  42806  pellexlem4  42820  pellexlem5  42821  ttac  43025  idomodle  43180  idomsubgmo  43182  iscard5  43525  modelaxreplem1  44968  uzct  45057  rn1st  45267  smfaddlem2  46762  smfmullem4  46792  smfpimbor1lem1  46796  aacllem  49790