Theorem dvdschrmulg 21561

Description: In a ring, any multiple of the characteristics annihilates all elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdschrmulg.1	⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
dvdschrmulg.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdschrmulg.3	⊢ · = (.g‘𝑅)
dvdschrmulg.4	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdschrmulg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem dvdschrmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		dvdszrcl 16292	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∥ 𝑁 → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3	2	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∥ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		dvdschrmulg.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 20280	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
9		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
10		dvdschrmulg.3	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑅)
11		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	5, 10, 11	mulgass2 20323	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁 · ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴)))
13	1, 4, 8, 9, 12	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁 · ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴)))
14		ringgrp 20256	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
16		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
17		dvdschrmulg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
18	16, 6, 17	chrval 21556	. . . . . 6 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 𝐶
19		simp2 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∥ 𝑁)
20	18, 19	eqbrtrid 5183	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁)
21		dvdschrmulg.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22	5, 16, 10, 21	oddvdsi 19581	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁) → (𝑁 · (1r‘𝑅)) = 0 )
23	15, 8, 20, 22	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · (1r‘𝑅)) = 0 )
24	23	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = ( 0 (.r‘𝑅)𝐴))
25	5, 11, 21	ringlz 20307	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝐴) = 0 )
26	25	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝐴) = 0 )
27	24, 26	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = 0 )
28	5, 11, 6	ringlidm 20283	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
29	28	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
30	29	oveq2d 7447	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴)) = (𝑁 · 𝐴))
31	13, 27, 30	3eqtr3rd 2784	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℤcz 12611   ∥ cdvds 16287  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  ._gcmg 19098  odcod 19557  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  chrcchr 21530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-od 19561  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-chr 21534

This theorem is referenced by:  freshmansdream  21611