Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem14 40076
Description: Technical lemma for inequality estimate. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem14.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.5 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∥ 𝐷)
lcmineqlem14.7 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∥ 𝐸)
lcmineqlem14.8 (𝜑𝐷𝐸)
lcmineqlem14.9 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem14 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) ∥ 𝐸)

Proof of Theorem lcmineqlem14
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem14.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
21nnzd 12453 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
3 lcmineqlem14.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
43nnzd 12453 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
5 lcmineqlem14.7 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∥ 𝐸)
6 lcmineqlem14.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
7 lcmineqlem14.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
83, 6, 7nnproddivdvdsd 40035 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) ∥ 𝐸𝐵 ∥ (𝐸 / 𝐶)))
95, 8mpbid 231 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∥ (𝐸 / 𝐶))
10 dvdszrcl 15996 . . . . 5 (𝐵 ∥ (𝐸 / 𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐸 / 𝐶) ∈ ℤ))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐸 / 𝐶) ∈ ℤ))
1211simprd 495 . . 3 (𝜑 → (𝐸 / 𝐶) ∈ ℤ)
13 lcmineqlem14.9 . . 3 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
146nnzd 12453 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
152, 14zmulcld 12460 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
16 lcmineqlem14.4 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
1716nnzd 12453 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
187nnzd 12453 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
19 lcmineqlem14.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∥ 𝐷)
20 lcmineqlem14.8 . . . . 5 (𝜑𝐷𝐸)
2115, 17, 18, 19, 20dvdstrd 16032 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∥ 𝐸)
221, 6, 7nnproddivdvdsd 40035 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) ∥ 𝐸𝐴 ∥ (𝐸 / 𝐶)))
2321, 22mpbid 231 . . 3 (𝜑𝐴 ∥ (𝐸 / 𝐶))
242, 4, 12, 13, 23, 9coprmdvds2d 40036 . 2 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∥ (𝐸 / 𝐶))
251, 3nnmulcld 12054 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
2625, 6, 7nnproddivdvdsd 40035 . 2 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) ∥ 𝐸 ↔ (𝐴 · 𝐵) ∥ (𝐸 / 𝐶)))
2724, 26mpbird 256 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) ∥ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2101   class class class wbr 5077  (class class class)co 7295  1c1 10900   · cmul 10904   / cdiv 11660  cn 12001  cz 12347  cdvds 15991   gcd cgcd 16229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-sup 9229  df-inf 9230  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-rp 12759  df-fl 13540  df-mod 13618  df-seq 13750  df-exp 13811  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-dvds 15992  df-gcd 16230
This theorem is referenced by:  lcmineqlem19  40081
  Copyright terms: Public domain W3C validator