Theorem nnproddivdvdsd 42092

Description: A product of natural numbers divides a natural number if and only if a factor divides the quotient, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnproddivdvdsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
nnproddivdvdsd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
nnproddivdvdsd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnproddivdvdsd	⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)))

Proof of Theorem nnproddivdvdsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnproddivdvdsd.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
4		nnproddivdvdsd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
7		nnproddivdvdsd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
10	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
11		nnne0 12159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
13	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
14	13	nnne0d 12175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑀 ≠ 0)
15	3, 6, 9, 12, 14	divdiv1d 11928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 𝐾) / 𝑀) = (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)))
16	15	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑁 / 𝐾) / 𝑀))
17	3, 6, 9, 12, 14	divdiv32d 11922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 𝐾) / 𝑀) = ((𝑁 / 𝑀) / 𝐾))
18	16, 17	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑁 / 𝑀) / 𝐾))
19	4, 7	nnmulcld 12178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℕ)
20	19, 1	nndivdvdsd 42091	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) ∈ ℕ))
21	20	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) ∈ ℕ))
22	21	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) ∈ ℕ)
23	18, 22	eqeltrrd 2832	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 𝑀) / 𝐾) ∈ ℕ)
24	4	nnzd 12495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25	7	nnzd 12495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
26	1	nnzd 12495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27	24, 25, 26	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
28		muldvds2 16192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
30	29	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)
31	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
32	13, 31	nndivdvdsd 42091	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℕ))
33	30, 32	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℕ)
34	10, 33	nndivdvdsd 42091	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) ↔ ((𝑁 / 𝑀) / 𝐾) ∈ ℕ))
35	23, 34	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀))
36	35	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)))
37		dvdszrcl 16168	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
38	37	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
39	38	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
40		dvdsmulc 16194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
41	24, 40	syl3an1 1163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
42	25, 41	syl3an3 1165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
43	42	3anidm13 1422	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
44	43	impancom 451	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
45	39, 44	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀))
46	7	nnne0d 12175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
47	2, 8, 46	divcan1d 11898	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁)
48	47	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁)
49	45, 48	breqtrd 5115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁)
50	49	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁))
51	36, 50	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   · cmul 11011   / cdiv 11774  ℕcn 12125  ℤcz 12468   ∥ cdvds 16163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-dvds 16164

This theorem is referenced by:  lcmineqlem14  42134  aks4d1p8d1  42176