Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnproddivdvdsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnproddivdvdsd 40487
Description: A product of natural numbers divides a natural number if and only if a factor divides the quotient, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nnproddivdvdsd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
nnproddivdvdsd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
nnproddivdvdsd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
nnproddivdvdsd (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€)))

Proof of Theorem nnproddivdvdsd
StepHypRef Expression
1 nnproddivdvdsd.3 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
21nncnd 12176 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
32adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4 nnproddivdvdsd.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
54nncnd 12176 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
65adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
7 nnproddivdvdsd.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
87nncnd 12176 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
98adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
104adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
11 nnne0 12194 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โ‰  0)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โ‰  0)
137adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
1413nnne0d 12210 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
153, 6, 9, 12, 14divdiv1d 11969 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ / ๐พ) / ๐‘€) = (๐‘ / (๐พ ยท ๐‘€)))
1615eqcomd 2743 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ / (๐พ ยท ๐‘€)) = ((๐‘ / ๐พ) / ๐‘€))
173, 6, 9, 12, 14divdiv32d 11963 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ / ๐พ) / ๐‘€) = ((๐‘ / ๐‘€) / ๐พ))
1816, 17eqtrd 2777 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ / (๐พ ยท ๐‘€)) = ((๐‘ / ๐‘€) / ๐พ))
194, 7nnmulcld 12213 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
2019, 1nndivdvdsd 40486 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / (๐พ ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„•))
2120biimpd 228 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘ / (๐พ ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„•))
2221imp 408 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ / (๐พ ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„•)
2318, 22eqeltrrd 2839 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) / ๐พ) โˆˆ โ„•)
244nnzd 12533 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
257nnzd 12533 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
261nnzd 12533 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2724, 25, 263jca 1129 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
28 muldvds2 16171 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
3029imp 408 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
311adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3213, 31nndivdvdsd 40486 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„•))
3330, 32mpbid 231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„•)
3410, 33nndivdvdsd 40486 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€) โ†” ((๐‘ / ๐‘€) / ๐พ) โˆˆ โ„•))
3523, 34mpbird 257 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€))
3635ex 414 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€)))
37 dvdszrcl 16148 . . . . . . 7 (๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
3837simprd 497 . . . . . 6 (๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
3938adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€)) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
40 dvdsmulc 16173 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€)))
4124, 40syl3an1 1164 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€)))
4225, 41syl3an3 1166 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€)))
43423anidm13 1421 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€)))
4443impancom 453 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€)))
4539, 44mpd 15 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€))
467nnne0d 12210 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
472, 8, 46divcan1d 11939 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€) = ๐‘)
4847adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€) = ๐‘)
4945, 48breqtrd 5136 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘)
5049ex 414 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€) โ†’ (๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘))
5136, 50impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘ / ๐‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058   ยท cmul 11063   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  โ„คcz 12506   โˆฅ cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-dvds 16144
This theorem is referenced by:  lcmineqlem14  40528  aks4d1p8d1  40570
  Copyright terms: Public domain W3C validator