MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  p1modz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1modz1 16150
Description: If a number greater than 1 divides another number, the second number increased by 1 is 1 modulo the first number. (Contributed by AV, 19-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
p1modz1 ((𝑀𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)

Proof of Theorem p1modz1
StepHypRef Expression
1 dvdszrcl 16148 . . 3 (𝑀𝐴 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
2 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
3 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
4 zre 12510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
54adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
62, 3, 53jca 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
7 0lt1 11684 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 0 < 1)
98anim1i 616 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 < 1 ∧ 1 < 𝑀))
10 lttr 11238 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
116, 9, 10sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
1211ex 414 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
13 elnnz 12516 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
1413simplbi2 502 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1512, 14syld 47 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1615adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1716imp 408 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
18 dvdsmod0 16149 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
1917, 18sylan 581 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ 𝑀𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
2019ex 414 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝐴 → (𝐴 mod 𝑀) = 0))
21 oveq1 7369 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = (0 + 1))
22 0p1e1 12282 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
2321, 22eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = 1)
2423oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
2524adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
26 zre 12510 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2726adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2827adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
29 1red 11163 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
3017nnrpd 12962 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ+)
3128, 29, 303jca 1129 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
3231adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
33 modaddmod 13822 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
354adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
36 1mod 13815 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
3735, 36sylan 581 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
3837adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (1 mod 𝑀) = 1)
3925, 34, 383eqtr3d 2785 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)
4039ex 414 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
4120, 40syld 47 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
4241ex 414 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 → (𝑀𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
4342com23 86 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
441, 43mpcom 38 . 2 (𝑀𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
4544imp 408 1 ((𝑀𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  cn 12160  cz 12506  +crp 12922   mod cmo 13781  cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-dvds 16144
This theorem is referenced by:  lgslem4  26664
  Copyright terms: Public domain W3C validator