Theorem p1modz1 15898

Description: If a number greater than 1 divides another number, the second number increased by 1 is 1 modulo the first number. (Contributed by AV, 19-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
p1modz1	⊢ ((𝑀 ∥ 𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)

Proof of Theorem p1modz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 15896	. . 3 ⊢ (𝑀 ∥ 𝐴 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
2		0red 10909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 ∈ ℝ)
3		1red 10907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
4		zre 12253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
6	2, 3, 5	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
7		0lt1 11427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 0 < 1)
9	8	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → (0 < 1 ∧ 1 < 𝑀))
10		lttr 10982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
11	6, 9, 10	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
12	11	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
13		elnnz 12259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
14	13	simplbi2 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
15	12, 14	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (1 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
17	16	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
18		dvdsmod0 15897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
19	17, 18	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ 𝑀 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑀) = 0)
20	19	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝐴 → (𝐴 mod 𝑀) = 0))
21		oveq1 7262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = (0 + 1))
22		0p1e1 12025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
23	21, 22	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 mod 𝑀) + 1) = 1)
24	23	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
25	24	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
26		zre 12253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
29		1red 10907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
30	17	nnrpd 12699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ+)
31	28, 29, 30	3jca 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
33		modaddmod 13558	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (((𝐴 mod 𝑀) + 1) mod 𝑀) = ((𝐴 + 1) mod 𝑀))
35	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
36		1mod 13551	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
37	35, 36	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (1 mod 𝑀) = 1)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → (1 mod 𝑀) = 1)
39	25, 34, 38	3eqtr3d 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 0) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)
40	39	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) = 0 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
41	20, 40	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀 ∥ 𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
42	41	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝑀 → (𝑀 ∥ 𝐴 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
43	42	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)))
44	1, 43	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑀 ∥ 𝐴 → (1 < 𝑀 → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1))
45	44	imp 406	1 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝐴 ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐴 + 1) mod 𝑀) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659   mod cmo 13517   ∥ cdvds 15891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518  df-dvds 15892

This theorem is referenced by:  lgslem4  26353