MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdszrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdszrcl 16076
Description: Reverse closure for the divisibility relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdszrcl (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค))

Proof of Theorem dvdszrcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dvds 16072 . . 3 โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
2 opabssxp 5721 . . 3 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โŠ† (โ„ค ร— โ„ค)
31, 2eqsstri 3977 . 2 โˆฅ โŠ† (โ„ค ร— โ„ค)
43brel 5694 1 (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3072   class class class wbr 5104  {copab 5166   ร— cxp 5629  (class class class)co 7350   ยท cmul 10990  โ„คcz 12433   โˆฅ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5105  df-opab 5167  df-xp 5637  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  dvdsmod0  16077  p1modz1  16078  dvdsmodexp  16079  dvdsaddre2b  16124  dvdsabseq  16130  divconjdvds  16132  evenelz  16153  4dvdseven  16190  dfgcd2  16362  dvdsmulgcd  16371  dvdsnprmd  16501  oddvdsi  19262  odmulg  19269  gexdvdsi  19294  dvdszzq  31493  dvdschrmulg  31847  nnproddivdvdsd  40344  lcmineqlem14  40385  nzss  42330  nzin  42331
  Copyright terms: Public domain W3C validator