![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvdszrcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Reverse closure for the divisibility relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdszrcl | โข (๐ โฅ ๐ โ (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-dvds 16200 | . . 3 โข โฅ = {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โง โ๐ง โ โค (๐ง ยท ๐ฅ) = ๐ฆ)} | |
2 | opabssxp 5768 | . . 3 โข {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โง โ๐ง โ โค (๐ง ยท ๐ฅ) = ๐ฆ)} โ (โค ร โค) | |
3 | 1, 2 | eqsstri 4016 | . 2 โข โฅ โ (โค ร โค) |
4 | 3 | brel 5741 | 1 โข (๐ โฅ ๐ โ (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 โwrex 3070 class class class wbr 5148 {copab 5210 ร cxp 5674 (class class class)co 7411 ยท cmul 11117 โคcz 12560 โฅ cdvds 16199 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-ext 2703 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5427 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-sb 2068 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3433 df-v 3476 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-br 5149 df-opab 5211 df-xp 5682 df-dvds 16200 |
This theorem is referenced by: dvdsmod0 16205 p1modz1 16206 dvdsmodexp 16207 dvdsaddre2b 16252 dvdsabseq 16258 divconjdvds 16260 evenelz 16281 4dvdseven 16318 dfgcd2 16490 dvdsmulgcd 16499 dvdsnprmd 16629 oddvdsi 19418 odmulg 19426 gexdvdsi 19453 dvdszzq 32059 dvdschrmulg 32421 nnproddivdvdsd 40952 lcmineqlem14 40993 nzss 43158 nzin 43159 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |