Theorem nnproddivdvdsd 41709

Description: A product of natural numbers divides a natural number if and only if a factor divides the quotient, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnproddivdvdsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
nnproddivdvdsd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
nnproddivdvdsd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnproddivdvdsd	⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)))

Proof of Theorem nnproddivdvdsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnproddivdvdsd.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
4		nnproddivdvdsd.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
5	4	nncnd 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
6	5	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
7		nnproddivdvdsd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
9	8	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
10	4	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
11		nnne0 12289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
13	7	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
14	13	nnne0d 12305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑀 ≠ 0)
15	3, 6, 9, 12, 14	divdiv1d 12063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 𝐾) / 𝑀) = (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)))
16	15	eqcomd 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑁 / 𝐾) / 𝑀))
17	3, 6, 9, 12, 14	divdiv32d 12057	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 𝐾) / 𝑀) = ((𝑁 / 𝑀) / 𝐾))
18	16, 17	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑁 / 𝑀) / 𝐾))
19	4, 7	nnmulcld 12308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℕ)
20	19, 1	nndivdvdsd 41708	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) ∈ ℕ))
21	20	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) ∈ ℕ))
22	21	imp 405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑁 / (𝐾 · 𝑀)) ∈ ℕ)
23	18, 22	eqeltrrd 2827	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 𝑀) / 𝐾) ∈ ℕ)
24	4	nnzd 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25	7	nnzd 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
26	1	nnzd 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27	24, 25, 26	3jca 1125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
28		muldvds2 16276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))
30	29	imp 405	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)
31	1	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
32	13, 31	nndivdvdsd 41708	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℕ))
33	30, 32	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℕ)
34	10, 33	nndivdvdsd 41708	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) ↔ ((𝑁 / 𝑀) / 𝐾) ∈ ℕ))
35	23, 34	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀))
36	35	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)))
37		dvdszrcl 16253	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
38	37	simprd 494	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
39	38	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
40		dvdsmulc 16278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
41	24, 40	syl3an1 1160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
42	25, 41	syl3an3 1162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
43	42	3anidm13 1417	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
44	43	impancom 450	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀)))
45	39, 44	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → (𝐾 · 𝑀) ∥ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀))
46	7	nnne0d 12305	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
47	2, 8, 46	divcan1d 12033	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁)
48	47	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁)
49	45, 48	breqtrd 5169	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)) → (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁)
50	49	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀) → (𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁))
51	36, 50	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 / 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   class class class wbr 5143  (class class class)co 7413  ℂcc 11144  0cc0 11146   · cmul 11151   / cdiv 11909  ℕcn 12255  ℤcz 12601   ∥ cdvds 16248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-n0 12516  df-z 12602  df-dvds 16249

This theorem is referenced by:  lcmineqlem14  41751  aks4d1p8d1  41793