Theorem brel 5720

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
brel	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
2	1	ssbri 5153	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵)
3		brxp 5704	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
4	2, 3	sylib 221	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   × cxp 5653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-xp 5661

This theorem is used by:  brab2a  5749  soirri  6132  sotri  6133  sotri2  6135  sotri3  6136  ndmovord  7635  ndmovordi  7636  swoer  8777  brecop2  8860  ecopovsym  8868  ecopovtrn  8869  hartogslem1  9563  nlt1pi  11018  indpi  11019  nqerf  11042  ordpipq  11054  lterpq  11082  ltexnq  11087  ltbtwnnq  11090  ltrnq  11091  prnmadd  11109  genpcd  11118  nqpr  11126  1idpr  11141  ltexprlem4  11151  ltexpri  11155  ltaprlem  11156  prlem936  11159  reclem2pr  11160  reclem3pr  11161  reclem4pr  11162  suplem1pr  11164  suplem2pr  11165  supexpr  11166  recexsrlem  11215  addgt0sr  11216  mulgt0sr  11217  mappsrpr  11220  map2psrpr  11222  supsrlem  11223  supsr  11224  ltresr  11252  dfle2  13303  dflt2  13304  dvdszrcl  16456  letsr  18796  hmphtop  24127  brtxp2  36821  brpprod3a  36826  brxrn2  39508  aks6d1c1p1rcl  43350  iccdisj2  50216  i0oii  50239  io1ii  50240