![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvdszzq | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Divisibility for an integer quotient. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdszzq.1 | โข ๐ = (๐ด / ๐ต) |
dvdszzq.2 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
dvdszzq.3 | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
dvdszzq.4 | โข (๐ โ ๐ต โ โค) |
dvdszzq.5 | โข (๐ โ ๐ต โ 0) |
dvdszzq.6 | โข (๐ โ ๐ โฅ ๐ด) |
dvdszzq.7 | โข (๐ โ ยฌ ๐ โฅ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdszzq | โข (๐ โ ๐ โฅ ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | dvdszzq.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
2 | dvdszzq.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
3 | dvdszzq.4 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โค) | |
4 | dvdszzq.6 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โฅ ๐ด) | |
5 | dvdszzq.1 | . . . . 5 โข ๐ = (๐ด / ๐ต) | |
6 | 2 | zcnd 12671 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
7 | 3 | zcnd 12671 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
8 | dvdszrcl 16209 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โฅ ๐ด โ (๐ โ โค โง ๐ด โ โค)) | |
9 | 8 | simprd 495 | . . . . . . . 8 โข (๐ โฅ ๐ด โ ๐ด โ โค) |
10 | 4, 9 | syl 17 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด โ โค) |
11 | 10 | zcnd 12671 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
12 | dvdszzq.5 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต โ 0) | |
13 | 6, 7, 11, 12 | ldiv 12052 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐ต) = ๐ด โ ๐ = (๐ด / ๐ต))) |
14 | 5, 13 | mpbiri 258 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ ยท ๐ต) = ๐ด) |
15 | 4, 14 | breqtrrd 5169 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐ต)) |
16 | euclemma 16657 | . . . 4 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ โฅ (๐ ยท ๐ต) โ (๐ โฅ ๐ โจ ๐ โฅ ๐ต))) | |
17 | 16 | biimpa 476 | . . 3 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ โฅ (๐ ยท ๐ต)) โ (๐ โฅ ๐ โจ ๐ โฅ ๐ต)) |
18 | 1, 2, 3, 15, 17 | syl31anc 1370 | . 2 โข (๐ โ (๐ โฅ ๐ โจ ๐ โฅ ๐ต)) |
19 | dvdszzq.7 | . 2 โข (๐ โ ยฌ ๐ โฅ ๐ต) | |
20 | orcom 867 | . . 3 โข ((๐ โฅ ๐ โจ ๐ โฅ ๐ต) โ (๐ โฅ ๐ต โจ ๐ โฅ ๐)) | |
21 | df-or 845 | . . 3 โข ((๐ โฅ ๐ต โจ ๐ โฅ ๐) โ (ยฌ ๐ โฅ ๐ต โ ๐ โฅ ๐)) | |
22 | 20, 21 | sylbb 218 | . 2 โข ((๐ โฅ ๐ โจ ๐ โฅ ๐ต) โ (ยฌ ๐ โฅ ๐ต โ ๐ โฅ ๐)) |
23 | 18, 19, 22 | sylc 65 | 1 โข (๐ โ ๐ โฅ ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โจ wo 844 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 class class class wbr 5141 (class class class)co 7405 0cc0 11112 ยท cmul 11117 / cdiv 11875 โคcz 12562 โฅ cdvds 16204 โcprime 16615 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-2o 8468 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-sup 9439 df-inf 9440 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-rp 12981 df-fl 13763 df-mod 13841 df-seq 13973 df-exp 14033 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-dvds 16205 df-gcd 16443 df-prm 16616 |
This theorem is referenced by: prmdvdsbc 16671 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |