Theorem dvdsabseq 16271

Description: If two integers divide each other, they must be equal, up to a difference in sign. Theorem 1.1(j) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Revised by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsabseq	⊢ ((𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))

Proof of Theorem dvdsabseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 16215	. . 3 ⊢ (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → 𝑁 ∥ 𝑀)
3		breq1 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
4		0dvds 16234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
5	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
6		zcn 12518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
7	6	abs00ad 15241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) = 0 ↔ 𝑀 = 0))
8	7	bicomd 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 = 0 ↔ (abs‘𝑀) = 0))
9	8	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 ↔ (abs‘𝑀) = 0))
10	5, 9	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑀) = 0))
11	3, 10	sylan9bb 509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑀) = 0))
12		fveq2 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = (abs‘0))
13		abs0 15236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘0) = 0
14	12, 13	eqtrdi 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = 0)
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (abs‘𝑁) = 0)
16	15	eqeq2d 2746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) ↔ (abs‘𝑀) = 0))
17	11, 16	bitr4d 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
18	2, 17	imbitrid 244	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
19	18	expd 415	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
20		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
21		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
23		neqne 2938	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → 𝑁 ≠ 0)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ≠ 0)
25		dvdsleabs2 16270	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁)))
26	20, 22, 24, 25	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁)))
27		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)
28		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
29		0dvds 16234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
30		zcn 12518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	abs00ad 15241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
32		eqcom 2742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 0 = (abs‘𝑁))
33	31, 32	bitr3di 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
34	29, 33	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
36	28, 35	sylan9bb 509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
37		fveq2 6829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = (abs‘0))
38	37, 13	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = 0)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (abs‘𝑀) = 0)
40	39	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
41	36, 40	bitr4d 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
42	27, 41	imbitrid 244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
43	42	a1dd 50	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
44	43	expcomd 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
45	21	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
46		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
47		neqne 2938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑀 = 0 → 𝑀 ≠ 0)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ≠ 0)
49		dvdsleabs2 16270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀)))
50	45, 46, 48, 49	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀)))
51		eqcom 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) ↔ (abs‘𝑁) = (abs‘𝑀))
52	30	abscld 15390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
53	6	abscld 15390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
54		letri3 11220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℝ) → ((abs‘𝑁) = (abs‘𝑀) ↔ ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁))))
55	52, 53, 54	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) = (abs‘𝑀) ↔ ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁))))
56	51, 55	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) ↔ ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁))))
57	56	biimprd 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁)) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
58	57	expd 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
60	50, 59	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ 𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
61	60	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
62	44, 61	pm2.61ian 812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
63	62	com34 91	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
64	63	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
65	26, 64	mpdd 43	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
66	19, 65	pm2.61ian 812	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
67	1, 66	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
68	67	imp 406	1 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487  ℝcr 11026  0cc0 11027   ≤ cle 11169  ℤcz 12513  abscabs 15185   ∥ cdvds 16210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9344  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16211

This theorem is referenced by:  dvdseq  16272