Theorem brel 5643

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
brel	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
2	1	ssbri 5115	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵)
3		brxp 5627	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
4	2, 3	sylib 217	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   × cxp 5578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586

This theorem is referenced by:  brab2a  5670  soirri  6020  sotri  6021  sotri2  6023  sotri3  6024  ndmovord  7440  ndmovordi  7441  swoer  8486  brecop2  8558  ecopovsym  8566  ecopovtrn  8567  hartogslem1  9231  nlt1pi  10593  indpi  10594  nqerf  10617  ordpipq  10629  lterpq  10657  ltexnq  10662  ltbtwnnq  10665  ltrnq  10666  prnmadd  10684  genpcd  10693  nqpr  10701  1idpr  10716  ltexprlem4  10726  ltexpri  10730  ltaprlem  10731  prlem936  10734  reclem2pr  10735  reclem3pr  10736  reclem4pr  10737  suplem1pr  10739  suplem2pr  10740  supexpr  10741  recexsrlem  10790  addgt0sr  10791  mulgt0sr  10792  mappsrpr  10795  map2psrpr  10797  supsrlem  10798  supsr  10799  ltresr  10827  dfle2  12810  dflt2  12811  dvdszrcl  15896  letsr  18226  hmphtop  22837  brtxp2  34110  brpprod3a  34115  brxrn2  36432  iccdisj2  46079  i0oii  46101  io1ii  46102