Theorem divconjdvds 15659

Description: If a nonzero integer 𝑀 divides another integer 𝑁, the other integer 𝑁 divided by the nonzero integer 𝑀 (i.e. the divisor conjugate of 𝑁 to 𝑀) divides the other integer 𝑁. Theorem 1.1(k) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divconjdvds	⊢ ((𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)

Proof of Theorem divconjdvds

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 15606	. . 3 ⊢ (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		oveq1 7157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)))
4	3	eqeq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
5	4	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑚 = 𝑀) → ((𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
6		zcn 11980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
8	7	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
9		zcn 11980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
10	9	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
11	10	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
12		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
13	8, 11, 12	divcan2d 11412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
14	2, 5, 13	rspcedvd 3625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
15	14	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
16		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁)
17		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	2, 12, 18	3jca 1124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
20	19	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
21		dvdsval2 15604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
23	16, 22	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
24	18	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
25		divides 15603	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
26	23, 24, 25	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → ((𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
27	15, 26	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)
28	27	exp31 422	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)))
29	28	com3r 87	. . 3 ⊢ (𝑀 ∥ 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≠ 0 → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)))
30	1, 29	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁))
31	30	imp 409	1 ⊢ ((𝑀 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531   · cmul 10536   / cdiv 11291  ℤcz 11975   ∥ cdvds 15601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-z 11976  df-dvds 15602

This theorem is referenced by:  dvdsdivcl  15660  fincygsubgodexd  19229