MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsnprmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsnprmd 16022
Description: If a number is divisible by an integer greater than 1 and less than the number, the number is not prime. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsnprmd.g (𝜑 → 1 < 𝐴)
dvdsnprmd.l (𝜑𝐴 < 𝑁)
dvdsnprmd.d (𝜑𝐴𝑁)
Assertion
Ref Expression
dvdsnprmd (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)

Proof of Theorem dvdsnprmd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsnprmd.d . 2 (𝜑𝐴𝑁)
2 dvdszrcl 15600 . . . 4 (𝐴𝑁 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3 divides 15597 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁))
5 2z 12002 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
7 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
8 dvdsnprmd.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝑁)
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝑁)
109adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < 𝑁)
11 breq2 5061 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
1211adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁))
1310, 12mpbird 258 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < (𝑘 · 𝐴))
14 dvdsnprmd.g . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < 𝐴)
15 zre 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
16153ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 zre 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
18173ad2ant3 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
19 0lt1 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 1
20 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21 1red 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22 lttr 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
2320, 21, 15, 22syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℤ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
2419, 23mpani 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
2524imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
26253adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴)
2716, 18, 263jca 1120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
28273exp 1111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
301, 2, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))))
3114, 30mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
3231imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
3332adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
34 ltmulgt12 11489 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝑘𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (1 < 𝑘𝐴 < (𝑘 · 𝐴)))
3613, 35mpbird 258 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 1 < 𝑘)
37 df-2 11688 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
3837breq1i 5064 . . . . . . . . 9 (2 ≤ 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘)
39 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
40 zltp1le 12020 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
4139, 40mpancom 684 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℤ → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘))
4241bicomd 224 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4342adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4443adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4538, 44syl5bb 284 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (2 ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘))
4636, 45mpbird 258 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ≤ 𝑘)
47 eluz2 12237 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘))
486, 7, 46, 47syl3anbrc 1335 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
495a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ∈ ℤ)
50 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
51 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
52 zltp1le 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
5351, 52mpancom 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
5453biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (1 + 1) ≤ 𝐴)
5537breq1i 5064 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ≤ 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴)
5654, 55sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → 2 ≤ 𝐴)
5749, 50, 563jca 1120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
5857ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
5958adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
601, 2, 593syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴)))
6114, 60mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
62 eluz2 12237 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
6361, 62sylibr 235 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
6463adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
6564adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
66 nprm 16020 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
6748, 65, 66syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ)
68 eleq1 2897 . . . . . . 7 ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ))
6968notbid 319 . . . . . 6 ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
7069adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
7167, 70mpbid 233 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)
7271rexlimdva2 3284 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
734, 72sylbid 241 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ))
741, 73mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  2c2 11680  cz 11969  cuz 12231  cdvds 15595  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-prm 16004
This theorem is referenced by:  2pwp1prm  43628
  Copyright terms: Public domain W3C validator