MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsnprmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsnprmd 16660
Description: If a number is divisible by an integer greater than 1 and less than the number, the number is not prime. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsnprmd.g (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ด)
dvdsnprmd.l (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐‘)
dvdsnprmd.d (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ ๐‘)
Assertion
Ref Expression
dvdsnprmd (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™)

Proof of Theorem dvdsnprmd
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsnprmd.d . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ ๐‘)
2 dvdszrcl 16235 . . . 4 (๐ด โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
3 divides 16232 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘))
5 2z 12624 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
65a1i 11 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
7 simplr 767 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
8 dvdsnprmd.l . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐‘)
98adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด < ๐‘)
109adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ๐ด < ๐‘)
11 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘ โ†’ (๐ด < (๐‘˜ ยท ๐ด) โ†” ๐ด < ๐‘))
1211adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ (๐ด < (๐‘˜ ยท ๐ด) โ†” ๐ด < ๐‘))
1310, 12mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ๐ด < (๐‘˜ ยท ๐ด))
14 dvdsnprmd.g . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ด)
15 zre 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
16153ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
17 zre 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
18173ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
19 0lt1 11766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 1
20 0red 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„)
21 1red 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
22 lttr 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด))
2320, 21, 15, 22syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด))
2419, 23mpani 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐ด โ†’ 0 < ๐ด))
2524imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
26253adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 < ๐ด)
2716, 18, 263jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
28273exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))))
2928adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))))
301, 2, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))))
3114, 30mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)))
3231imp 405 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
3332adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
34 ltmulgt12 12105 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐‘˜ โ†” ๐ด < (๐‘˜ ยท ๐ด)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ (1 < ๐‘˜ โ†” ๐ด < (๐‘˜ ยท ๐ด)))
3613, 35mpbird 256 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ 1 < ๐‘˜)
37 df-2 12305 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
3837breq1i 5150 . . . . . . . . 9 (2 โ‰ค ๐‘˜ โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐‘˜)
39 1zzd 12623 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
40 zltp1le 12642 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 < ๐‘˜ โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐‘˜))
4139, 40mpancom 686 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐‘˜ โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐‘˜))
4241bicomd 222 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†” 1 < ๐‘˜))
4342adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†” 1 < ๐‘˜))
4443adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ((1 + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†” 1 < ๐‘˜))
4538, 44bitrid 282 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ (2 โ‰ค ๐‘˜ โ†” 1 < ๐‘˜))
4636, 45mpbird 256 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘˜)
47 eluz2 12858 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜))
486, 7, 46, 47syl3anbrc 1340 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
495a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
50 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
51 1zzd 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
52 zltp1le 12642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 < ๐ด โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐ด))
5351, 52mpancom 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐ด โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐ด))
5453biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (1 + 1) โ‰ค ๐ด)
5537breq1i 5150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 โ‰ค ๐ด โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐ด)
5654, 55sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 2 โ‰ค ๐ด)
5749, 50, 563jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด))
5857ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด)))
5958adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด)))
601, 2, 593syl 18 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด)))
6114, 60mpd 15 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด))
62 eluz2 12858 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด))
6361, 62sylibr 233 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6463adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6564adantr 479 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
66 nprm 16658 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐‘˜ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)
6748, 65, 66syl2anc 582 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ยฌ (๐‘˜ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)
68 eleq1 2813 . . . . . . 7 ((๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘ โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†” ๐‘ โˆˆ โ„™))
6968notbid 317 . . . . . 6 ((๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘ โ†’ (ยฌ (๐‘˜ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†” ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™))
7069adantl 480 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ (ยฌ (๐‘˜ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†” ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™))
7167, 70mpbid 231 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™)
7271rexlimdva2 3147 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™))
734, 72sylbid 239 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฅ ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™))
741, 73mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   < clt 11278   โ‰ค cle 11279  2c2 12297  โ„คcz 12588  โ„คโ‰ฅcuz 12852   โˆฅ cdvds 16230  โ„™cprime 16641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-prm 16642
This theorem is referenced by:  2pwp1prm  46992
  Copyright terms: Public domain W3C validator