Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdschrmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdschrmulg 30893
 Description: In a ring, any multiple of the characteristics annihilates all elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdschrmulg.1 𝐶 = (chr‘𝑅)
dvdschrmulg.2 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdschrmulg.3 · = (.g𝑅)
dvdschrmulg.4 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdschrmulg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem dvdschrmulg
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2 dvdszrcl 15615 . . . . 5 (𝐶𝑁 → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32simprd 499 . . . 4 (𝐶𝑁𝑁 ∈ ℤ)
433ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 dvdschrmulg.2 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 eqid 2824 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
75, 6ringidcl 19324 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
81, 7syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
9 simp3 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
10 dvdschrmulg.3 . . . 4 · = (.g𝑅)
11 eqid 2824 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
125, 10, 11mulgass2 19357 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵𝐴𝐵)) → ((𝑁 · (1r𝑅))(.r𝑅)𝐴) = (𝑁 · ((1r𝑅)(.r𝑅)𝐴)))
131, 4, 8, 9, 12syl13anc 1369 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → ((𝑁 · (1r𝑅))(.r𝑅)𝐴) = (𝑁 · ((1r𝑅)(.r𝑅)𝐴)))
14 ringgrp 19305 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
151, 14syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
16 eqid 2824 . . . . . . 7 (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
17 dvdschrmulg.1 . . . . . . 7 𝐶 = (chr‘𝑅)
1816, 6, 17chrval 20675 . . . . . 6 ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 𝐶
19 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → 𝐶𝑁)
2018, 19eqbrtrid 5088 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ∥ 𝑁)
21 dvdschrmulg.4 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
225, 16, 10, 21oddvdsi 18679 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ∥ 𝑁) → (𝑁 · (1r𝑅)) = 0 )
2315, 8, 20, 22syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → (𝑁 · (1r𝑅)) = 0 )
2423oveq1d 7165 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → ((𝑁 · (1r𝑅))(.r𝑅)𝐴) = ( 0 (.r𝑅)𝐴))
255, 11, 21ringlz 19343 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → ( 0 (.r𝑅)𝐴) = 0 )
26253adant2 1128 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → ( 0 (.r𝑅)𝐴) = 0 )
2724, 26eqtrd 2859 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → ((𝑁 · (1r𝑅))(.r𝑅)𝐴) = 0 )
285, 11, 6ringlidm 19327 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝐴) = 𝐴)
29283adant2 1128 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝐴) = 𝐴)
3029oveq2d 7166 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → (𝑁 · ((1r𝑅)(.r𝑅)𝐴)) = (𝑁 · 𝐴))
3113, 27, 303eqtr3rd 2868 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5053  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150  ℤcz 11981   ∥ cdvds 15610  Basecbs 16486  .rcmulr 16569  0gc0g 16716  Grpcgrp 18106  .gcmg 18227  odcod 18655  1rcur 19254  Ringcrg 19300  chrcchr 20652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-sup 8904  df-inf 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-rp 12390  df-fz 12898  df-fl 13169  df-mod 13245  df-seq 13377  df-exp 13438  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-dvds 15611  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-od 18659  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-chr 20656 This theorem is referenced by:  freshmansdream  30894
 Copyright terms: Public domain W3C validator