Theorem lcmineqlem14 42842

Description: Technical lemma for inequality estimate. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem14.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∥ 𝐷)
lcmineqlem14.7	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∥ 𝐸)
lcmineqlem14.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐸)
lcmineqlem14.9	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem14	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) ∥ 𝐸)

Proof of Theorem lcmineqlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem14.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12628	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		lcmineqlem14.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12628	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5		lcmineqlem14.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∥ 𝐸)
6		lcmineqlem14.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
7		lcmineqlem14.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
8	3, 6, 7	nnproddivdvdsd 42800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) ∥ 𝐸 ↔ 𝐵 ∥ (𝐸 / 𝐶)))
9	5, 8	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ (𝐸 / 𝐶))
10		dvdszrcl 16332	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∥ (𝐸 / 𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐸 / 𝐶) ∈ ℤ))
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐸 / 𝐶) ∈ ℤ))
12	11	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝐶) ∈ ℤ)
13		lcmineqlem14.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
14	6	nnzd 12628	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
15	2, 14	zmulcld 12717	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
16		lcmineqlem14.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
17	16	nnzd 12628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
18	7	nnzd 12628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
19		lcmineqlem14.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∥ 𝐷)
20		lcmineqlem14.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐸)
21	15, 17, 18, 19, 20	dvdstrd 16370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∥ 𝐸)
22	1, 6, 7	nnproddivdvdsd 42800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) ∥ 𝐸 ↔ 𝐴 ∥ (𝐸 / 𝐶)))
23	21, 22	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝐸 / 𝐶))
24	2, 4, 12, 13, 23, 9	coprmdvds2d 42801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∥ (𝐸 / 𝐶))
25	1, 3	nnmulcld 12300	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
26	25, 6, 7	nnproddivdvdsd 42800	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) ∥ 𝐸 ↔ (𝐴 · 𝐵) ∥ (𝐸 / 𝐶)))
27	24, 26	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) ∥ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  1c1 11112   · cmul 11116   / cdiv 11882  ℕcn 12244  ℤcz 12602   ∥ cdvds 16327   gcd cgcd 16569

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-dvds 16328  df-gcd 16570

This theorem is used by:  lcmineqlem19  42847