Theorem dvdschrmulg 21878

Description: In a ring, any multiple of the characteristics annihilates all elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdschrmulg.1	⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
dvdschrmulg.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdschrmulg.3	⊢ · = (.g‘𝑅)
dvdschrmulg.4	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdschrmulg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem dvdschrmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		dvdszrcl 16468	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∥ 𝑁 → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3	2	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∥ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		dvdschrmulg.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 20536	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
8	1, 7	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
9		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
10		dvdschrmulg.3	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑅)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	5, 10, 11	mulgass2 20582	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁 · ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴)))
13	1, 4, 8, 9, 12	syl13anc 1400	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁 · ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴)))
14		ringgrp 20506	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
15	1, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
16		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
17		dvdschrmulg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
18	16, 6, 17	chrval 21873	. . . . . 6 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 𝐶
19		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∥ 𝑁)
20	18, 19	eqbrtrid 5144	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁)
21		dvdschrmulg.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22	5, 16, 10, 21	oddvdsi 19804	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁) → (𝑁 · (1r‘𝑅)) = 0 )
23	15, 8, 20, 22	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · (1r‘𝑅)) = 0 )
24	23	oveq1d 7464	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = ( 0 (.r‘𝑅)𝐴))
25	5, 11, 21	ringlz 20566	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝐴) = 0 )
26	25	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝐴) = 0 )
27	24, 26	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = 0 )
28	5, 11, 6	ringlidm 20540	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
29	28	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
30	29	oveq2d 7465	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴)) = (𝑁 · 𝐴))
31	13, 27, 30	3eqtr3rd 2807	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℤcz 12731   ∥ cdvds 16463  Basecbs 17428  ._rcmulr 17470  0_gc0g 17651  Grpcgrp 19185  ._gcmg 19318  odcod 19780  1_rcur 20449  Ringcrg 20501  chrcchr 21851

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-inf 9470  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fz 13678  df-fl 13970  df-mod 14048  df-seq 14183  df-exp 14243  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-dvds 16464  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-plusg 17482  df-0g 17653  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-sbg 19190  df-mulg 19319  df-od 19784  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-ring 20503  df-chr 21855

This theorem is used by:  freshmansdream  21924