Theorem lcmineqlem14 42044

Description: Technical lemma for inequality estimate. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem14.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
lcmineqlem14.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∥ 𝐷)
lcmineqlem14.7	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∥ 𝐸)
lcmineqlem14.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐸)
lcmineqlem14.9	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem14	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) ∥ 𝐸)

Proof of Theorem lcmineqlem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem14.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 12642	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		lcmineqlem14.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12642	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
5		lcmineqlem14.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∥ 𝐸)
6		lcmineqlem14.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
7		lcmineqlem14.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
8	3, 6, 7	nnproddivdvdsd 42002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) ∥ 𝐸 ↔ 𝐵 ∥ (𝐸 / 𝐶)))
9	5, 8	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∥ (𝐸 / 𝐶))
10		dvdszrcl 16296	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∥ (𝐸 / 𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐸 / 𝐶) ∈ ℤ))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐸 / 𝐶) ∈ ℤ))
12	11	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 𝐶) ∈ ℤ)
13		lcmineqlem14.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)
14	6	nnzd 12642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
15	2, 14	zmulcld 12730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
16		lcmineqlem14.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
17	16	nnzd 12642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
18	7	nnzd 12642	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
19		lcmineqlem14.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∥ 𝐷)
20		lcmineqlem14.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ 𝐸)
21	15, 17, 18, 19, 20	dvdstrd 16333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∥ 𝐸)
22	1, 6, 7	nnproddivdvdsd 42002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) ∥ 𝐸 ↔ 𝐴 ∥ (𝐸 / 𝐶)))
23	21, 22	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝐸 / 𝐶))
24	2, 4, 12, 13, 23, 9	coprmdvds2d 42003	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∥ (𝐸 / 𝐶))
25	1, 3	nnmulcld 12320	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
26	25, 6, 7	nnproddivdvdsd 42002	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) ∥ 𝐸 ↔ (𝐴 · 𝐵) ∥ (𝐸 / 𝐶)))
27	24, 26	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) ∥ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  1c1 11157   · cmul 11161   / cdiv 11921  ℕcn 12267  ℤcz 12615   ∥ cdvds 16291   gcd cgcd 16532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-gcd 16533

This theorem is referenced by:  lcmineqlem19  42049