Theorem divconjdvds 16490

Description: If a nonzero integer 𝑀 divides another integer 𝑁, the other integer 𝑁 divided by the nonzero integer 𝑀 (i.e. the divisor conjugate of 𝑁 to 𝑀) divides the other integer 𝑁. Theorem 1.1(k) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divconjdvds	⊢ ((𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)

Proof of Theorem divconjdvds

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 16432	. . 3 ⊢ (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		oveq1 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)))
4	3	eqeq1d 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
5	4	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑚 = 𝑀) → ((𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
6		zcn 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
8	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
9		zcn 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
10	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
12		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
13	8, 11, 12	divcan2d 12098	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
14	2, 5, 13	rspcedvd 3578	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
16		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)
17		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	2, 12, 18	3jca 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
20	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
21		dvdsval2 16430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
23	16, 22	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
24	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
25		divides 16429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
26	23, 24, 25	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
27	15, 26	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)
28	27	exp31 425	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)))
29	28	com3r 88	. . 3 ⊢ (𝑀 ∥ 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≠ 0 → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)))
30	1, 29	mpd 16	. 2 ⊢ (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁))
31	30	imp 412	1 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203   · cmul 11208   / cdiv 11976  ℤcz 12696   ∥ cdvds 16427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-z 12697  df-dvds 16428

This theorem is used by:  dvdsdivcl  16491  fincygsubgodexd  20334