Theorem lcmineqlem14 42619

Description: Technical lemma for inequality estimate. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem14.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∥ 𝐷)
lcmineqlem14.7	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∥ 𝐸)
lcmineqlem14.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐸)
lcmineqlem14.9	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem14	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) ∥ 𝐸)

Proof of Theorem lcmineqlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem14.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		lcmineqlem14.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5		lcmineqlem14.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∥ 𝐸)
6		lcmineqlem14.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
7		lcmineqlem14.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
8	3, 6, 7	nnproddivdvdsd 42577	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) ∥ 𝐸 ↔ 𝐵 ∥ (𝐸 / 𝐶)))
9	5, 8	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ (𝐸 / 𝐶))
10		dvdszrcl 16281	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∥ (𝐸 / 𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐸 / 𝐶) ∈ ℤ))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐸 / 𝐶) ∈ ℤ))
12	11	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝐶) ∈ ℤ)
13		lcmineqlem14.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
14	6	nnzd 12587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
15	2, 14	zmulcld 12676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
16		lcmineqlem14.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
17	16	nnzd 12587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
18	7	nnzd 12587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
19		lcmineqlem14.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∥ 𝐷)
20		lcmineqlem14.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐸)
21	15, 17, 18, 19, 20	dvdstrd 16319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∥ 𝐸)
22	1, 6, 7	nnproddivdvdsd 42577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) ∥ 𝐸 ↔ 𝐴 ∥ (𝐸 / 𝐶)))
23	21, 22	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝐸 / 𝐶))
24	2, 4, 12, 13, 23, 9	coprmdvds2d 42578	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∥ (𝐸 / 𝐶))
25	1, 3	nnmulcld 12259	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
26	25, 6, 7	nnproddivdvdsd 42577	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) ∥ 𝐸 ↔ (𝐴 · 𝐵) ∥ (𝐸 / 𝐶)))
27	24, 26	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) ∥ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  (class class class)co 7390  1c1 11067   · cmul 11071   / cdiv 11837  ℕcn 12203  ℤcz 12561   ∥ cdvds 16276   gcd cgcd 16518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9381  df-inf 9382  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-rp 12987  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-dvds 16277  df-gcd 16519

This theorem is referenced by:  lcmineqlem19  42624