MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  p1modz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1modz1 16200
Description: If a number greater than 1 divides another number, the second number increased by 1 is 1 modulo the first number. (Contributed by AV, 19-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
p1modz1 ((𝑀𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)

Proof of Theorem p1modz1
StepHypRef Expression
1 dvdszrcl 16198 . . 3 (𝑀𝐴 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
2 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
3 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
4 zre 12558 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
54adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
62, 3, 53jca 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
7 0lt1 11732 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 0 < 1)
98anim1i 615 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 < 1 ∧ 1 < 𝑀))
10 lttr 11286 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
116, 9, 10sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
1211ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
13 elnnz 12564 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
1413simplbi2 501 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1512, 14syld 47 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1615adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1716imp 407 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
18 dvdsmod0 16199 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
1917, 18sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ 𝑀𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
2019ex 413 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝐴 → (𝐴 mod 𝑀) = 0))
21 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = (0 + 1))
22 0p1e1 12330 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
2321, 22eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = 1)
2423oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
2524adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
26 zre 12558 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
29 1red 11211 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
3017nnrpd 13010 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ+)
3128, 29, 303jca 1128 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
3231adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
33 modaddmod 13871 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
354adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
36 1mod 13864 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
3735, 36sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
3837adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (1 mod 𝑀) = 1)
3925, 34, 383eqtr3d 2780 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)
4039ex 413 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
4120, 40syld 47 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
4241ex 413 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 → (𝑀𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
4342com23 86 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
441, 43mpcom 38 . 2 (𝑀𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
4544imp 407 1 ((𝑀𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244  cn 12208  cz 12554  +crp 12970   mod cmo 13830  cdvds 16193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831  df-dvds 16194
This theorem is referenced by:  lgslem4  26792
  Copyright terms: Public domain W3C validator