Theorem nnproddivdvdsd 40009

Description: A product of natural numbers divides a natural number if and only if a factor divides the quotient, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnproddivdvdsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
nnproddivdvdsd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
nnproddivdvdsd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnproddivdvdsd	⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)))

Proof of Theorem nnproddivdvdsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnproddivdvdsd.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
4		nnproddivdvdsd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
5	4	nncnd 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
6	5	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
7		nnproddivdvdsd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
10	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
11		nnne0 12007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
13	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
14	13	nnne0d 12023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑀 ≠ 0)
15	3, 6, 9, 12, 14	divdiv1d 11782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 𝐾) / 𝑀) = (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)))
16	15	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑁 / 𝐾) / 𝑀))
17	3, 6, 9, 12, 14	divdiv32d 11776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 𝐾) / 𝑀) = ((𝑁 / 𝑀) / 𝐾))
18	16, 17	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑁 / 𝑀) / 𝐾))
19	4, 7	nnmulcld 12026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℕ)
20	19, 1	nndivdvdsd 40008	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) ∈ ℕ))
21	20	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) ∈ ℕ))
22	21	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) ∈ ℕ)
23	18, 22	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 𝑀) / 𝐾) ∈ ℕ)
24	4	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25	7	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
26	1	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27	24, 25, 26	3jca 1127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
28		muldvds2 15991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
30	29	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)
31	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
32	13, 31	nndivdvdsd 40008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℕ))
33	30, 32	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℕ)
34	10, 33	nndivdvdsd 40008	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) ↔ ((𝑁 / 𝑀) / 𝐾) ∈ ℕ))
35	23, 34	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀))
36	35	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)))
37		dvdszrcl 15968	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
38	37	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
39	38	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
40		dvdsmulc 15993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
41	24, 40	syl3an1 1162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
42	25, 41	syl3an3 1164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
43	42	3anidm13 1419	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
44	43	impancom 452	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
45	39, 44	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀))
46	7	nnne0d 12023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
47	2, 8, 46	divcan1d 11752	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁)
48	47	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁)
49	45, 48	breqtrd 5100	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁)
50	49	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁))
51	36, 50	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   · cmul 10876   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℤcz 12319   ∥ cdvds 15963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-dvds 15964

This theorem is referenced by:  lcmineqlem14  40050  aks4d1p8d1  40092