Theorem brel 5741

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
brel	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
2	1	ssbri 5193	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵)
3		brxp 5725	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
4	2, 3	sylib 217	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   × cxp 5674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682

This theorem is referenced by:  brab2a  5769  soirri  6127  sotri  6128  sotri2  6130  sotri3  6131  ndmovord  7599  ndmovordi  7600  swoer  8735  brecop2  8807  ecopovsym  8815  ecopovtrn  8816  hartogslem1  9539  nlt1pi  10903  indpi  10904  nqerf  10927  ordpipq  10939  lterpq  10967  ltexnq  10972  ltbtwnnq  10975  ltrnq  10976  prnmadd  10994  genpcd  11003  nqpr  11011  1idpr  11026  ltexprlem4  11036  ltexpri  11040  ltaprlem  11041  prlem936  11044  reclem2pr  11045  reclem3pr  11046  reclem4pr  11047  suplem1pr  11049  suplem2pr  11050  supexpr  11051  recexsrlem  11100  addgt0sr  11101  mulgt0sr  11102  mappsrpr  11105  map2psrpr  11107  supsrlem  11108  supsr  11109  ltresr  11137  dfle2  13128  dflt2  13129  dvdszrcl  16204  letsr  18548  hmphtop  23289  brtxp2  34928  brpprod3a  34933  brxrn2  37337  iccdisj2  47614  i0oii  47636  io1ii  47637