Theorem dvdszzq 16660

Description: Divisibility for an integer quotient. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdszzq.1	⊢ 𝑁 = (𝐴 / 𝐵)
dvdszzq.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
dvdszzq.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
dvdszzq.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
dvdszzq.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
dvdszzq.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝐴)
dvdszzq.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dvdszzq	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem dvdszzq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszzq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		dvdszzq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		dvdszzq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4		dvdszzq.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝐴)
5		dvdszzq.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐴 / 𝐵)
6	2	zcnd 12609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
7	3	zcnd 12609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8		dvdszrcl 16196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∥ 𝐴 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
9	8	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∥ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ)
10	4, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12		dvdszzq.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
13	6, 7, 11, 12	ldiv 11987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝐵) = 𝐴 ↔ 𝑁 = (𝐴 / 𝐵)))
14	5, 13	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝐵) = 𝐴)
15	4, 14	breqtrrd 5128	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑁 · 𝐵))
16		euclemma 16652	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑁 · 𝐵) ↔ (𝑃 ∥ 𝑁 ∨ 𝑃 ∥ 𝐵)))
17	16	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝑁 · 𝐵)) → (𝑃 ∥ 𝑁 ∨ 𝑃 ∥ 𝐵))
18	1, 2, 3, 15, 17	syl31anc 1376	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑁 ∨ 𝑃 ∥ 𝐵))
19		dvdszzq.7	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝐵)
20		orcom 871	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑁 ∨ 𝑃 ∥ 𝐵) ↔ (𝑃 ∥ 𝐵 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁))
21		df-or 849	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝐵 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑃 ∥ 𝐵 → 𝑃 ∥ 𝑁))
22	20, 21	sylbb 219	. 2 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑁 ∨ 𝑃 ∥ 𝐵) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐵 → 𝑃 ∥ 𝑁))
23	18, 19, 22	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  0cc0 11038   · cmul 11043   / cdiv 11806  ℤcz 12500   ∥ cdvds 16191  ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611

This theorem is referenced by:  prmdvdsbc  16665