MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsmulgcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsmulgcd 16371
Description: A divisibility equivalent for odmulg 19269. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmulgcd ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))))

Proof of Theorem dvdsmulgcd
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
2 dvdszrcl 16076 . . . . . 6 (๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค))
32adantl 483 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค))
43simpld 496 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
5 bezout 16359 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)))
61, 4, 5syl2anc 585 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)))
74adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
8 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
9 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
10 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
119, 10zmulcld 12546 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
128, 11zmulcld 12546 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค)
13 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
147, 13zmulcld 12546 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
158, 14zmulcld 12546 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค)
168, 9zmulcld 12546 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
17 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ))
187, 16, 10, 17dvdsmultr1d 16114 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ))
198zcnd 12541 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
209zcnd 12541 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2110zcnd 12541 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2219, 20, 21mulassd 11112 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
2318, 22breqtrd 5130 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
248, 13zmulcld 12546 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
25 dvdsmul1 16095 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
267, 24, 25syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
277zcnd 12541 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2813zcnd 12541 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
2919, 27, 28mul12d 11298 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ)) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
3026, 29breqtrrd 5132 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ)))
317, 12, 15, 23, 30dvds2addd 16109 . . . . . 6 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ ((๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) + (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
3211zcnd 12541 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
3314zcnd 12541 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
3419, 32, 33adddid 11113 . . . . . 6 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ))) = ((๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) + (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
3531, 34breqtrrd 5132 . . . . 5 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
36 oveq2 7358 . . . . . 6 ((๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) = (๐ต ยท ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
3736breq2d 5116 . . . . 5 ((๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โ†” ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)))))
3835, 37syl5ibrcom 247 . . . 4 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))))
3938rexlimdvva 3204 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))))
406, 39mpd 15 . 2 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)))
41 dvdszrcl 16076 . . . . 5 (๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆˆ โ„ค))
4241adantl 483 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆˆ โ„ค))
4342simpld 496 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4442simprd 497 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆˆ โ„ค)
45 zmulcl 12483 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
4645adantr 482 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
47 simpr 486 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)))
48 simplr 768 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
49 gcddvds 16318 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ด))
5048, 43, 49syl2anc 585 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ด))
5150simpld 496 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ถ)
5248, 43gcdcld 16323 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ถ gcd ๐ด) โˆˆ โ„•0)
5352nn0zd 12538 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ถ gcd ๐ด) โˆˆ โ„ค)
54 simpll 766 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
55 dvdscmul 16100 . . . . 5 (((๐ถ gcd ๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ถ โ†’ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)))
5653, 48, 54, 55syl3anc 1372 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ถ โ†’ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)))
5751, 56mpd 15 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ))
5843, 44, 46, 47, 57dvdstrd 16112 . 2 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ))
5940, 58impbida 800 1 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3072   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350   + caddc 10988   ยท cmul 10990  โ„คcz 12433   โˆฅ cdvds 16071   gcd cgcd 16309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-fl 13626  df-mod 13704  df-seq 13836  df-exp 13897  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-dvds 16072  df-gcd 16310
This theorem is referenced by:  coprmdvds  16464  odmulg  19269  fpprwpprb  45632
  Copyright terms: Public domain W3C validator