MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdszrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdszrcl 16207
Description: Reverse closure for the divisibility relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdszrcl (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค))

Proof of Theorem dvdszrcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dvds 16203 . . 3 โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
2 opabssxp 5768 . . 3 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โІ (โ„ค ร— โ„ค)
31, 2eqsstri 4016 . 2 โˆฅ โІ (โ„ค ร— โ„ค)
43brel 5741 1 (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆƒwrex 3069   class class class wbr 5148  {copab 5210   ร— cxp 5674  (class class class)co 7412   ยท cmul 11119  โ„คcz 12563   โˆฅ cdvds 16202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-dvds 16203
This theorem is referenced by:  dvdsmod0  16208  p1modz1  16209  dvdsmodexp  16210  dvdsaddre2b  16255  dvdsabseq  16261  divconjdvds  16263  evenelz  16284  4dvdseven  16321  dfgcd2  16493  dvdsmulgcd  16502  dvdsnprmd  16632  oddvdsi  19458  odmulg  19466  gexdvdsi  19493  dvdszzq  32289  dvdschrmulg  32651  nnproddivdvdsd  41173  lcmineqlem14  41214  nzss  43379  nzin  43380
  Copyright terms: Public domain W3C validator