| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | dvdsnprmd.d | . 2
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝑁) | 
| 2 |  | dvdszrcl 16296 | . . . 4
⊢ (𝐴 ∥ 𝑁 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) | 
| 3 |  | divides 16293 | . . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁)) | 
| 4 | 1, 2, 3 | 3syl 18 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁)) | 
| 5 |  | 2z 12651 | . . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℤ | 
| 6 | 5 | a1i 11 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ∈ ℤ) | 
| 7 |  | simplr 768 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ) | 
| 8 |  | dvdsnprmd.l | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑁) | 
| 9 | 8 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝑁) | 
| 10 | 9 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < 𝑁) | 
| 11 |  | breq2 5146 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁)) | 
| 12 | 11 | adantl 481 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 < (𝑘 · 𝐴) ↔ 𝐴 < 𝑁)) | 
| 13 | 10, 12 | mpbird 257 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 < (𝑘 · 𝐴)) | 
| 14 |  | dvdsnprmd.g | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴) | 
| 15 |  | zre 12619 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈
ℝ) | 
| 16 | 15 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 <
𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 17 |  | zre 12619 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈
ℝ) | 
| 18 | 17 | 3ad2ant3 1135 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 <
𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ) | 
| 19 |  | 0lt1 11786 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 0 <
1 | 
| 20 |  | 0red 11265 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 0 ∈
ℝ) | 
| 21 |  | 1red 11263 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈
ℝ) | 
| 22 |  | lttr 11338 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1
< 𝐴) → 0 < 𝐴)) | 
| 23 | 20, 21, 15, 22 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((0 <
1 ∧ 1 < 𝐴) → 0
< 𝐴)) | 
| 24 | 19, 23 | mpani 696 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 <
𝐴 → 0 < 𝐴)) | 
| 25 | 24 | imp 406 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 <
𝐴) → 0 < 𝐴) | 
| 26 | 25 | 3adant3 1132 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 <
𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 0 < 𝐴) | 
| 27 | 16, 18, 26 | 3jca 1128 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 <
𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) | 
| 28 | 27 | 3exp 1119 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 <
𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴)))) | 
| 29 | 28 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 <
𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴)))) | 
| 30 | 1, 2, 29 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))) | 
| 31 | 14, 30 | mpd 15 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))) | 
| 32 | 31 | imp 406 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) | 
| 33 | 32 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) | 
| 34 |  | ltmulgt12 12129 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) → (1 < 𝑘 ↔ 𝐴 < (𝑘 · 𝐴))) | 
| 35 | 33, 34 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (1 < 𝑘 ↔ 𝐴 < (𝑘 · 𝐴))) | 
| 36 | 13, 35 | mpbird 257 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 1 < 𝑘) | 
| 37 |  | df-2 12330 | . . . . . . . . . 10
⊢ 2 = (1 +
1) | 
| 38 | 37 | breq1i 5149 | . . . . . . . . 9
⊢ (2 ≤
𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘) | 
| 39 |  | 1zzd 12650 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 1 ∈
ℤ) | 
| 40 |  | zltp1le 12669 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((1
∈ ℤ ∧ 𝑘
∈ ℤ) → (1 < 𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘)) | 
| 41 | 39, 40 | mpancom 688 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (1 <
𝑘 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑘)) | 
| 42 | 41 | bicomd 223 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((1 + 1)
≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘)) | 
| 43 | 42 | adantl 481 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘)) | 
| 44 | 43 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ((1 + 1) ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘)) | 
| 45 | 38, 44 | bitrid 283 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (2 ≤ 𝑘 ↔ 1 < 𝑘)) | 
| 46 | 36, 45 | mpbird 257 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 2 ≤ 𝑘) | 
| 47 |  | eluz2 12885 | . . . . . . 7
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤
𝑘)) | 
| 48 | 6, 7, 46, 47 | syl3anbrc 1343 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝑘 ∈
(ℤ≥‘2)) | 
| 49 | 5 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 <
𝐴) → 2 ∈
ℤ) | 
| 50 |  | simpl 482 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 <
𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ) | 
| 51 |  | 1zzd 12650 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈
ℤ) | 
| 52 |  | zltp1le 12669 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((1
∈ ℤ ∧ 𝐴
∈ ℤ) → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴)) | 
| 53 | 51, 52 | mpancom 688 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 <
𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴)) | 
| 54 | 53 | biimpa 476 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 <
𝐴) → (1 + 1) ≤
𝐴) | 
| 55 | 37 | breq1i 5149 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (2 ≤
𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴) | 
| 56 | 54, 55 | sylibr 234 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 <
𝐴) → 2 ≤ 𝐴) | 
| 57 | 49, 50, 56 | 3jca 1128 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 <
𝐴) → (2 ∈ ℤ
∧ 𝐴 ∈ ℤ
∧ 2 ≤ 𝐴)) | 
| 58 | 57 | ex 412 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (1 <
𝐴 → (2 ∈ ℤ
∧ 𝐴 ∈ ℤ
∧ 2 ≤ 𝐴))) | 
| 59 | 58 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 <
𝐴 → (2 ∈ ℤ
∧ 𝐴 ∈ ℤ
∧ 2 ≤ 𝐴))) | 
| 60 | 1, 2, 59 | 3syl 18 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (1 < 𝐴 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤
𝐴))) | 
| 61 | 14, 60 | mpd 15 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧
𝐴 ∈ ℤ ∧ 2
≤ 𝐴)) | 
| 62 |  | eluz2 12885 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤
𝐴)) | 
| 63 | 61, 62 | sylibr 234 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
(ℤ≥‘2)) | 
| 64 | 63 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈
(ℤ≥‘2)) | 
| 65 | 64 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → 𝐴 ∈
(ℤ≥‘2)) | 
| 66 |  | nprm 16726 | . . . . . 6
⊢ ((𝑘 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
→ ¬ (𝑘 ·
𝐴) ∈
ℙ) | 
| 67 | 48, 65, 66 | syl2anc 584 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ) | 
| 68 |  | eleq1 2828 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ((𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝑁 ∈ ℙ)) | 
| 69 | 68 | notbid 318 | . . . . . 6
⊢ ((𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈
ℙ)) | 
| 70 | 69 | adantl 481 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → (¬ (𝑘 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ ¬ 𝑁 ∈
ℙ)) | 
| 71 | 67, 70 | mpbid 232 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℙ) | 
| 72 | 71 | rexlimdva2 3156 | . . 3
⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) = 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)) | 
| 73 | 4, 72 | sylbid 240 | . 2
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝑁 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ)) | 
| 74 | 1, 73 | mpd 15 | 1
⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ ℙ) |