Theorem nzss 45047

Description: The set of multiples of m, mℤ, is a subset of those of n, nℤ, iff n divides m. Lemma 2.1(a) of https://www.mscs.dal.ca/~selinger/3343/handouts/ideals.pdf p. 5, with mℤ and nℤ as images of the divides relation under m and n. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nzss.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
nzss.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nzss	⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ 𝑀))

Proof of Theorem nzss

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzss.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		nzss.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
3		iddvds 16322	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∥ 𝑀)
4		breq2 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑀 ∥ 𝑥 ↔ 𝑀 ∥ 𝑀))
5	4	elabg 3635	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ↔ 𝑀 ∥ 𝑀))
6	3, 5	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
7		reldvds 45045	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ∥
8		relimasn 6087	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑀}) = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ( ∥ “ {𝑀}) = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥}
10	6, 9	eleqtrrdi 2874	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑀}))
11		ssel 3931	. . . . . . 7 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑀}) → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁})))
12	10, 11	syl5 35	. . . . . 6 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁})))
13		breq2 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑀))
14		relimasn 6087	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
16	13, 15	elab2g 3639	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ 𝑀))
17	12, 16	mpbidi 244	. . . . 5 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑀))
18	17	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → 𝑁 ∥ 𝑀))
19	18	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → 𝑁 ∥ 𝑀))
20		ssid 3959	. . . . . . 7 ⊢ {0} ⊆ {0}
21		simpl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∥ 𝑀)
22		breq1 5112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
23		dvdszrcl 16310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
24	23	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℤ)
25		0dvds 16329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → (0 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
27	22, 26	sylan9bbr 519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 = 0))
28	21, 27	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑀 = 0)
29	28	breq1d 5119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑥 ↔ 0 ∥ 𝑥))
30		0dvds 16329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑥 ↔ 𝑥 = 0))
31	29, 30	sylan9bb 518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑥 ↔ 𝑥 = 0))
32	31	rabbidva 3422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0})
33		0z 12597	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
34		rabsn 4687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0} = {0})
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0} = {0}
36	32, 35	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} = {0})
37		breq1 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 0 ∥ 𝑥))
38	37	rabbidv 3423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥})
39	30	rabbiia 3420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0}
40	39, 35	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥} = {0}
41	38, 40	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {0})
42	41	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {0})
43	36, 42	sseq12d 3970	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ {0} ⊆ {0}))
44	20, 43	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
45	24	zcnd 12696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℂ)
46	45	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
47	23	simpld 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → 𝑁 ∈ ℤ)
48	47	zcnd 12696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → 𝑁 ∈ ℂ)
49	48	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
51	46, 49, 50	divcan2d 11988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
52	51	breq1d 5119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ 𝑛))
53	47	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
54		dvdsval2 16308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
55	54	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
56	55	3com23 1144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
57	56	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
58	23, 57	sylan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ 𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
59	58	imp 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
60	59	anabss1 678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
61	53, 60	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
62		muldvds1 16333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ 𝑛))
63	62	3expa 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ 𝑛))
64	61, 63	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ 𝑛))
65	52, 64	sylbird 263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ 𝑛))
66	65	ss2rabdv 4029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑛} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑛})
67		breq2 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑀 ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ 𝑥))
68	67	cbvrabv 3426	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑛} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥}
69		breq2 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝑁 ∥ 𝑛 ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
70	69	cbvrabv 3426	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑛} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
71	66, 68, 70	3sstr3g 3989	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∥ 𝑀 ∧ 𝑁 ≠ 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
72	44, 71	pm2.61dane 3045	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑀 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
73		breq1 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 ∥ 𝑥 ↔ 𝑀 ∥ 𝑥))
74	73	rabbidv 3423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
75	73	abbidv 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
76	74, 75	eqeq12d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} ↔ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥}))
77		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∥ 𝑦) → 𝑛 ∥ 𝑦)
78		dvdszrcl 16310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∥ 𝑦 → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
79	78	simprd 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∥ 𝑦 → 𝑦 ∈ ℤ)
80	79	ancri 558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∥ 𝑦 → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∥ 𝑦))
81	77, 80	impbii 212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∥ 𝑦) ↔ 𝑛 ∥ 𝑦)
82		breq2 5113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∥ 𝑥 ↔ 𝑛 ∥ 𝑦))
83	82	elrab 3650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∥ 𝑦))
84		vex 3459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
85	84, 82	elab 3638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} ↔ 𝑛 ∥ 𝑦)
86	81, 83, 85	3bitr4i 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} ↔ 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥})
87	86	eqriv 2760	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥}
88	76, 87	vtoclg 3522	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
89	88	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥})
90		breq1 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
91	90	rabbidv 3423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
92	90	abbidv 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
93	91, 92	eqeq12d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑛 ∥ 𝑥} ↔ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}))
94	93, 87	vtoclg 3522	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
95	94	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
96	89, 95	sseq12d 3970	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}))
97	72, 96	imbitrid 247	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∥ 𝑀 → {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}))
98	9, 15	sseq12i 3967	. . . 4 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ {𝑥 ∣ 𝑀 ∥ 𝑥} ⊆ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
99	97, 98	imbitrrdi 255	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∥ 𝑀 → ( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁})))
100	19, 99	impbid 215	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ 𝑀))
101	1, 2, 100	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741   ≠ wne 2958  {crab 3416   ⊆ wss 3905  {csn 4589   class class class wbr 5109   “ cima 5664  Rel wrel 5666  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095   · cmul 11100   / cdiv 11866  ℤcz 12586   ∥ cdvds 16305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-dvds 16306

This theorem is referenced by:  nzin  45048