Theorem p1modz1 16309

Description: If a number greater than 1 divides another number, the second number increased by 1 is 1 modulo the first number. (Contributed by AV, 19-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
p1modz1	⊢ ((𝑀 ∥ 𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)

Proof of Theorem p1modz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 16307	. . 3 ⊢ (𝑀 ∥ 𝐴 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
2		0red 11293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
3		1red 11291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
4		zre 12643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
6	2, 3, 5	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
7		0lt1 11812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 0 < 1)
9	8	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 < 1 ∧ 1 < 𝑀))
10		lttr 11366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
11	6, 9, 10	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
12	11	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
13		elnnz 12649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
14	13	simplbi2 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
15	12, 14	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
17	16	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
18		dvdsmod0 16308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
19	17, 18	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ 𝑀 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
20	19	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝐴 → (𝐴 mod 𝑀) = 0))
21		oveq1 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = (0 + 1))
22		0p1e1 12415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = 1)
24	23	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
25	24	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
26		zre 12643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
29		1red 11291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
30	17	nnrpd 13097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ+)
31	28, 29, 30	3jca 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
33		modaddmod 13961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
35	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
36		1mod 13954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
37	35, 36	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (1 mod 𝑀) = 1)
39	25, 34, 38	3eqtr3d 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)
40	39	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
41	20, 40	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
42	41	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 → (𝑀 ∥ 𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
43	42	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
44	1, 43	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑀 ∥ 𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
45	44	imp 406	1 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324  ℕcn 12293  ℤcz 12639  ℝ⁺crp 13057   mod cmo 13920   ∥ cdvds 16302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921  df-dvds 16303

This theorem is referenced by:  lgslem4  27362