MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsaddre2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsaddre2b 16340
Description: Adding a multiple of the base does not affect divisibility. Variant of dvdsadd2b 16339 only requiring 𝐵 to be a real number (not necessarily an integer). (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsaddre2b ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem dvdsaddre2b
StepHypRef Expression
1 dvdsadd2b 16339 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
21a1d 25 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
323exp 1118 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))))
43com24 95 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))))
543imp 1110 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
65com12 32 . 2 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
7 dvdszrcl 16291 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
8 pm2.24 124 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
97, 8simpl2im 503 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
109com12 32 . . . . 5 𝐵 ∈ ℤ → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
1110adantr 480 . . . 4 ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
12 dvdszrcl 16291 . . . . . 6 (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ))
13 zcn 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
15 recn 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
1615ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1714, 16addcomd 11460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
18 eldif 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ))
19 nzadd 12662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ (ℝ ∖ ℤ))
2019eldifbd 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
2120expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ (ℝ ∖ ℤ) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ))
2218, 21biimtrrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ ℤ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ))
2322imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
2417, 23eqneltrd 2858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
2524exp32 420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ¬ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)))
26 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴𝐵))
2725, 26syl8 76 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴𝐵))))
2827adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴𝐵))))
2928com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴𝐵))))
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴𝐵)))))
31303imp 1110 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (¬ 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴𝐵)))
3231impcom 407 . . . . . . 7 ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))) → ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴𝐵))
3332com12 32 . . . . . 6 ((𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ → ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))) → 𝐴𝐵))
3412, 33simpl2im 503 . . . . 5 (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))) → 𝐴𝐵))
3534com12 32 . . . 4 ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))) → (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) → 𝐴𝐵))
3611, 35impbid 212 . . 3 ((¬ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
3736ex 412 . 2 𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))))
386, 37pm2.61i 182 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2105  cdif 3959   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151   + caddc 11155  cz 12610  cdvds 16286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-dvds 16287
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem2  27467
  Copyright terms: Public domain W3C validator