Theorem dvdszrcl 16203

Description: Reverse closure for the divisibility relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdszrcl	⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))

Proof of Theorem dvdszrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dvds 16199	. . 3 ⊢ ∥ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
2		opabssxp 5723	. . 3 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)} ⊆ (ℤ × ℤ)
3	1, 2	eqsstri 3990	. 2 ⊢ ∥ ⊆ (ℤ × ℤ)
4	3	brel 5696	1 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  {copab 5164   × cxp 5629  (class class class)co 7369   · cmul 11049  ℤcz 12505   ∥ cdvds 16198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-dvds 16199

This theorem is referenced by:  dvdsmod0  16204  p1modz1  16205  dvdsmodexp  16206  dvdsaddre2b  16253  dvdsabseq  16259  divconjdvds  16261  evenelz  16282  4dvdseven  16319  dfgcd2  16492  dvdsmulgcd  16502  dvdsnprmd  16636  dvdszzq  16667  oddvdsi  19454  odmulg  19462  gexdvdsi  19489  dvdschrmulg  21414  nnproddivdvdsd  41961  lcmineqlem14  42003  aks6d1c6isolem3  42137  grpods  42155  nzss  44279  nzin  44280