Theorem nnproddivdvdsd 41988

Description: A product of natural numbers divides a natural number if and only if a factor divides the quotient, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnproddivdvdsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
nnproddivdvdsd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
nnproddivdvdsd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnproddivdvdsd	⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)))

Proof of Theorem nnproddivdvdsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnproddivdvdsd.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
4		nnproddivdvdsd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
7		nnproddivdvdsd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
10	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
11		nnne0 12220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
13	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
14	13	nnne0d 12236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑀 ≠ 0)
15	3, 6, 9, 12, 14	divdiv1d 11989	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 𝐾) / 𝑀) = (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)))
16	15	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑁 / 𝐾) / 𝑀))
17	3, 6, 9, 12, 14	divdiv32d 11983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 𝐾) / 𝑀) = ((𝑁 / 𝑀) / 𝐾))
18	16, 17	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑁 / 𝑀) / 𝐾))
19	4, 7	nnmulcld 12239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℕ)
20	19, 1	nndivdvdsd 41987	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) ∈ ℕ))
21	20	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) ∈ ℕ))
22	21	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) ∈ ℕ)
23	18, 22	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 𝑀) / 𝐾) ∈ ℕ)
24	4	nnzd 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25	7	nnzd 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
26	1	nnzd 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27	24, 25, 26	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
28		muldvds2 16251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
30	29	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)
31	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
32	13, 31	nndivdvdsd 41987	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℕ))
33	30, 32	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℕ)
34	10, 33	nndivdvdsd 41987	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) ↔ ((𝑁 / 𝑀) / 𝐾) ∈ ℕ))
35	23, 34	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀))
36	35	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)))
37		dvdszrcl 16227	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
38	37	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
39	38	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
40		dvdsmulc 16253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
41	24, 40	syl3an1 1163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
42	25, 41	syl3an3 1165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
43	42	3anidm13 1422	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
44	43	impancom 451	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
45	39, 44	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀))
46	7	nnne0d 12236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
47	2, 8, 46	divcan1d 11959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁)
48	47	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁)
49	45, 48	breqtrd 5133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁)
50	49	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁))
51	36, 50	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   · cmul 11073   / cdiv 11835  ℕcn 12186  ℤcz 12529   ∥ cdvds 16222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-dvds 16223

This theorem is referenced by:  lcmineqlem14  42030  aks4d1p8d1  42072