Theorem dvdschrmulg 21494

Description: In a ring, any multiple of the characteristics annihilates all elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdschrmulg.1	⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
dvdschrmulg.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdschrmulg.3	⊢ · = (.g‘𝑅)
dvdschrmulg.4	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdschrmulg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem dvdschrmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		dvdszrcl 16282	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∥ 𝑁 → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3	2	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∥ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		dvdschrmulg.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 20230	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
9		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
10		dvdschrmulg.3	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑅)
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	5, 10, 11	mulgass2 20274	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁 · ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴)))
13	1, 4, 8, 9, 12	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁 · ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴)))
14		ringgrp 20203	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
16		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
17		dvdschrmulg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
18	16, 6, 17	chrval 21489	. . . . . 6 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 𝐶
19		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∥ 𝑁)
20	18, 19	eqbrtrid 5159	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁)
21		dvdschrmulg.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
22	5, 16, 10, 21	oddvdsi 19534	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ 𝑁) → (𝑁 · (1r‘𝑅)) = 0 )
23	15, 8, 20, 22	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · (1r‘𝑅)) = 0 )
24	23	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = ( 0 (.r‘𝑅)𝐴))
25	5, 11, 21	ringlz 20258	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝐴) = 0 )
26	25	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)𝐴) = 0 )
27	24, 26	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝐴) = 0 )
28	5, 11, 6	ringlidm 20234	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
29	28	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
30	29	oveq2d 7426	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝐴)) = (𝑁 · 𝐴))
31	13, 27, 30	3eqtr3rd 2780	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℤcz 12593   ∥ cdvds 16277  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18921  ._gcmg 19055  odcod 19510  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  chrcchr 21467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-od 19514  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-chr 21471

This theorem is referenced by:  freshmansdream  21540