Theorem dvdsmodexp 15478

Description: If a positive integer divides another integer, this other integer is equal to its positive powers modulo the positive integer. (Formerly part of the proof for fermltl 15980). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Revised by AV, 19-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmodexp	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))

Proof of Theorem dvdsmodexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszrcl 15475	. . 3 ⊢ (𝑁 ∥ 𝐴 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
2		dvdsmod0 15476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑁) = 0)
3	2	3ad2antl2 1166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 𝑁) = 0)
4	3	ex 405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝐴 → (𝐴 mod 𝑁) = 0))
5		simpl3 1173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → 𝐵 ∈ ℕ)
6	5	0expd 13321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (0↑𝐵) = 0)
7	6	oveq1d 6993	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → ((0↑𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
8		simpl1 1171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
9		0zd 11808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → 0 ∈ ℤ)
10		nnnn0 11718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
11	10	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℕ0)
12	11	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → 𝐵 ∈ ℕ0)
13		nnrp 12220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
14	13	3ad2ant2 1114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
15	14	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
16		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (𝐴 mod 𝑁) = 0)
17		0mod 13088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (0 mod 𝑁) = 0)
19	16, 18	eqtr4d 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (𝐴 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
20		modexp 13417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = ((0↑𝐵) mod 𝑁))
21	8, 9, 12, 15, 19, 20	syl221anc 1361	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = ((0↑𝐵) mod 𝑁))
22	7, 21, 19	3eqtr4d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
23	22	ex 405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁)))
24	4, 23	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁)))
25	24	3exp 1099	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝑁 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁)))))
26	25	com24 95	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∥ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁)))))
27	26	adantl 474	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁)))))
28	1, 27	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑁 ∥ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))))
29	28	3imp31 1092	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4930  (class class class)co 6978  0cc0 10337  ℕcn 11441  ℕ₀cn0 11710  ℤcz 11796  ℝ⁺crp 12207   mod cmo 13055  ↑cexp 13247   ∥ cdvds 15470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-sup 8703  df-inf 8704  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fl 12980  df-mod 13056  df-seq 13188  df-exp 13248  df-dvds 15471

This theorem is referenced by:  fermltl  15980