MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divconjdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divconjdvds 15421
Description: If a nonzero integer 𝑀 divides another integer 𝑁, the other integer 𝑁 divided by the nonzero integer 𝑀 (i.e. the divisor conjugate of 𝑁 to 𝑀) divides the other integer 𝑁. Theorem 1.1(k) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by AV, 7-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
divconjdvds ((𝑀𝑁𝑀 ≠ 0) → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)

Proof of Theorem divconjdvds
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdszrcl 15369 . . 3 (𝑀𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2 simpll 783 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 oveq1 6917 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)))
43eqeq1d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
54adantl 475 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑚 = 𝑀) → ((𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁 ↔ (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
6 zcn 11716 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
76adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
87adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
9 zcn 11716 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
109adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
1110adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
12 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
138, 11, 12divcan2d 11136 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
142, 5, 13rspcedvd 3533 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
1514adantr 474 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁)
16 simpr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
17 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1817adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
192, 12, 183jca 1162 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2019adantr 474 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
21 dvdsval2 15367 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
2316, 22mpbid 224 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
2418adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
25 divides 15366 . . . . . . 7 (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
2623, 24, 25syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚 · (𝑁 / 𝑀)) = 𝑁))
2715, 26mpbird 249 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)
2827exp31 412 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)))
2928com3r 87 . . 3 (𝑀𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≠ 0 → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)))
301, 29mpd 15 . 2 (𝑀𝑁 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁))
3130imp 397 1 ((𝑀𝑁𝑀 ≠ 0) → (𝑁 / 𝑀) ∥ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wrex 3118   class class class wbr 4875  (class class class)co 6910  cc 10257  0cc0 10259   · cmul 10264   / cdiv 11016  cz 11711  cdvds 15364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-z 11712  df-dvds 15365
This theorem is referenced by:  dvdsdivcl  15422
  Copyright terms: Public domain W3C validator