Theorem nzin 44899

Description: The intersection of the set of multiples of m, mℤ, and those of n, nℤ, is the set of multiples of their least common multiple. Roughly Lemma 2.1(c) of https://www.mscs.dal.ca/~selinger/3343/handouts/ideals.pdf p. 5 and Problem 1(b) of https://people.math.binghamton.edu/mazur/teach/40107/40107h16sol.pdf p. 1, with mℤ and nℤ as images of the divides relation under m and n. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nzin.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
nzin.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
nzin	⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}))

Proof of Theorem nzin

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 16293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∥ 𝑛 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ))
2		dvdszrcl 16293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∥ 𝑛 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ))
3	1, 2	anim12i 622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)))
4		anandir 687	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)))
5	3, 4	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ))
6	5	ancomd 465	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
7		lcmdvds 16644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛))
8	7	3expb 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛))
9	6, 8	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛)
10		elin 3922	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) ↔ (𝑛 ∈ ( ∥ “ {𝑀}) ∧ 𝑛 ∈ ( ∥ “ {𝑁})))
11		reldvds 44896	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∥
12		elrelimasn 6077	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → (𝑛 ∈ ( ∥ “ {𝑀}) ↔ 𝑀 ∥ 𝑛))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ( ∥ “ {𝑀}) ↔ 𝑀 ∥ 𝑛)
14		elrelimasn 6077	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → (𝑛 ∈ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ 𝑛))
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ 𝑛)
16	13, 15	anbi12i 637	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ( ∥ “ {𝑀}) ∧ 𝑛 ∈ ( ∥ “ {𝑁})) ↔ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))
17	10, 16	bitri 277	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) ↔ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))
18		elrelimasn 6077	. . . . . 6 ⊢ (Rel ∥ → (𝑛 ∈ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛))
19	11, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛)
20	9, 17, 19	3imtr4i 294	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) → 𝑛 ∈ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}))
21	20	ssriv 3942	. . 3 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) ⊆ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) ⊆ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}))
23		nzin.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
24		nzin.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
25		dvdslcm 16634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
26	23, 24, 25	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
27	26	simpld 498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))
28		lcmcl 16637	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
29	23, 24, 28	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 12595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ)
31	30, 23	nzss 44898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) ⊆ ( ∥ “ {𝑀}) ↔ 𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
32	27, 31	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) ⊆ ( ∥ “ {𝑀}))
33	26	simprd 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))
34	30, 24	nzss 44898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
35	33, 34	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}))
36	32, 35	ssind 4194	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) ⊆ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})))
37	22, 36	eqssd 3955	1 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  {csn 4584   class class class wbr 5102   “ cima 5652  Rel wrel 5654  (class class class)co 7398  ℕ₀cn0 12483  ℤcz 12570   ∥ cdvds 16288   lcm clcm 16624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-dvds 16289  df-gcd 16531  df-lcm 16626

This theorem is referenced by:  nzprmdif  44900