Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nzss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nzss 43893
Description: The set of multiples of m, mℤ, is a subset of those of n, nℤ, iff n divides m. Lemma 2.1(a) of https://www.mscs.dal.ca/~selinger/3343/handouts/ideals.pdf p. 5, with mℤ and nℤ as images of the divides relation under m and n. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nzss.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
nzss.n (𝜑𝑁𝑉)
Assertion
Ref Expression
nzss (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁𝑀))

Proof of Theorem nzss
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nzss.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 nzss.n . 2 (𝜑𝑁𝑉)
3 iddvds 16250 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀𝑀)
4 breq2 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → (𝑀𝑥𝑀𝑀))
54elabg 3662 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ {𝑥𝑀𝑥} ↔ 𝑀𝑀))
63, 5mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑥𝑀𝑥})
7 reldvds 43891 . . . . . . . . 9 Rel ∥
8 relimasn 6089 . . . . . . . . 9 (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑀}) = {𝑥𝑀𝑥})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 ( ∥ “ {𝑀}) = {𝑥𝑀𝑥}
106, 9eleqtrrdi 2836 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑀}))
11 ssel 3970 . . . . . . 7 (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑀}) → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁})))
1210, 11syl5 34 . . . . . 6 (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁})))
13 breq2 5153 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝑁𝑥𝑁𝑀))
14 relimasn 6089 . . . . . . . 8 (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
157, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥}
1613, 15elab2g 3666 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁𝑀))
1712, 16mpbidi 240 . . . . 5 (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑁𝑀))
1817com12 32 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → 𝑁𝑀))
1918adantr 479 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → 𝑁𝑀))
20 ssid 3999 . . . . . . 7 {0} ⊆ {0}
21 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → 𝑁𝑀)
22 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
23 dvdszrcl 16239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝑀 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2423simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝑀𝑀 ∈ ℤ)
25 0dvds 16257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁𝑀 → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
2722, 26sylan9bbr 509 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → (𝑁𝑀𝑀 = 0))
2821, 27mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → 𝑀 = 0)
2928breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → (𝑀𝑥 ↔ 0 ∥ 𝑥))
30 0dvds 16257 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑥𝑥 = 0))
3129, 30sylan9bb 508 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑀𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀𝑥𝑥 = 0))
3231rabbidva 3425 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0})
33 0z 12602 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
34 rabsn 4727 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0} = {0})
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0} = {0}
3632, 35eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {0})
37 breq1 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑥 ↔ 0 ∥ 𝑥))
3837rabbidv 3426 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥})
3930rabbiia 3422 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0}
4039, 35eqtri 2753 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥} = {0}
4138, 40eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {0})
4241adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {0})
4336, 42sseq12d 4010 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} ↔ {0} ⊆ {0}))
4420, 43mpbiri 257 . . . . . 6 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥})
4524zcnd 12700 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁𝑀𝑀 ∈ ℂ)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
4723simpld 493 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁𝑀𝑁 ∈ ℤ)
4847zcnd 12700 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁𝑀𝑁 ∈ ℂ)
4948ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
5146, 49, 50divcan2d 12025 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
5251breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛𝑀𝑛))
5347adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
54 dvdsval2 16237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
5554biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
56553com23 1123 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
57563expa 1115 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
5823, 57sylan 578 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → (𝑁𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
5958imp 405 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
6059anabss1 664 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
6153, 60jca 510 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
62 muldvds1 16261 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛𝑁𝑛))
63623expa 1115 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛𝑁𝑛))
6461, 63sylan 578 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛𝑁𝑛))
6552, 64sylbird 259 . . . . . . . 8 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛𝑁𝑛))
6665ss2rabdv 4069 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑛} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑛})
67 breq2 5153 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝑀𝑛𝑀𝑥))
6867cbvrabv 3429 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑛} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥}
69 breq2 5153 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝑁𝑛𝑁𝑥))
7069cbvrabv 3429 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑛} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥}
7166, 68, 703sstr3g 4021 . . . . . 6 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥})
7244, 71pm2.61dane 3018 . . . . 5 (𝑁𝑀 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥})
73 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛𝑥𝑀𝑥))
7473rabbidv 3426 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥})
7573abbidv 2794 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → {𝑥𝑛𝑥} = {𝑥𝑀𝑥})
7674, 75eqeq12d 2741 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥𝑛𝑥} ↔ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {𝑥𝑀𝑥}))
77 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑦) → 𝑛𝑦)
78 dvdszrcl 16239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑦 → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
7978simprd 494 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑦𝑦 ∈ ℤ)
8079ancri 548 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑦 → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑦))
8177, 80impbii 208 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑦) ↔ 𝑛𝑦)
82 breq2 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛𝑥𝑛𝑦))
8382elrab 3679 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑦))
84 vex 3465 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
8584, 82elab 3664 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑥𝑛𝑥} ↔ 𝑛𝑦)
8681, 83, 853bitr4i 302 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} ↔ 𝑦 ∈ {𝑥𝑛𝑥})
8786eqriv 2722 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥𝑛𝑥}
8876, 87vtoclg 3532 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {𝑥𝑀𝑥})
8988adantr 479 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {𝑥𝑀𝑥})
90 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑥𝑁𝑥))
9190rabbidv 3426 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥})
9290abbidv 2794 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → {𝑥𝑛𝑥} = {𝑥𝑁𝑥})
9391, 92eqeq12d 2741 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥𝑛𝑥} ↔ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {𝑥𝑁𝑥}))
9493, 87vtoclg 3532 . . . . . . 7 (𝑁𝑉 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {𝑥𝑁𝑥})
9594adantl 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {𝑥𝑁𝑥})
9689, 95sseq12d 4010 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} ↔ {𝑥𝑀𝑥} ⊆ {𝑥𝑁𝑥}))
9772, 96imbitrid 243 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁𝑀 → {𝑥𝑀𝑥} ⊆ {𝑥𝑁𝑥}))
989, 15sseq12i 4007 . . . 4 (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ {𝑥𝑀𝑥} ⊆ {𝑥𝑁𝑥})
9997, 98imbitrrdi 251 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁𝑀 → ( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁})))
10019, 99impbid 211 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁𝑀))
1011, 2, 100syl2anc 582 1 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2702  wne 2929  {crab 3418  wss 3944  {csn 4630   class class class wbr 5149  cima 5681  Rel wrel 5683  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140   · cmul 11145   / cdiv 11903  cz 12591  cdvds 16234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-dvds 16235
This theorem is referenced by:  nzin  43894
  Copyright terms: Public domain W3C validator