Theorem brel 5697

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
brel	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
2	1	ssbri 5145	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵)
3		brxp 5681	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
4	2, 3	sylib 218	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   × cxp 5630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638

This theorem is referenced by:  brab2a  5725  soirri  6091  sotri  6092  sotri2  6094  sotri3  6095  ndmovord  7558  ndmovordi  7559  swoer  8677  brecop2  8760  ecopovsym  8768  ecopovtrn  8769  hartogslem1  9459  nlt1pi  10829  indpi  10830  nqerf  10853  ordpipq  10865  lterpq  10893  ltexnq  10898  ltbtwnnq  10901  ltrnq  10902  prnmadd  10920  genpcd  10929  nqpr  10937  1idpr  10952  ltexprlem4  10962  ltexpri  10966  ltaprlem  10967  prlem936  10970  reclem2pr  10971  reclem3pr  10972  reclem4pr  10973  suplem1pr  10975  suplem2pr  10976  supexpr  10977  recexsrlem  11026  addgt0sr  11027  mulgt0sr  11028  mappsrpr  11031  map2psrpr  11033  supsrlem  11034  supsr  11035  ltresr  11063  dfle2  13073  dflt2  13074  dvdszrcl  16196  letsr  18528  hmphtop  23734  brtxp2  36092  brpprod3a  36097  brxrn2  38629  aks6d1c1p1rcl  42472  iccdisj2  49250  i0oii  49273  io1ii  49274