Theorem dvdsaddre2b 16355

Description: Adding a multiple of the base does not affect divisibility. Variant of dvdsadd2b 16354 only requiring 𝐵 to be a real number (not necessarily an integer). (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsaddre2b	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem dvdsaddre2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsadd2b 16354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
2	1	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
3	2	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))))
4	3	com24 95	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))))
5	4	3imp 1111	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
6	5	com12 32	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
7		dvdszrcl 16307	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
8		pm2.24 124	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
9	7, 8	simpl2im 503	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∥ 𝐵 → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
10	9	com12 32	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
12		dvdszrcl 16307	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ))
13		zcn 12644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
15		recn 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	14, 16	addcomd 11492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
18		eldif 3986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ))
19		nzadd 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (ℝ ∖ ℤ))
20	19	eldifbd 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
21	20	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ))
22	18, 21	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ))
23	22	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
24	17, 23	eqneltrd 2864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
25	24	exp32 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ¬ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)))
26		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵))
27	25, 26	syl8 76	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵))))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵))))
29	28	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵))))
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵)))))
31	30	3imp 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵)))
32	31	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵))
33	32	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → 𝐴 ∥ 𝐵))
34	12, 33	simpl2im 503	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → 𝐴 ∥ 𝐵))
35	34	com12 32	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵))
36	11, 35	impbid 212	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
37	36	ex 412	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
38	6, 37	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3973   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183   + caddc 11187  ℤcz 12639   ∥ cdvds 16302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-dvds 16303

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem2  27471