MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brel 5365
Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
brel.1 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
Assertion
Ref Expression
brel (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴𝐶𝐵𝐷))

Proof of Theorem brel
StepHypRef Expression
1 brel.1 . . 3 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
21ssbri 4885 . 2 (𝐴𝑅𝐵𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵)
3 brxp 5344 . 2 (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐷))
42, 3sylib 209 1 (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴𝐶𝐵𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 2158  wss 3766   class class class wbr 4840   × cxp 5306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pr 5093
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ral 3100  df-rex 3101  df-rab 3104  df-v 3392  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-nul 4114  df-if 4277  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-br 4841  df-opab 4903  df-xp 5314
This theorem is referenced by:  brab2a  5393  soirri  5730  sotri  5731  sotri2  5733  sotri3  5734  ndmovord  7051  ndmovordi  7052  swoer  8006  brecop2  8073  brecop2OLD  8074  ecopovsym  8082  ecopovtrn  8083  hartogslem1  8683  nlt1pi  10010  indpi  10011  nqerf  10034  ordpipq  10046  lterpq  10074  ltexnq  10079  ltbtwnnq  10082  ltrnq  10083  prnmadd  10101  genpcd  10110  nqpr  10118  1idpr  10133  ltexprlem4  10143  ltexpri  10147  ltaprlem  10148  prlem936  10151  reclem2pr  10152  reclem3pr  10153  reclem4pr  10154  suplem1pr  10156  suplem2pr  10157  supexpr  10158  recexsrlem  10206  addgt0sr  10207  mulgt0sr  10208  mappsrpr  10211  map2psrpr  10213  supsrlem  10214  supsr  10215  ltresr  10243  dfle2  12192  dflt2  12193  dvdszrcl  15204  letsr  17428  hmphtop  21791  vcex  27758  brtxp2  32306  brpprod3a  32311  brxrn2  34447
  Copyright terms: Public domain W3C validator