Theorem divconjdvds 16300

Description: If a nonzero integer 𝑀 divides another integer 𝑁, the other integer 𝑁 divided by the nonzero integer 𝑀 (i.e. the divisor conjugate of 𝑁 to 𝑀) divides the other integer 𝑁. Theorem 1.1(k) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divconjdvds	⊢ ((𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)

Proof of Theorem divconjdvds

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 16244	. . 3 ⊢ (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		oveq1 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)))
4	3	eqeq1d 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
5	4	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑚 = 𝑀) → ((𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
6		zcn 12601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
8	7	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
9		zcn 12601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
10	9	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
11	10	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
12		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
13	8, 11, 12	divcan2d 12030	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
14	2, 5, 13	rspcedvd 3608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
15	14	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
16		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)
17		simpr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	2, 12, 18	3jca 1125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
20	19	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
21		dvdsval2 16242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
23	16, 22	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
24	18	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
25		divides 16241	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
26	23, 24, 25	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
27	15, 26	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)
28	27	exp31 418	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)))
29	28	com3r 87	. . 3 ⊢ (𝑀 ∥ 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≠ 0 → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)))
30	1, 29	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁))
31	30	imp 405	1 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∃wrex 3059   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  ℂcc 11143  0cc0 11145   · cmul 11150   / cdiv 11908  ℤcz 12596   ∥ cdvds 16239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-z 12597  df-dvds 16240

This theorem is referenced by:  dvdsdivcl  16301  fincygsubgodexd  20087