Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdschrmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdschrmulg 30893
Description: In a ring, any multiple of the characteristics annihilates all elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdschrmulg.1 𝐶 = (chr‘𝑅)
dvdschrmulg.2 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdschrmulg.3 · = (.g𝑅)
dvdschrmulg.4 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvdschrmulg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem dvdschrmulg
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2 dvdszrcl 15615 . . . . 5 (𝐶𝑁 → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
32simprd 499 . . . 4 (𝐶𝑁𝑁 ∈ ℤ)
433ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 dvdschrmulg.2 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 eqid 2824 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
75, 6ringidcl 19324 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
81, 7syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
9 simp3 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
10 dvdschrmulg.3 . . . 4 · = (.g𝑅)
11 eqid 2824 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
125, 10, 11mulgass2 19357 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵𝐴𝐵)) → ((𝑁 · (1r𝑅))(.r𝑅)𝐴) = (𝑁 · ((1r𝑅)(.r𝑅)𝐴)))
131, 4, 8, 9, 12syl13anc 1369 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → ((𝑁 · (1r𝑅))(.r𝑅)𝐴) = (𝑁 · ((1r𝑅)(.r𝑅)𝐴)))
14 ringgrp 19305 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
151, 14syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
16 eqid 2824 . . . . . . 7 (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
17 dvdschrmulg.1 . . . . . . 7 𝐶 = (chr‘𝑅)
1816, 6, 17chrval 20675 . . . . . 6 ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 𝐶
19 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → 𝐶𝑁)
2018, 19eqbrtrid 5088 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ∥ 𝑁)
21 dvdschrmulg.4 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
225, 16, 10, 21oddvdsi 18679 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ∥ 𝑁) → (𝑁 · (1r𝑅)) = 0 )
2315, 8, 20, 22syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → (𝑁 · (1r𝑅)) = 0 )
2423oveq1d 7165 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → ((𝑁 · (1r𝑅))(.r𝑅)𝐴) = ( 0 (.r𝑅)𝐴))
255, 11, 21ringlz 19343 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → ( 0 (.r𝑅)𝐴) = 0 )
26253adant2 1128 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → ( 0 (.r𝑅)𝐴) = 0 )
2724, 26eqtrd 2859 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → ((𝑁 · (1r𝑅))(.r𝑅)𝐴) = 0 )
285, 11, 6ringlidm 19327 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝐴) = 𝐴)
29283adant2 1128 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝐴) = 𝐴)
3029oveq2d 7166 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → (𝑁 · ((1r𝑅)(.r𝑅)𝐴)) = (𝑁 · 𝐴))
3113, 27, 303eqtr3rd 2868 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑁𝐴𝐵) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7150  cz 11981  cdvds 15610  Basecbs 16486  .rcmulr 16569  0gc0g 16716  Grpcgrp 18106  .gcmg 18227  odcod 18655  1rcur 19254  Ringcrg 19300  chrcchr 20652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-sup 8904  df-inf 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-rp 12390  df-fz 12898  df-fl 13169  df-mod 13245  df-seq 13377  df-exp 13438  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-dvds 15611  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-od 18659  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-chr 20656
This theorem is referenced by:  freshmansdream  30894
  Copyright terms: Public domain W3C validator