Theorem brel 5696

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
brel	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
2	1	ssbri 5130	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵)
3		brxp 5680	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
4	2, 3	sylib 218	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085   × cxp 5629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637

This theorem is referenced by:  brab2a  5724  soirri  6089  sotri  6090  sotri2  6092  sotri3  6093  ndmovord  7557  ndmovordi  7558  swoer  8675  brecop2  8758  ecopovsym  8766  ecopovtrn  8767  hartogslem1  9457  nlt1pi  10829  indpi  10830  nqerf  10853  ordpipq  10865  lterpq  10893  ltexnq  10898  ltbtwnnq  10901  ltrnq  10902  prnmadd  10920  genpcd  10929  nqpr  10937  1idpr  10952  ltexprlem4  10962  ltexpri  10966  ltaprlem  10967  prlem936  10970  reclem2pr  10971  reclem3pr  10972  reclem4pr  10973  suplem1pr  10975  suplem2pr  10976  supexpr  10977  recexsrlem  11026  addgt0sr  11027  mulgt0sr  11028  mappsrpr  11031  map2psrpr  11033  supsrlem  11034  supsr  11035  ltresr  11063  dfle2  13098  dflt2  13099  dvdszrcl  16226  letsr  18559  hmphtop  23743  brtxp2  36061  brpprod3a  36066  brxrn2  38705  aks6d1c1p1rcl  42547  iccdisj2  49372  i0oii  49395  io1ii  49396