Theorem p1modz1 15447

Description: If a number greater than 1 divides another number, the second number increased by 1 is 1 modulo the first number. (Contributed by AV, 19-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
p1modz1	⊢ ((𝑀 ∥ 𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)

Proof of Theorem p1modz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 15445	. . 3 ⊢ (𝑀 ∥ 𝐴 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
2		0red 10490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
3		1red 10488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
4		zre 11833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
6	2, 3, 5	3jca 1121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
7		0lt1 11010	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 0 < 1)
9	8	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 < 1 ∧ 1 < 𝑀))
10		lttr 10564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
11	6, 9, 10	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
12	11	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
13		elnnz 11839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
14	13	simplbi2 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
15	12, 14	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
16	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
17	16	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
18		dvdsmod0 15446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
19	17, 18	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ 𝑀 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
20	19	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝐴 → (𝐴 mod 𝑀) = 0))
21		oveq1 7023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = (0 + 1))
22		0p1e1 11607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
23	21, 22	syl6eq 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = 1)
24	23	oveq1d 7031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
25	24	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
26		zre 11833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
29		1red 10488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
30	17	nnrpd 12279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ+)
31	28, 29, 30	3jca 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
32	31	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
33		modaddmod 13128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
35	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
36		1mod 13121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
37	35, 36	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (1 mod 𝑀) = 1)
39	25, 34, 38	3eqtr3d 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)
40	39	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
41	20, 40	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
42	41	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 → (𝑀 ∥ 𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
43	42	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
44	1, 43	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑀 ∥ 𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
45	44	imp 407	1 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  ℝcr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   < clt 10521  ℕcn 11486  ℤcz 11829  ℝ⁺crp 12239   mod cmo 13087   ∥ cdvds 15440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fl 13012  df-mod 13088  df-dvds 15441

This theorem is referenced by:  lgslem4  25558