Theorem dvdszrcl 16226

Description: Reverse closure for the divisibility relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdszrcl	⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))

Proof of Theorem dvdszrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dvds 16222	. . 3 ⊢ ∥ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
2		opabssxp 5723	. . 3 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)} ⊆ (ℤ × ℤ)
3	1, 2	eqsstri 3968	. 2 ⊢ ∥ ⊆ (ℤ × ℤ)
4	3	brel 5696	1 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  {copab 5147   × cxp 5629  (class class class)co 7367   · cmul 11043  ℤcz 12524   ∥ cdvds 16221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-dvds 16222

This theorem is referenced by:  dvdsmod0  16227  p1modz1  16228  dvdsmodexp  16229  dvdsaddre2b  16276  dvdsabseq  16282  divconjdvds  16284  evenelz  16305  4dvdseven  16342  dfgcd2  16515  dvdsmulgcd  16525  dvdsnprmd  16659  dvdszzq  16691  oddvdsi  19523  odmulg  19531  gexdvdsi  19558  dvdschrmulg  21508  nnproddivdvdsd  42439  lcmineqlem14  42481  aks6d1c6isolem3  42615  grpods  42633  nzss  44744  nzin  44745