MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdszrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdszrcl 16204
Description: Reverse closure for the divisibility relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdszrcl (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค))

Proof of Theorem dvdszrcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dvds 16200 . . 3 โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
2 opabssxp 5768 . . 3 {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โŠ† (โ„ค ร— โ„ค)
31, 2eqsstri 4016 . 2 โˆฅ โŠ† (โ„ค ร— โ„ค)
43brel 5741 1 (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  {copab 5210   ร— cxp 5674  (class class class)co 7411   ยท cmul 11117  โ„คcz 12560   โˆฅ cdvds 16199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-dvds 16200
This theorem is referenced by:  dvdsmod0  16205  p1modz1  16206  dvdsmodexp  16207  dvdsaddre2b  16252  dvdsabseq  16258  divconjdvds  16260  evenelz  16281  4dvdseven  16318  dfgcd2  16490  dvdsmulgcd  16499  dvdsnprmd  16629  oddvdsi  19418  odmulg  19426  gexdvdsi  19453  dvdszzq  32059  dvdschrmulg  32421  nnproddivdvdsd  40952  lcmineqlem14  40993  nzss  43158  nzin  43159
  Copyright terms: Public domain W3C validator