Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nzss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nzss 42508
Description: The set of multiples of m, mℤ, is a subset of those of n, nℤ, iff n divides m. Lemma 2.1(a) of https://www.mscs.dal.ca/~selinger/3343/handouts/ideals.pdf p. 5, with mℤ and nℤ as images of the divides relation under m and n. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nzss.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
nzss.n (𝜑𝑁𝑉)
Assertion
Ref Expression
nzss (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁𝑀))

Proof of Theorem nzss
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nzss.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 nzss.n . 2 (𝜑𝑁𝑉)
3 iddvds 16112 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀𝑀)
4 breq2 5107 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → (𝑀𝑥𝑀𝑀))
54elabg 3626 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ {𝑥𝑀𝑥} ↔ 𝑀𝑀))
63, 5mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑥𝑀𝑥})
7 reldvds 42506 . . . . . . . . 9 Rel ∥
8 relimasn 6034 . . . . . . . . 9 (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑀}) = {𝑥𝑀𝑥})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 ( ∥ “ {𝑀}) = {𝑥𝑀𝑥}
106, 9eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑀}))
11 ssel 3935 . . . . . . 7 (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑀}) → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁})))
1210, 11syl5 34 . . . . . 6 (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁})))
13 breq2 5107 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝑁𝑥𝑁𝑀))
14 relimasn 6034 . . . . . . . 8 (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
157, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥}
1613, 15elab2g 3630 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁𝑀))
1712, 16mpbidi 240 . . . . 5 (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑁𝑀))
1817com12 32 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → 𝑁𝑀))
1918adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → 𝑁𝑀))
20 ssid 3964 . . . . . . 7 {0} ⊆ {0}
21 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → 𝑁𝑀)
22 breq1 5106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
23 dvdszrcl 16101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝑀 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2423simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝑀𝑀 ∈ ℤ)
25 0dvds 16119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁𝑀 → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
2722, 26sylan9bbr 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → (𝑁𝑀𝑀 = 0))
2821, 27mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → 𝑀 = 0)
2928breq1d 5113 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → (𝑀𝑥 ↔ 0 ∥ 𝑥))
30 0dvds 16119 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑥𝑥 = 0))
3129, 30sylan9bb 510 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑀𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀𝑥𝑥 = 0))
3231rabbidva 3412 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0})
33 0z 12468 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
34 rabsn 4680 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0} = {0})
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0} = {0}
3632, 35eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {0})
37 breq1 5106 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑥 ↔ 0 ∥ 𝑥))
3837rabbidv 3413 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥})
3930rabbiia 3409 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0}
4039, 35eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥} = {0}
4138, 40eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {0})
4241adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {0})
4336, 42sseq12d 3975 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} ↔ {0} ⊆ {0}))
4420, 43mpbiri 257 . . . . . 6 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥})
4524zcnd 12566 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁𝑀𝑀 ∈ ℂ)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
4723simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁𝑀𝑁 ∈ ℤ)
4847zcnd 12566 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁𝑀𝑁 ∈ ℂ)
4948ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
5146, 49, 50divcan2d 11891 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
5251breq1d 5113 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛𝑀𝑛))
5347adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
54 dvdsval2 16099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
5554biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
56553com23 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
57563expa 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
5823, 57sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → (𝑁𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
5958imp 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
6059anabss1 664 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
6153, 60jca 512 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
62 muldvds1 16123 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛𝑁𝑛))
63623expa 1118 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛𝑁𝑛))
6461, 63sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛𝑁𝑛))
6552, 64sylbird 259 . . . . . . . 8 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛𝑁𝑛))
6665ss2rabdv 4031 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑛} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑛})
67 breq2 5107 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝑀𝑛𝑀𝑥))
6867cbvrabv 3415 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑛} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥}
69 breq2 5107 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝑁𝑛𝑁𝑥))
7069cbvrabv 3415 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑛} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥}
7166, 68, 703sstr3g 3986 . . . . . 6 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥})
7244, 71pm2.61dane 3030 . . . . 5 (𝑁𝑀 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥})
73 breq1 5106 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛𝑥𝑀𝑥))
7473rabbidv 3413 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥})
7573abbidv 2806 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → {𝑥𝑛𝑥} = {𝑥𝑀𝑥})
7674, 75eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥𝑛𝑥} ↔ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {𝑥𝑀𝑥}))
77 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑦) → 𝑛𝑦)
78 dvdszrcl 16101 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑦 → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
7978simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑦𝑦 ∈ ℤ)
8079ancri 550 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑦 → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑦))
8177, 80impbii 208 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑦) ↔ 𝑛𝑦)
82 breq2 5107 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛𝑥𝑛𝑦))
8382elrab 3643 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑦))
84 vex 3447 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
8584, 82elab 3628 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑥𝑛𝑥} ↔ 𝑛𝑦)
8681, 83, 853bitr4i 302 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} ↔ 𝑦 ∈ {𝑥𝑛𝑥})
8786eqriv 2734 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥𝑛𝑥}
8876, 87vtoclg 3523 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {𝑥𝑀𝑥})
8988adantr 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {𝑥𝑀𝑥})
90 breq1 5106 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑥𝑁𝑥))
9190rabbidv 3413 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥})
9290abbidv 2806 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → {𝑥𝑛𝑥} = {𝑥𝑁𝑥})
9391, 92eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥𝑛𝑥} ↔ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {𝑥𝑁𝑥}))
9493, 87vtoclg 3523 . . . . . . 7 (𝑁𝑉 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {𝑥𝑁𝑥})
9594adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {𝑥𝑁𝑥})
9689, 95sseq12d 3975 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} ↔ {𝑥𝑀𝑥} ⊆ {𝑥𝑁𝑥}))
9772, 96imbitrid 243 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁𝑀 → {𝑥𝑀𝑥} ⊆ {𝑥𝑁𝑥}))
989, 15sseq12i 3972 . . . 4 (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ {𝑥𝑀𝑥} ⊆ {𝑥𝑁𝑥})
9997, 98syl6ibr 251 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁𝑀 → ( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁})))
10019, 99impbid 211 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁𝑀))
1011, 2, 100syl2anc 584 1 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2714  wne 2941  {crab 3405  wss 3908  {csn 4584   class class class wbr 5103  cima 5634  Rel wrel 5636  (class class class)co 7351  cc 11007  0cc0 11009   · cmul 11014   / cdiv 11770  cz 12457  cdvds 16096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-dvds 16097
This theorem is referenced by:  nzin  42509
  Copyright terms: Public domain W3C validator