Theorem nzss 44677

Description: The set of multiples of m, mℤ, is a subset of those of n, nℤ, iff n divides m. Lemma 2.1(a) of https://www.mscs.dal.ca/~selinger/3343/handouts/ideals.pdf p. 5, with mℤ and nℤ as images of the divides relation under m and n. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nzss.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
nzss.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nzss	⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ 𝑀))

Proof of Theorem nzss

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzss.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		nzss.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
3		iddvds 16208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∥ 𝑀)
4		breq2 5104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑀 ∥ 𝑥 ↔ 𝑀 ∥ 𝑀))
5	4	elabg 3633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ↔ 𝑀 ∥ 𝑀))
6	3, 5	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
7		reldvds 44675	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ∥
8		relimasn 6052	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑀}) = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ( ∥ “ {𝑀}) = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥}
10	6, 9	eleqtrrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑀}))
11		ssel 3929	. . . . . . 7 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑀}) → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁})))
12	10, 11	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁})))
13		breq2 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑀))
14		relimasn 6052	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
16	13, 15	elab2g 3637	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ 𝑀))
17	12, 16	mpbidi 241	. . . . 5 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑀))
18	17	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → 𝑁 ∥ 𝑀))
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → 𝑁 ∥ 𝑀))
20		ssid 3958	. . . . . . 7 ⊢ {0} ⊆ {0}
21		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∥ 𝑀)
22		breq1 5103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
23		dvdszrcl 16196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
24	23	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℤ)
25		0dvds 16215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
27	22, 26	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
28	21, 27	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑀 = 0)
29	28	breq1d 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑥 ↔ 0 ∥ 𝑥))
30		0dvds 16215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑥 ↔ 𝑥 = 0))
31	29, 30	sylan9bb 509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑥 ↔ 𝑥 = 0))
32	31	rabbidva 3407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0})
33		0z 12511	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
34		rabsn 4680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0} = {0})
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0} = {0}
36	32, 35	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} = {0})
37		breq1 5103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 0 ∥ 𝑥))
38	37	rabbidv 3408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥})
39	30	rabbiia 3405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0}
40	39, 35	eqtri 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥} = {0}
41	38, 40	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {0})
42	41	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {0})
43	36, 42	sseq12d 3969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ {0} ⊆ {0}))
44	20, 43	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
45	24	zcnd 12609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℂ)
46	45	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
47	23	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → 𝑁 ∈ ℤ)
48	47	zcnd 12609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → 𝑁 ∈ ℂ)
49	48	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
51	46, 49, 50	divcan2d 11931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
52	51	breq1d 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ 𝑛))
53	47	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
54		dvdsval2 16194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
55	54	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
56	55	3com23 1127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
57	56	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
58	23, 57	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
59	58	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
60	59	anabss1 667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
61	53, 60	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
62		muldvds1 16219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ 𝑛))
63	62	3expa 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ 𝑛))
64	61, 63	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ 𝑛))
65	52, 64	sylbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ 𝑛))
66	65	ss2rabdv 4029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑛} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑛})
67		breq2 5104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑀 ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ 𝑥))
68	67	cbvrabv 3411	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑛} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥}
69		breq2 5104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑁 ∥ 𝑛 ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
70	69	cbvrabv 3411	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑛} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
71	66, 68, 70	3sstr3g 3988	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
72	44, 71	pm2.61dane 3020	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
73		breq1 5103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ∥ 𝑥 ↔ 𝑀 ∥ 𝑥))
74	73	rabbidv 3408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
75	73	abbidv 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
76	74, 75	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} ↔ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥}))
77		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∥ 𝑦) → 𝑛 ∥ 𝑦)
78		dvdszrcl 16196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∥ 𝑦 → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
79	78	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∥ 𝑦 → 𝑦 ∈ ℤ)
80	79	ancri 549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∥ 𝑦 → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∥ 𝑦))
81	77, 80	impbii 209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∥ 𝑦) ↔ 𝑛 ∥ 𝑦)
82		breq2 5104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∥ 𝑥 ↔ 𝑛 ∥ 𝑦))
83	82	elrab 3648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∥ 𝑦))
84		vex 3446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
85	84, 82	elab 3636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} ↔ 𝑛 ∥ 𝑦)
86	81, 83, 85	3bitr4i 303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥})
87	86	eqriv 2734	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥}
88	76, 87	vtoclg 3513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
89	88	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
90		breq1 5103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
91	90	rabbidv 3408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
92	90	abbidv 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
93	91, 92	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} ↔ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}))
94	93, 87	vtoclg 3513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
95	94	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
96	89, 95	sseq12d 3969	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}))
97	72, 96	imbitrid 244	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∥ 𝑀 → {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}))
98	9, 15	sseq12i 3966	. . . 4 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
99	97, 98	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∥ 𝑀 → ( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁})))
100	19, 99	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ 𝑀))
101	1, 2, 100	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  {crab 3401   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100   “ cima 5635  Rel wrel 5637  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043   / cdiv 11806  ℤcz 12500   ∥ cdvds 16191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-dvds 16192

This theorem is referenced by:  nzin  44678