MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsnprmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsnprmd 16573
Description: If a number is divisible by an integer greater than 1 and less than the number, the number is not prime. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsnprmd.g (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ด)
dvdsnprmd.l (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐‘)
dvdsnprmd.d (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ ๐‘)
Assertion
Ref Expression
dvdsnprmd (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™)

Proof of Theorem dvdsnprmd
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsnprmd.d . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ ๐‘)
2 dvdszrcl 16148 . . . 4 (๐ด โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
3 divides 16145 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘))
5 2z 12542 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
65a1i 11 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
7 simplr 768 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
8 dvdsnprmd.l . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐‘)
98adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด < ๐‘)
109adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ๐ด < ๐‘)
11 breq2 5114 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘ โ†’ (๐ด < (๐‘˜ ยท ๐ด) โ†” ๐ด < ๐‘))
1211adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ (๐ด < (๐‘˜ ยท ๐ด) โ†” ๐ด < ๐‘))
1310, 12mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ๐ด < (๐‘˜ ยท ๐ด))
14 dvdsnprmd.g . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ด)
15 zre 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
16153ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
17 zre 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
18173ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
19 0lt1 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 1
20 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„)
21 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
22 lttr 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด))
2320, 21, 15, 22syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((0 < 1 โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด))
2419, 23mpani 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐ด โ†’ 0 < ๐ด))
2524imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
26253adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 < ๐ด)
2716, 18, 263jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
28273exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))))
2928adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))))
301, 2, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))))
3114, 30mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)))
3231imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
3332adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
34 ltmulgt12 12023 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐‘˜ โ†” ๐ด < (๐‘˜ ยท ๐ด)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ (1 < ๐‘˜ โ†” ๐ด < (๐‘˜ ยท ๐ด)))
3613, 35mpbird 257 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ 1 < ๐‘˜)
37 df-2 12223 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
3837breq1i 5117 . . . . . . . . 9 (2 โ‰ค ๐‘˜ โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐‘˜)
39 1zzd 12541 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
40 zltp1le 12560 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 < ๐‘˜ โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐‘˜))
4139, 40mpancom 687 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐‘˜ โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐‘˜))
4241bicomd 222 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†” 1 < ๐‘˜))
4342adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†” 1 < ๐‘˜))
4443adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ((1 + 1) โ‰ค ๐‘˜ โ†” 1 < ๐‘˜))
4538, 44bitrid 283 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ (2 โ‰ค ๐‘˜ โ†” 1 < ๐‘˜))
4636, 45mpbird 257 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘˜)
47 eluz2 12776 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘˜))
486, 7, 46, 47syl3anbrc 1344 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
495a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
50 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
51 1zzd 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
52 zltp1le 12560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 < ๐ด โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐ด))
5351, 52mpancom 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐ด โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐ด))
5453biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (1 + 1) โ‰ค ๐ด)
5537breq1i 5117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 โ‰ค ๐ด โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐ด)
5654, 55sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ 2 โ‰ค ๐ด)
5749, 50, 563jca 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด))
5857ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด)))
5958adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด)))
601, 2, 593syl 18 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด)))
6114, 60mpd 15 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด))
62 eluz2 12776 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด))
6361, 62sylibr 233 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6463adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6564adantr 482 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
66 nprm 16571 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐‘˜ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)
6748, 65, 66syl2anc 585 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ยฌ (๐‘˜ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)
68 eleq1 2826 . . . . . . 7 ((๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘ โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†” ๐‘ โˆˆ โ„™))
6968notbid 318 . . . . . 6 ((๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘ โ†’ (ยฌ (๐‘˜ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†” ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™))
7069adantl 483 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ (ยฌ (๐‘˜ ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†” ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™))
7167, 70mpbid 231 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™)
7271rexlimdva2 3155 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐ด) = ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™))
734, 72sylbid 239 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆฅ ๐‘ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™))
741, 73mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ โ„™)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197  2c2 12215  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770   โˆฅ cdvds 16143  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  2pwp1prm  45855
  Copyright terms: Public domain W3C validator