MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divconjdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divconjdvds 16132
Description: If a nonzero integer ๐‘€ divides another integer ๐‘, the other integer ๐‘ divided by the nonzero integer ๐‘€ (i.e. the divisor conjugate of ๐‘ to ๐‘€) divides the other integer ๐‘. Theorem 1.1(k) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
divconjdvds ((๐‘€ โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘)

Proof of Theorem divconjdvds
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdszrcl 16076 . . 3 (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
2 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 oveq1 7357 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘š ยท (๐‘ / ๐‘€)) = (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)))
43eqeq1d 2740 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐‘š ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘ โ†” (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘))
54adantl 483 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘š = ๐‘€) โ†’ ((๐‘š ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘ โ†” (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘))
6 zcn 12438 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
76adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
87adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
9 zcn 12438 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
109adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1110adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
12 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
138, 11, 12divcan2d 11867 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘)
142, 5, 13rspcedvd 3582 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘)
1514adantr 482 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘)
16 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
17 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1817adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
192, 12, 183jca 1129 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
2019adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
21 dvdsval2 16074 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
2316, 22mpbid 231 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
2418adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
25 divides 16073 . . . . . . 7 (((๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘))
2623, 24, 25syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘))
2715, 26mpbird 257 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘)
2827exp31 421 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰  0 โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘)))
2928com3r 87 . . 3 (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰  0 โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘)))
301, 29mpd 15 . 2 (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ โ‰  0 โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘))
3130imp 408 1 ((๐‘€ โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942  โˆƒwrex 3072   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  0cc0 10985   ยท cmul 10990   / cdiv 11746  โ„คcz 12433   โˆฅ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-z 12434  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  dvdsdivcl  16133  fincygsubgodexd  19821
  Copyright terms: Public domain W3C validator