Theorem dvdszrcl 16453

Description: Reverse closure for the divisibility relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdszrcl	⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))

Proof of Theorem dvdszrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dvds 16449	. . 3 ⊢ ∥ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)}
2		opabssxp 5748	. . 3 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝑥) = 𝑦)} ⊆ (ℤ × ℤ)
3	1, 2	eqsstri 3959	. 2 ⊢ ∥ ⊆ (ℤ × ℤ)
4	3	brel 5720	1 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  {copab 5170   × cxp 5653  (class class class)co 7440   · cmul 11229  ℤcz 12717   ∥ cdvds 16448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-xp 5661  df-dvds 16449

This theorem is used by:  dvdsmod0  16454  p1modz1  16455  dvdsmodexp  16456  dvdsaddre2b  16503  dvdsabseq  16509  divconjdvds  16511  evenelz  16532  4dvdseven  16569  dfgcd2  16745  dvdsmulgcd  16756  dvdsnprmd  16891  dvdszzq  16923  oddvdsi  19789  odmulg  19797  gexdvdsi  19824  dvdschrmulg  21861  nnproddivdvdsd  43241  lcmineqlem14  43283  aks6d1c6isolem3  43417  grpods  43435  nzss  45491  nzin  45492