Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem14 40528
Description: Technical lemma for inequality estimate. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem14.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
lcmineqlem14.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
lcmineqlem14.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem14.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
lcmineqlem14.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem14.6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ท)
lcmineqlem14.7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ธ)
lcmineqlem14.8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆฅ ๐ธ)
lcmineqlem14.9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem14 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ธ)

Proof of Theorem lcmineqlem14
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem14.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
21nnzd 12533 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
3 lcmineqlem14.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
43nnzd 12533 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
5 lcmineqlem14.7 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ธ)
6 lcmineqlem14.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
7 lcmineqlem14.5 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„•)
83, 6, 7nnproddivdvdsd 40487 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ธ โ†” ๐ต โˆฅ (๐ธ / ๐ถ)))
95, 8mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆฅ (๐ธ / ๐ถ))
10 dvdszrcl 16148 . . . . 5 (๐ต โˆฅ (๐ธ / ๐ถ) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง (๐ธ / ๐ถ) โˆˆ โ„ค))
119, 10syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง (๐ธ / ๐ถ) โˆˆ โ„ค))
1211simprd 497 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ / ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
13 lcmineqlem14.9 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
146nnzd 12533 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
152, 14zmulcld 12620 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
16 lcmineqlem14.4 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
1716nnzd 12533 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
187nnzd 12533 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„ค)
19 lcmineqlem14.6 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ท)
20 lcmineqlem14.8 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆฅ ๐ธ)
2115, 17, 18, 19, 20dvdstrd 16184 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ธ)
221, 6, 7nnproddivdvdsd 40487 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ธ โ†” ๐ด โˆฅ (๐ธ / ๐ถ)))
2321, 22mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ธ / ๐ถ))
242, 4, 12, 13, 23, 9coprmdvds2d 40488 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆฅ (๐ธ / ๐ถ))
251, 3nnmulcld 12213 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
2625, 6, 7nnproddivdvdsd 40487 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ธ โ†” (๐ด ยท ๐ต) โˆฅ (๐ธ / ๐ถ)))
2724, 26mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) โˆฅ ๐ธ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  1c1 11059   ยท cmul 11063   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  โ„คcz 12506   โˆฅ cdvds 16143   gcd cgcd 16381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382
This theorem is referenced by:  lcmineqlem19  40533
  Copyright terms: Public domain W3C validator