MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divconjdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divconjdvds 16131
Description: If a nonzero integer ๐‘€ divides another integer ๐‘, the other integer ๐‘ divided by the nonzero integer ๐‘€ (i.e. the divisor conjugate of ๐‘ to ๐‘€) divides the other integer ๐‘. Theorem 1.1(k) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
divconjdvds ((๐‘€ โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘)

Proof of Theorem divconjdvds
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdszrcl 16075 . . 3 (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
2 simpll 765 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 oveq1 7356 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘š ยท (๐‘ / ๐‘€)) = (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)))
43eqeq1d 2739 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐‘š ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘ โ†” (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘))
54adantl 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘š = ๐‘€) โ†’ ((๐‘š ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘ โ†” (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘))
6 zcn 12437 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
76adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
87adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
9 zcn 12437 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
109adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1110adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
12 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
138, 11, 12divcan2d 11866 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘)
142, 5, 13rspcedvd 3581 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘)
16 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘)
17 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1817adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
192, 12, 183jca 1128 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
2019adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
21 dvdsval2 16073 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
2316, 22mpbid 231 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
2418adantr 481 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
25 divides 16072 . . . . . . 7 (((๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘))
2623, 24, 25syl2anc 584 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘š ยท (๐‘ / ๐‘€)) = ๐‘))
2715, 26mpbird 256 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘€ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘)
2827exp31 420 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰  0 โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘)))
2928com3r 87 . . 3 (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰  0 โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘)))
301, 29mpd 15 . 2 (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ โ‰  0 โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘))
3130imp 407 1 ((๐‘€ โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆฅ ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349  โ„‚cc 10982  0cc0 10984   ยท cmul 10989   / cdiv 11745  โ„คcz 12432   โˆฅ cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-z 12433  df-dvds 16071
This theorem is referenced by:  dvdsdivcl  16132  fincygsubgodexd  19821
  Copyright terms: Public domain W3C validator