MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  p1modz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1modz1 15610
Description: If a number greater than 1 divides another number, the second number increased by 1 is 1 modulo the first number. (Contributed by AV, 19-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
p1modz1 ((𝑀𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)

Proof of Theorem p1modz1
StepHypRef Expression
1 dvdszrcl 15608 . . 3 (𝑀𝐴 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
2 0red 10637 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
3 1red 10635 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
4 zre 11977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
54adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
62, 3, 53jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
7 0lt1 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 0 < 1)
98anim1i 617 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 < 1 ∧ 1 < 𝑀))
10 lttr 10710 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
116, 9, 10sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
1211ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
13 elnnz 11983 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
1413simplbi2 504 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1512, 14syld 47 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1615adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1716imp 410 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
18 dvdsmod0 15609 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
1917, 18sylan 583 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ 𝑀𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
2019ex 416 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝐴 → (𝐴 mod 𝑀) = 0))
21 oveq1 7146 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = (0 + 1))
22 0p1e1 11751 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
2321, 22eqtrdi 2852 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = 1)
2423oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
2524adantl 485 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
26 zre 11977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2726adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2827adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
29 1red 10635 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
3017nnrpd 12421 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ+)
3128, 29, 303jca 1125 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
3231adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
33 modaddmod 13277 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
354adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
36 1mod 13270 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
3735, 36sylan 583 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
3837adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (1 mod 𝑀) = 1)
3925, 34, 383eqtr3d 2844 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)
4039ex 416 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
4120, 40syld 47 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
4241ex 416 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 → (𝑀𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
4342com23 86 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
441, 43mpcom 38 . 2 (𝑀𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
4544imp 410 1 ((𝑀𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668  cn 11629  cz 11973  +crp 12381   mod cmo 13236  cdvds 15603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fl 13161  df-mod 13237  df-dvds 15604
This theorem is referenced by:  lgslem4  25888
  Copyright terms: Public domain W3C validator