Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem14 41450
Description: Technical lemma for inequality estimate. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem14.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
lcmineqlem14.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
lcmineqlem14.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem14.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
lcmineqlem14.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem14.6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ท)
lcmineqlem14.7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ธ)
lcmineqlem14.8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆฅ ๐ธ)
lcmineqlem14.9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ธ)

Proof of Theorem lcmineqlem14
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem14.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
21nnzd 12607 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
3 lcmineqlem14.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
43nnzd 12607 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
5 lcmineqlem14.7 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ธ)
6 lcmineqlem14.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
7 lcmineqlem14.5 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„•)
83, 6, 7nnproddivdvdsd 41408 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ธ โ†” ๐ต โˆฅ (๐ธ / ๐ถ)))
95, 8mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆฅ (๐ธ / ๐ถ))
10 dvdszrcl 16227 . . . . 5 (๐ต โˆฅ (๐ธ / ๐ถ) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง (๐ธ / ๐ถ) โˆˆ โ„ค))
119, 10syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง (๐ธ / ๐ถ) โˆˆ โ„ค))
1211simprd 495 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ / ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
13 lcmineqlem14.9 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
146nnzd 12607 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
152, 14zmulcld 12694 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
16 lcmineqlem14.4 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
1716nnzd 12607 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
187nnzd 12607 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„ค)
19 lcmineqlem14.6 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ท)
20 lcmineqlem14.8 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆฅ ๐ธ)
2115, 17, 18, 19, 20dvdstrd 16263 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ธ)
221, 6, 7nnproddivdvdsd 41408 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ธ โ†” ๐ด โˆฅ (๐ธ / ๐ถ)))
2321, 22mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ธ / ๐ถ))
242, 4, 12, 13, 23, 9coprmdvds2d 41409 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆฅ (๐ธ / ๐ถ))
251, 3nnmulcld 12287 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
2625, 6, 7nnproddivdvdsd 41408 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ธ โ†” (๐ด ยท ๐ต) โˆฅ (๐ธ / ๐ถ)))
2724, 26mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ธ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  1c1 11131   ยท cmul 11135   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  โ„คcz 12580   โˆฅ cdvds 16222   gcd cgcd 16460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461
This theorem is referenced by:  lcmineqlem19  41455
  Copyright terms: Public domain W3C validator