Theorem p1modz1 16200

Description: If a number greater than 1 divides another number, the second number increased by 1 is 1 modulo the first number. (Contributed by AV, 19-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
p1modz1	⊢ ((𝑀 ∥ 𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)

Proof of Theorem p1modz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 16198	. . 3 ⊢ (𝑀 ∥ 𝐴 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
2		0red 11149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
3		1red 11147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
4		zre 12506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
6	2, 3, 5	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
7		0lt1 11673	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 0 < 1)
9	8	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 < 1 ∧ 1 < 𝑀))
10		lttr 11223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
11	6, 9, 10	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
12	11	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
13		elnnz 12512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
14	13	simplbi2 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
15	12, 14	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
17	16	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
18		dvdsmod0 16199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
19	17, 18	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ 𝑀 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
20	19	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝐴 → (𝐴 mod 𝑀) = 0))
21		oveq1 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = (0 + 1))
22		0p1e1 12276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = 1)
24	23	oveq1d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
25	24	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
26		zre 12506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
29		1red 11147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
30	17	nnrpd 12961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ+)
31	28, 29, 30	3jca 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
33		modaddmod 13846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
35	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
36		1mod 13837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
37	35, 36	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (1 mod 𝑀) = 1)
39	25, 34, 38	3eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)
40	39	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
41	20, 40	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
42	41	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 → (𝑀 ∥ 𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
43	42	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
44	1, 43	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑀 ∥ 𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
45	44	imp 406	1 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   < clt 11180  ℕcn 12159  ℤcz 12502  ℝ⁺crp 12919   mod cmo 13803   ∥ cdvds 16193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-inf 9360  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-fl 13726  df-mod 13804  df-dvds 16194

This theorem is referenced by:  lgslem4  27284