Theorem nzss 44300

Description: The set of multiples of m, mℤ, is a subset of those of n, nℤ, iff n divides m. Lemma 2.1(a) of https://www.mscs.dal.ca/~selinger/3343/handouts/ideals.pdf p. 5, with mℤ and nℤ as images of the divides relation under m and n. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nzss.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
nzss.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nzss	⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ 𝑀))

Proof of Theorem nzss

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzss.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		nzss.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
3		iddvds 16180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∥ 𝑀)
4		breq2 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑀 ∥ 𝑥 ↔ 𝑀 ∥ 𝑀))
5	4	elabg 3632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ↔ 𝑀 ∥ 𝑀))
6	3, 5	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
7		reldvds 44298	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ∥
8		relimasn 6036	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑀}) = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ( ∥ “ {𝑀}) = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥}
10	6, 9	eleqtrrdi 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑀}))
11		ssel 3929	. . . . . . 7 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑀}) → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁})))
12	10, 11	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁})))
13		breq2 5096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑀))
14		relimasn 6036	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
16	13, 15	elab2g 3636	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ 𝑀))
17	12, 16	mpbidi 241	. . . . 5 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑀))
18	17	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → 𝑁 ∥ 𝑀))
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → 𝑁 ∥ 𝑀))
20		ssid 3958	. . . . . . 7 ⊢ {0} ⊆ {0}
21		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∥ 𝑀)
22		breq1 5095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
23		dvdszrcl 16168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
24	23	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℤ)
25		0dvds 16187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
27	22, 26	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
28	21, 27	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑀 = 0)
29	28	breq1d 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑥 ↔ 0 ∥ 𝑥))
30		0dvds 16187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑥 ↔ 𝑥 = 0))
31	29, 30	sylan9bb 509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑥 ↔ 𝑥 = 0))
32	31	rabbidva 3401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0})
33		0z 12482	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
34		rabsn 4673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0} = {0})
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0} = {0}
36	32, 35	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} = {0})
37		breq1 5095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 0 ∥ 𝑥))
38	37	rabbidv 3402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥})
39	30	rabbiia 3398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0}
40	39, 35	eqtri 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥} = {0}
41	38, 40	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {0})
42	41	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {0})
43	36, 42	sseq12d 3969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ {0} ⊆ {0}))
44	20, 43	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
45	24	zcnd 12581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℂ)
46	45	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
47	23	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → 𝑁 ∈ ℤ)
48	47	zcnd 12581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → 𝑁 ∈ ℂ)
49	48	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
51	46, 49, 50	divcan2d 11902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
52	51	breq1d 5102	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ 𝑛))
53	47	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
54		dvdsval2 16166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
55	54	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
56	55	3com23 1126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
57	56	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
58	23, 57	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
59	58	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
60	59	anabss1 666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
61	53, 60	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
62		muldvds1 16191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ 𝑛))
63	62	3expa 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ 𝑛))
64	61, 63	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ 𝑛))
65	52, 64	sylbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ 𝑛))
66	65	ss2rabdv 4027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑛} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑛})
67		breq2 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑀 ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ 𝑥))
68	67	cbvrabv 3405	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑛} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥}
69		breq2 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑁 ∥ 𝑛 ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
70	69	cbvrabv 3405	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑛} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
71	66, 68, 70	3sstr3g 3988	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
72	44, 71	pm2.61dane 3012	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
73		breq1 5095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ∥ 𝑥 ↔ 𝑀 ∥ 𝑥))
74	73	rabbidv 3402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
75	73	abbidv 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
76	74, 75	eqeq12d 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} ↔ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥}))
77		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∥ 𝑦) → 𝑛 ∥ 𝑦)
78		dvdszrcl 16168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∥ 𝑦 → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
79	78	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∥ 𝑦 → 𝑦 ∈ ℤ)
80	79	ancri 549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∥ 𝑦 → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∥ 𝑦))
81	77, 80	impbii 209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∥ 𝑦) ↔ 𝑛 ∥ 𝑦)
82		breq2 5096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∥ 𝑥 ↔ 𝑛 ∥ 𝑦))
83	82	elrab 3648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∥ 𝑦))
84		vex 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
85	84, 82	elab 3635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} ↔ 𝑛 ∥ 𝑦)
86	81, 83, 85	3bitr4i 303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥})
87	86	eqriv 2726	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥}
88	76, 87	vtoclg 3509	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
89	88	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
90		breq1 5095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
91	90	rabbidv 3402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
92	90	abbidv 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
93	91, 92	eqeq12d 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} ↔ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}))
94	93, 87	vtoclg 3509	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
95	94	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
96	89, 95	sseq12d 3969	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}))
97	72, 96	imbitrid 244	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∥ 𝑀 → {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}))
98	9, 15	sseq12i 3966	. . . 4 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
99	97, 98	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∥ 𝑀 → ( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁})))
100	19, 99	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ 𝑀))
101	1, 2, 100	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  {crab 3394   ⊆ wss 3903  {csn 4577   class class class wbr 5092   “ cima 5622  Rel wrel 5624  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  0cc0 11009   · cmul 11014   / cdiv 11777  ℤcz 12471   ∥ cdvds 16163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-dvds 16164

This theorem is referenced by:  nzin  44301