Theorem dvdsabseq 15523

Description: If two integers divide each other, they must be equal, up to a difference in sign. Theorem 1.1(j) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Revised by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsabseq	⊢ ((𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))

Proof of Theorem dvdsabseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 15472	. . 3 ⊢ (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → 𝑁 ∥ 𝑀)
3		breq1 4932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
4		0dvds 15490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
5	4	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
6		zcn 11798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
7	6	abs00ad 14511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) = 0 ↔ 𝑀 = 0))
8	7	bicomd 215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 = 0 ↔ (abs‘𝑀) = 0))
9	8	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 ↔ (abs‘𝑀) = 0))
10	5, 9	bitrd 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑀) = 0))
11	3, 10	sylan9bb 502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑀) = 0))
12		fveq2 6499	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = (abs‘0))
13		abs0 14506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘0) = 0
14	12, 13	syl6eq 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = 0)
15	14	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (abs‘𝑁) = 0)
16	15	eqeq2d 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) ↔ (abs‘𝑀) = 0))
17	11, 16	bitr4d 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
18	2, 17	syl5ib 236	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
19	18	expd 408	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
20		simprl 758	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
21		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
22	21	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
23		neqne 2975	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑁 = 0 → 𝑁 ≠ 0)
24	23	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ≠ 0)
25		dvdsleabs2 15522	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁)))
26	20, 22, 24, 25	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁)))
27		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)
28		breq1 4932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
29		0dvds 15490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
30		eqcom 2785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 0 = (abs‘𝑁))
31		zcn 11798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
32	31	abs00ad 14511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
33	30, 32	syl5rbbr 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
34	29, 33	bitrd 271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
35	34	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
36	28, 35	sylan9bb 502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
37		fveq2 6499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = (abs‘0))
38	37, 13	syl6eq 2830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = 0)
39	38	adantr 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (abs‘𝑀) = 0)
40	39	eqeq1d 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
41	36, 40	bitr4d 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
42	27, 41	syl5ib 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
43	42	a1dd 50	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
44	43	expcomd 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
45	21	adantl 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
46		simprl 758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
47		neqne 2975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑀 = 0 → 𝑀 ≠ 0)
48	47	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ≠ 0)
49		dvdsleabs2 15522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀)))
50	45, 46, 48, 49	syl3anc 1351	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀)))
51		eqcom 2785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) ↔ (abs‘𝑁) = (abs‘𝑀))
52	31	abscld 14657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
53	6	abscld 14657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
54		letri3 10526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℝ) → ((abs‘𝑁) = (abs‘𝑀) ↔ ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁))))
55	52, 53, 54	syl2anr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) = (abs‘𝑀) ↔ ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁))))
56	51, 55	syl5bb 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) ↔ ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁))))
57	56	biimprd 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁)) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
58	57	expd 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
59	58	adantl 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
60	50, 59	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ 𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
61	60	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
62	44, 61	pm2.61ian 799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
63	62	com34 91	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
64	63	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
65	26, 64	mpdd 43	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
66	19, 65	pm2.61ian 799	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
67	1, 66	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∥ 𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
68	67	imp 398	1 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967   class class class wbr 4929  ‘cfv 6188  ℝcr 10334  0cc0 10335   ≤ cle 10475  ℤcz 11793  abscabs 14454   ∥ cdvds 15467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-dvds 15468

This theorem is referenced by:  dvdseq  15524