Theorem brel 5684

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
brel	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 × 𝐷)
2	1	ssbri 5138	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵)
3		brxp 5668	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
4	2, 3	sylib 218	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093   × cxp 5617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-xp 5625

This theorem is referenced by:  brab2a  5712  soirri  6077  sotri  6078  sotri2  6080  sotri3  6081  ndmovord  7542  ndmovordi  7543  swoer  8659  brecop2  8741  ecopovsym  8749  ecopovtrn  8750  hartogslem1  9435  nlt1pi  10804  indpi  10805  nqerf  10828  ordpipq  10840  lterpq  10868  ltexnq  10873  ltbtwnnq  10876  ltrnq  10877  prnmadd  10895  genpcd  10904  nqpr  10912  1idpr  10927  ltexprlem4  10937  ltexpri  10941  ltaprlem  10942  prlem936  10945  reclem2pr  10946  reclem3pr  10947  reclem4pr  10948  suplem1pr  10950  suplem2pr  10951  supexpr  10952  recexsrlem  11001  addgt0sr  11002  mulgt0sr  11003  mappsrpr  11006  map2psrpr  11008  supsrlem  11009  supsr  11010  ltresr  11038  dfle2  13048  dflt2  13049  dvdszrcl  16170  letsr  18501  hmphtop  23694  brtxp2  35944  brpprod3a  35949  brxrn2  38428  aks6d1c1p1rcl  42221  iccdisj2  49021  i0oii  49044  io1ii  49045