MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsaddre2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsaddre2b 16252
Description: Adding a multiple of the base does not affect divisibility. Variant of dvdsadd2b 16251 only requiring 𝐵 to be a real number (not necessarily an integer). (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsaddre2b ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem dvdsaddre2b
StepHypRef Expression
1 dvdsadd2b 16251 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
21a1d 25 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
323exp 1119 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))))
43com24 95 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))))
543imp 1111 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
65com12 32 . 2 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
7 dvdszrcl 16204 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
8 pm2.24 124 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
97, 8simpl2im 504 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
109com12 32 . . . . 5 𝐵 ∈ ℤ → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
1110adantr 481 . . . 4 ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
12 dvdszrcl 16204 . . . . . 6 (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ))
13 zcn 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
15 recn 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
1615ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1714, 16addcomd 11418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
18 eldif 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ))
19 nzadd 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (ℝ ∖ ℤ))
2019eldifbd 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
2120expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ))
2218, 21biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ ℤ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ))
2322imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
2417, 23eqneltrd 2853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
2524exp32 421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ¬ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)))
26 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴𝐵))
2725, 26syl8 76 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴𝐵))))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴𝐵))))
2928com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴𝐵))))
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴𝐵)))))
31303imp 1111 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴𝐵)))
3231impcom 408 . . . . . . 7 ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))) → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴𝐵))
3332com12 32 . . . . . 6 ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))) → 𝐴𝐵))
3412, 33simpl2im 504 . . . . 5 (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))) → 𝐴𝐵))
3534com12 32 . . . 4 ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))) → (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → 𝐴𝐵))
3611, 35impbid 211 . . 3 ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
3736ex 413 . 2 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
386, 37pm2.61i 182 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  cdif 3945   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  cc 11110  cr 11111   + caddc 11115  cz 12560  cdvds 16199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-dvds 16200
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem2  26919
  Copyright terms: Public domain W3C validator