![]() |
Mathbox for metakunt |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > lcmineqlem14 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Technical lemma for inequality estimate. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
lcmineqlem14.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
lcmineqlem14.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
lcmineqlem14.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
lcmineqlem14.4 | โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
lcmineqlem14.5 | โข (๐ โ ๐ธ โ โ) |
lcmineqlem14.6 | โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) โฅ ๐ท) |
lcmineqlem14.7 | โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ถ) โฅ ๐ธ) |
lcmineqlem14.8 | โข (๐ โ ๐ท โฅ ๐ธ) |
lcmineqlem14.9 | โข (๐ โ (๐ด gcd ๐ต) = 1) |
Ref | Expression |
---|---|
lcmineqlem14 | โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) โฅ ๐ธ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | lcmineqlem14.1 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | 1 | nnzd 12607 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โค) |
3 | lcmineqlem14.2 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
4 | 3 | nnzd 12607 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โค) |
5 | lcmineqlem14.7 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ถ) โฅ ๐ธ) | |
6 | lcmineqlem14.3 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
7 | lcmineqlem14.5 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ธ โ โ) | |
8 | 3, 6, 7 | nnproddivdvdsd 41408 | . . . . . 6 โข (๐ โ ((๐ต ยท ๐ถ) โฅ ๐ธ โ ๐ต โฅ (๐ธ / ๐ถ))) |
9 | 5, 8 | mpbid 231 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โฅ (๐ธ / ๐ถ)) |
10 | dvdszrcl 16227 | . . . . 5 โข (๐ต โฅ (๐ธ / ๐ถ) โ (๐ต โ โค โง (๐ธ / ๐ถ) โ โค)) | |
11 | 9, 10 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ต โ โค โง (๐ธ / ๐ถ) โ โค)) |
12 | 11 | simprd 495 | . . 3 โข (๐ โ (๐ธ / ๐ถ) โ โค) |
13 | lcmineqlem14.9 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด gcd ๐ต) = 1) | |
14 | 6 | nnzd 12607 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ถ โ โค) |
15 | 2, 14 | zmulcld 12694 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) โ โค) |
16 | lcmineqlem14.4 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ท โ โ) | |
17 | 16 | nnzd 12607 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โ โค) |
18 | 7 | nnzd 12607 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ธ โ โค) |
19 | lcmineqlem14.6 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) โฅ ๐ท) | |
20 | lcmineqlem14.8 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ท โฅ ๐ธ) | |
21 | 15, 17, 18, 19, 20 | dvdstrd 16263 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) โฅ ๐ธ) |
22 | 1, 6, 7 | nnproddivdvdsd 41408 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ถ) โฅ ๐ธ โ ๐ด โฅ (๐ธ / ๐ถ))) |
23 | 21, 22 | mpbid 231 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โฅ (๐ธ / ๐ถ)) |
24 | 2, 4, 12, 13, 23, 9 | coprmdvds2d 41409 | . 2 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) โฅ (๐ธ / ๐ถ)) |
25 | 1, 3 | nnmulcld 12287 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) |
26 | 25, 6, 7 | nnproddivdvdsd 41408 | . 2 โข (๐ โ (((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) โฅ ๐ธ โ (๐ด ยท ๐ต) โฅ (๐ธ / ๐ถ))) |
27 | 24, 26 | mpbird 257 | 1 โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) โฅ ๐ธ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 class class class wbr 5142 (class class class)co 7414 1c1 11131 ยท cmul 11135 / cdiv 11893 โcn 12234 โคcz 12580 โฅ cdvds 16222 gcd cgcd 16460 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-cnex 11186 ax-resscn 11187 ax-1cn 11188 ax-icn 11189 ax-addcl 11190 ax-addrcl 11191 ax-mulcl 11192 ax-mulrcl 11193 ax-mulcom 11194 ax-addass 11195 ax-mulass 11196 ax-distr 11197 ax-i2m1 11198 ax-1ne0 11199 ax-1rid 11200 ax-rnegex 11201 ax-rrecex 11202 ax-cnre 11203 ax-pre-lttri 11204 ax-pre-lttrn 11205 ax-pre-ltadd 11206 ax-pre-mulgt0 11207 ax-pre-sup 11208 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-er 8718 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-sup 9457 df-inf 9458 df-pnf 11272 df-mnf 11273 df-xr 11274 df-ltxr 11275 df-le 11276 df-sub 11468 df-neg 11469 df-div 11894 df-nn 12235 df-2 12297 df-3 12298 df-n0 12495 df-z 12581 df-uz 12845 df-rp 12999 df-fl 13781 df-mod 13859 df-seq 13991 df-exp 14051 df-cj 15070 df-re 15071 df-im 15072 df-sqrt 15206 df-abs 15207 df-dvds 16223 df-gcd 16461 |
This theorem is referenced by: lcmineqlem19 41455 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |