Theorem dvdschrmulg 21567

Description: In a ring, any multiple of the characteristics annihilates all elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdschrmulg.1	⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
dvdschrmulg.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdschrmulg.3	⊢ · = (.g‘𝑅)
dvdschrmulg.4	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdschrmulg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem dvdschrmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1148	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		dvdszrcl 16281	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∥ 𝑁 → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3	2	simprd 499	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∥ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1146	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		dvdschrmulg.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 20301	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
9		simp3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
10		dvdschrmulg.3	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑅)
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	5, 10, 11	mulgass2 20345	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁 · ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴)))
13	1, 4, 8, 9, 12	syl13anc 1390	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁 · ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴)))
14		ringgrp 20274	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
16		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
17		dvdschrmulg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
18	16, 6, 17	chrval 21562	. . . . . 6 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 𝐶
19		simp2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∥ 𝑁)
20	18, 19	eqbrtrid 5132	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁)
21		dvdschrmulg.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22	5, 16, 10, 21	oddvdsi 19578	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁) → (𝑁 · (1r‘𝑅)) = 0 )
23	15, 8, 20, 22	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · (1r‘𝑅)) = 0 )
24	23	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = ( 0 (.r‘𝑅)𝐴))
25	5, 11, 21	ringlz 20329	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝐴) = 0 )
26	25	3adant2 1143	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝐴) = 0 )
27	24, 26	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = 0 )
28	5, 11, 6	ringlidm 20305	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
29	28	3adant2 1143	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
30	29	oveq2d 7406	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴)) = (𝑁 · 𝐴))
31	13, 27, 30	3eqtr3rd 2805	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℤcz 12561   ∥ cdvds 16276  Basecbs 17235  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18965  ._gcmg 19099  odcod 19554  1_rcur 20217  Ringcrg 20269  chrcchr 21540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9381  df-inf 9382  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-rp 12987  df-fz 13506  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-dvds 16277  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-sbg 18970  df-mulg 19100  df-od 19558  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-ring 20271  df-chr 21544

This theorem is referenced by:  freshmansdream  21613