MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdszrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdszrcl 16075
Description: Reverse closure for the divisibility relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdszrcl (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค))

Proof of Theorem dvdszrcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dvds 16071 . . 3 โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
2 opabssxp 5720 . . 3 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โŠ† (โ„ค ร— โ„ค)
31, 2eqsstri 3976 . 2 โˆฅ โŠ† (โ„ค ร— โ„ค)
43brel 5693 1 (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5103  {copab 5165   ร— cxp 5628  (class class class)co 7349   ยท cmul 10989  โ„คcz 12432   โˆฅ cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5166  df-xp 5636  df-dvds 16071
This theorem is referenced by:  dvdsmod0  16076  p1modz1  16077  dvdsmodexp  16078  dvdsaddre2b  16123  dvdsabseq  16129  divconjdvds  16131  evenelz  16152  4dvdseven  16189  dfgcd2  16361  dvdsmulgcd  16370  dvdsnprmd  16500  oddvdsi  19262  odmulg  19269  gexdvdsi  19294  dvdszzq  31505  dvdschrmulg  31859  nnproddivdvdsd  40353  lcmineqlem14  40394  nzss  42361  nzin  42362
  Copyright terms: Public domain W3C validator