Theorem nzin 45056

Description: The intersection of the set of multiples of m, mℤ, and those of n, nℤ, is the set of multiples of their least common multiple. Roughly Lemma 2.1(c) of https://www.mscs.dal.ca/~selinger/3343/handouts/ideals.pdf p. 5 and Problem 1(b) of https://people.math.binghamton.edu/mazur/teach/40107/40107h16sol.pdf p. 1, with mℤ and nℤ as images of the divides relation under m and n. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nzin.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
nzin.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
nzin	⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}))

Proof of Theorem nzin

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 16321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∥ 𝑛 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ))
2		dvdszrcl 16321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑛 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ))
3	1, 2	anim12i 624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)))
4		anandir 689	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)))
5	3, 4	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ))
6	5	ancomd 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
7		lcmdvds 16672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛))
8	7	3expb 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛))
9	6, 8	mpcom 39	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛)
10		elin 3920	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) ↔ (𝑛 ∈ ( ∥ “ {𝑀}) ∧ 𝑛 ∈ ( ∥ “ {𝑁})))
11		reldvds 45053	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∥
12		elrelimasn 6087	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → (𝑛 ∈ ( ∥ “ {𝑀}) ↔ 𝑀 ∥ 𝑛))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ( ∥ “ {𝑀}) ↔ 𝑀 ∥ 𝑛)
14		elrelimasn 6087	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → (𝑛 ∈ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ 𝑛))
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ 𝑛)
16	13, 15	anbi12i 639	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ( ∥ “ {𝑀}) ∧ 𝑛 ∈ ( ∥ “ {𝑁})) ↔ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))
17	10, 16	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) ↔ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))
18		elrelimasn 6087	. . . . . 6 ⊢ (Rel ∥ → (𝑛 ∈ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛))
19	11, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛)
20	9, 17, 19	3imtr4i 295	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) → 𝑛 ∈ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}))
21	20	ssriv 3940	. . 3 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) ⊆ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) ⊆ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}))
23		nzin.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
24		nzin.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
25		dvdslcm 16662	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
26	23, 24, 25	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
27	26	simpld 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))
28		lcmcl 16665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
29	23, 24, 28	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 12622	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ)
31	30, 23	nzss 45055	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) ⊆ ( ∥ “ {𝑀}) ↔ 𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
32	27, 31	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) ⊆ ( ∥ “ {𝑀}))
33	26	simprd 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))
34	30, 24	nzss 45055	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
35	33, 34	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}))
36	32, 35	ssind 4192	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) ⊆ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})))
37	22, 36	eqssd 3953	1 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  {csn 4588   class class class wbr 5108   “ cima 5663  Rel wrel 5665  (class class class)co 7412  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597   ∥ cdvds 16316   lcm clcm 16652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-gcd 16559  df-lcm 16654

This theorem is used by:  nzprmdif  45057