MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmulgcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsmulgcd 16370
Description: A divisibility equivalent for odmulg 19269. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmulgcd ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))))

Proof of Theorem dvdsmulgcd
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
2 dvdszrcl 16075 . . . . . 6 (๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค))
32adantl 482 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค))
43simpld 495 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
5 bezout 16358 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)))
61, 4, 5syl2anc 584 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)))
74adantr 481 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
8 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
9 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
10 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
119, 10zmulcld 12545 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
128, 11zmulcld 12545 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค)
13 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
147, 13zmulcld 12545 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
158, 14zmulcld 12545 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค)
168, 9zmulcld 12545 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
17 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ))
187, 16, 10, 17dvdsmultr1d 16113 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ))
198zcnd 12540 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
209zcnd 12540 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2110zcnd 12540 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2219, 20, 21mulassd 11111 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
2318, 22breqtrd 5129 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
248, 13zmulcld 12545 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
25 dvdsmul1 16094 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
267, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
277zcnd 12540 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2813zcnd 12540 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
2919, 27, 28mul12d 11297 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ)) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
3026, 29breqtrrd 5131 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ)))
317, 12, 15, 23, 30dvds2addd 16108 . . . . . 6 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ ((๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) + (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
3211zcnd 12540 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
3314zcnd 12540 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
3419, 32, 33adddid 11112 . . . . . 6 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ))) = ((๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) + (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
3531, 34breqtrrd 5131 . . . . 5 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
36 oveq2 7357 . . . . . 6 ((๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) = (๐ต ยท ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
3736breq2d 5115 . . . . 5 ((๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โ†” ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)))))
3835, 37syl5ibrcom 246 . . . 4 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))))
3938rexlimdvva 3203 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))))
406, 39mpd 15 . 2 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)))
41 dvdszrcl 16075 . . . . 5 (๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆˆ โ„ค))
4241adantl 482 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆˆ โ„ค))
4342simpld 495 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4442simprd 496 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆˆ โ„ค)
45 zmulcl 12482 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
4645adantr 481 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
47 simpr 485 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)))
48 simplr 767 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
49 gcddvds 16317 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ด))
5048, 43, 49syl2anc 584 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ด))
5150simpld 495 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ถ)
5248, 43gcdcld 16322 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ถ gcd ๐ด) โˆˆ โ„•0)
5352nn0zd 12537 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ถ gcd ๐ด) โˆˆ โ„ค)
54 simpll 765 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
55 dvdscmul 16099 . . . . 5 (((๐ถ gcd ๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ถ โ†’ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)))
5653, 48, 54, 55syl3anc 1371 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ถ โ†’ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)))
5751, 56mpd 15 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ))
5843, 44, 46, 47, 57dvdstrd 16111 . 2 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ))
5940, 58impbida 799 1 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349   + caddc 10987   ยท cmul 10989  โ„คcz 12432   โˆฅ cdvds 16070   gcd cgcd 16308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-sup 9311  df-inf 9312  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-rp 12844  df-fl 13625  df-mod 13703  df-seq 13835  df-exp 13896  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-dvds 16071  df-gcd 16309
This theorem is referenced by:  coprmdvds  16463  odmulg  19269  fpprwpprb  45681
  Copyright terms: Public domain W3C validator