MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsnprmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsnprmd 16247
Description: If a number is divisible by an integer greater than 1 and less than the number, the number is not prime. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsnprmd.g (𝜑 → 1 < 𝐴)
dvdsnprmd.l (𝜑𝐴 < 𝑁)
dvdsnprmd.d (𝜑𝐴𝑁)
Assertion
Ref Expression
dvdsnprmd (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)

Proof of Theorem dvdsnprmd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsnprmd.d . 2 (𝜑𝐴𝑁)
2 dvdszrcl 15820 . . . 4 (𝐴𝑁 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3 divides 15817 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
5 2z 12209 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
7 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
8 dvdsnprmd.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝑁)
98adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝑁)
109adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < 𝑁)
11 breq2 5057 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
1211adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
1310, 12mpbird 260 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < (𝑘 · 𝐴))
14 dvdsnprmd.g . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < 𝐴)
15 zre 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
16153ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 zre 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
18173ad2ant3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
19 0lt1 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 1
20 0red 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21 1red 10834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22 lttr 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
2320, 21, 15, 22syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
2419, 23mpani 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
2524imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
26253adant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
2716, 18, 263jca 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
28273exp 1121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
2928adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
301, 2, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
3114, 30mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
3231imp 410 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
3332adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
34 ltmulgt12 11693 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝑘𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (1 < 𝑘𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
3613, 35mpbird 260 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 1 < 𝑘)
37 df-2 11893 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
3837breq1i 5060 . . . . . . . . 9 (2 ≤ 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘)
39 1zzd 12208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
40 zltp1le 12227 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
4139, 40mpancom 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℤ → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
4241bicomd 226 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4342adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4443adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4538, 44syl5bb 286 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (2 ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4636, 45mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ≤ 𝑘)
47 eluz2 12444 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘))
486, 7, 46, 47syl3anbrc 1345 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
495a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ∈ ℤ)
50 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
51 1zzd 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
52 zltp1le 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
5351, 52mpancom 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
5453biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (1 + 1) ≤ 𝐴)
5537breq1i 5060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ≤ 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴)
5654, 55sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ≤ 𝐴)
5749, 50, 563jca 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
5857ex 416 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
5958adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
601, 2, 593syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
6114, 60mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
62 eluz2 12444 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
6361, 62sylibr 237 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
6463adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
6564adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
66 nprm 16245 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
6748, 65, 66syl2anc 587 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
68 eleq1 2825 . . . . . . 7 ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ))
6968notbid 321 . . . . . 6 ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
7069adantl 485 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
7167, 70mpbid 235 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)
7271rexlimdva2 3206 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
734, 72sylbid 243 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
741, 73mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   < clt 10867  cle 10868  2c2 11885  cz 12176  cuz 12438  cdvds 15815  cprime 16228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-dvds 15816  df-prm 16229
This theorem is referenced by:  2pwp1prm  44714
  Copyright terms: Public domain W3C validator