Theorem dvdschrmulg 21827

Description: In a ring, any multiple of the characteristics annihilates all elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdschrmulg.1	⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
dvdschrmulg.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdschrmulg.3	⊢ · = (.g‘𝑅)
dvdschrmulg.4	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdschrmulg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem dvdschrmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		dvdszrcl 16420	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∥ 𝑁 → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3	2	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∥ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		dvdschrmulg.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 20487	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
8	1, 7	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
9		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
10		dvdschrmulg.3	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑅)
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	5, 10, 11	mulgass2 20533	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁 · ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴)))
13	1, 4, 8, 9, 12	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁 · ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴)))
14		ringgrp 20457	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
15	1, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
16		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
17		dvdschrmulg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
18	16, 6, 17	chrval 21822	. . . . . 6 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 𝐶
19		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∥ 𝑁)
20	18, 19	eqbrtrid 5140	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁)
21		dvdschrmulg.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22	5, 16, 10, 21	oddvdsi 19755	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁) → (𝑁 · (1r‘𝑅)) = 0 )
23	15, 8, 20, 22	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · (1r‘𝑅)) = 0 )
24	23	oveq1d 7433	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = ( 0 (.r‘𝑅)𝐴))
25	5, 11, 21	ringlz 20517	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝐴) = 0 )
26	25	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝐴) = 0 )
27	24, 26	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = 0 )
28	5, 11, 6	ringlidm 20491	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
29	28	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
30	29	oveq2d 7434	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴)) = (𝑁 · 𝐴))
31	13, 27, 30	3eqtr3rd 2805	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℤcz 12686   ∥ cdvds 16415  Basecbs 17380  ._rcmulr 17422  0_gc0g 17603  Grpcgrp 19137  ._gcmg 19270  odcod 19731  1_rcur 20400  Ringcrg 20452  chrcchr 21800

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-od 19735  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-chr 21804

This theorem is used by:  freshmansdream  21873