![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvdszrcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Reverse closure for the divisibility relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdszrcl | โข (๐ โฅ ๐ โ (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-dvds 16203 | . . 3 โข โฅ = {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โง โ๐ง โ โค (๐ง ยท ๐ฅ) = ๐ฆ)} | |
2 | opabssxp 5768 | . . 3 โข {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ โค โง ๐ฆ โ โค) โง โ๐ง โ โค (๐ง ยท ๐ฅ) = ๐ฆ)} โ (โค ร โค) | |
3 | 1, 2 | eqsstri 4016 | . 2 โข โฅ โ (โค ร โค) |
4 | 3 | brel 5741 | 1 โข (๐ โฅ ๐ โ (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1540 โ wcel 2105 โwrex 3069 class class class wbr 5148 {copab 5210 ร cxp 5674 (class class class)co 7412 ยท cmul 11119 โคcz 12563 โฅ cdvds 16202 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-ext 2702 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5427 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-sb 2067 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rab 3432 df-v 3475 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-br 5149 df-opab 5211 df-xp 5682 df-dvds 16203 |
This theorem is referenced by: dvdsmod0 16208 p1modz1 16209 dvdsmodexp 16210 dvdsaddre2b 16255 dvdsabseq 16261 divconjdvds 16263 evenelz 16284 4dvdseven 16321 dfgcd2 16493 dvdsmulgcd 16502 dvdsnprmd 16632 oddvdsi 19458 odmulg 19466 gexdvdsi 19493 dvdszzq 32289 dvdschrmulg 32651 nnproddivdvdsd 41173 lcmineqlem14 41214 nzss 43379 nzin 43380 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |