Theorem dvdsaddre2b 16234

Description: Adding a multiple of the base does not affect divisibility. Variant of dvdsadd2b 16233 only requiring 𝐵 to be a real number (not necessarily an integer). (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsaddre2b	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem dvdsaddre2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsadd2b 16233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
2	1	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
3	2	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))))
4	3	com24 95	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))))
5	4	3imp 1110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
6	5	com12 32	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
7		dvdszrcl 16184	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
8		pm2.24 124	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
9	7, 8	simpl2im 503	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∥ 𝐵 → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
10	9	com12 32	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → (𝐴 ∥ 𝐵 → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
12		dvdszrcl 16184	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ))
13		zcn 12493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
15		recn 11116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	14, 16	addcomd 11335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
18		eldif 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ))
19		nzadd 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (ℝ ∖ ℤ))
20	19	eldifbd 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
21	20	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ))
22	18, 21	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ))
23	22	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
24	17, 23	eqneltrd 2856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
25	24	exp32 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ¬ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)))
26		pm2.21 123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵))
27	25, 26	syl8 76	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵))))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵))))
29	28	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵))))
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶) → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵)))))
31	30	3imp 1110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵)))
32	31	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 𝐵))
33	32	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → 𝐴 ∥ 𝐵))
34	12, 33	simpl2im 503	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → 𝐴 ∥ 𝐵))
35	34	com12 32	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵))
36	11, 35	impbid 212	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶))) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
37	36	ex 412	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
38	6, 37	pm2.61i 182	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3898   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025   + caddc 11029  ℤcz 12488   ∥ cdvds 16179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-dvds 16180

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem2  27376