Theorem dvdszzq 16755

Description: Divisibility for an integer quotient. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdszzq.1	⊢ 𝑁 = (𝐴 / 𝐵)
dvdszzq.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
dvdszzq.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
dvdszzq.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
dvdszzq.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
dvdszzq.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝐴)
dvdszzq.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dvdszzq	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem dvdszzq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdszzq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		dvdszzq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		dvdszzq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4		dvdszzq.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝐴)
5		dvdszzq.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝐴 / 𝐵)
6	2	zcnd 12721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
7	3	zcnd 12721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8		dvdszrcl 16292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∥ 𝐴 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
9	8	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∥ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℤ)
10	4, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12		dvdszzq.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
13	6, 7, 11, 12	ldiv 12099	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝐵) = 𝐴 ↔ 𝑁 = (𝐴 / 𝐵)))
14	5, 13	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝐵) = 𝐴)
15	4, 14	breqtrrd 5176	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (𝑁 · 𝐵))
16		euclemma 16747	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑁 · 𝐵) ↔ (𝑃 ∥ 𝑁 ∨ 𝑃 ∥ 𝐵)))
17	16	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝑁 · 𝐵)) → (𝑃 ∥ 𝑁 ∨ 𝑃 ∥ 𝐵))
18	1, 2, 3, 15, 17	syl31anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ 𝑁 ∨ 𝑃 ∥ 𝐵))
19		dvdszzq.7	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 𝐵)
20		orcom 870	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑁 ∨ 𝑃 ∥ 𝐵) ↔ (𝑃 ∥ 𝐵 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁))
21		df-or 848	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝐵 ∨ 𝑃 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑃 ∥ 𝐵 → 𝑃 ∥ 𝑁))
22	20, 21	sylbb 219	. 2 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑁 ∨ 𝑃 ∥ 𝐵) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐵 → 𝑃 ∥ 𝑁))
23	18, 19, 22	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  0cc0 11153   · cmul 11158   / cdiv 11918  ℤcz 12611   ∥ cdvds 16287  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706

This theorem is referenced by:  prmdvdsbc  16760