Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dvdszrcl 16076 |
. . 3
โข (๐ โฅ ๐ โ (๐ โ โค โง ๐ โ โค)) |
2 | | simpll 766 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โ ๐ โ
โค) |
3 | | oveq1 7357 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ โ (๐ ยท (๐ / ๐)) = (๐ ยท (๐ / ๐))) |
4 | 3 | eqeq1d 2740 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ โ ((๐ ยท (๐ / ๐)) = ๐ โ (๐ ยท (๐ / ๐)) = ๐)) |
5 | 4 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โง ๐ = ๐) โ ((๐ ยท (๐ / ๐)) = ๐ โ (๐ ยท (๐ / ๐)) = ๐)) |
6 | | zcn 12438 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โค โ ๐ โ
โ) |
7 | 6 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โ
โ) |
8 | 7 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โ ๐ โ
โ) |
9 | | zcn 12438 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โค โ ๐ โ
โ) |
10 | 9 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โ
โ) |
11 | 10 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โ ๐ โ
โ) |
12 | | simpr 486 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โ ๐ โ 0) |
13 | 8, 11, 12 | divcan2d 11867 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โ (๐ ยท (๐ / ๐)) = ๐) |
14 | 2, 5, 13 | rspcedvd 3582 |
. . . . . . 7
โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โ โ๐ โ โค (๐ ยท (๐ / ๐)) = ๐) |
15 | 14 | adantr 482 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โง ๐ โฅ ๐) โ โ๐ โ โค (๐ ยท (๐ / ๐)) = ๐) |
16 | | simpr 486 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ โฅ ๐) |
17 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ ๐ โ
โค) |
18 | 17 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โ ๐ โ
โค) |
19 | 2, 12, 18 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โ (๐ โ โค โง ๐ โ 0 โง ๐ โ โค)) |
20 | 19 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โง ๐ โฅ ๐) โ (๐ โ โค โง ๐ โ 0 โง ๐ โ โค)) |
21 | | dvdsval2 16074 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ 0 โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ (๐ / ๐) โ โค)) |
22 | 20, 21 | syl 17 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โง ๐ โฅ ๐) โ (๐ โฅ ๐ โ (๐ / ๐) โ โค)) |
23 | 16, 22 | mpbid 231 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โง ๐ โฅ ๐) โ (๐ / ๐) โ โค) |
24 | 18 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โง ๐ โฅ ๐) โ ๐ โ โค) |
25 | | divides 16073 |
. . . . . . 7
โข (((๐ / ๐) โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ / ๐) โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (๐ ยท (๐ / ๐)) = ๐)) |
26 | 23, 24, 25 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
โข ((((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โง ๐ โฅ ๐) โ ((๐ / ๐) โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (๐ ยท (๐ / ๐)) = ๐)) |
27 | 15, 26 | mpbird 257 |
. . . . 5
โข ((((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โง ๐ โฅ ๐) โ (๐ / ๐) โฅ ๐) |
28 | 27 | exp31 421 |
. . . 4
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โ 0 โ (๐ โฅ ๐ โ (๐ / ๐) โฅ ๐))) |
29 | 28 | com3r 87 |
. . 3
โข (๐ โฅ ๐ โ ((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โ 0 โ (๐ / ๐) โฅ ๐))) |
30 | 1, 29 | mpd 15 |
. 2
โข (๐ โฅ ๐ โ (๐ โ 0 โ (๐ / ๐) โฅ ๐)) |
31 | 30 | imp 408 |
1
โข ((๐ โฅ ๐ โง ๐ โ 0) โ (๐ / ๐) โฅ ๐) |