![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dvdszzq | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Divisibility for an integer quotient. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdszzq.1 | โข ๐ = (๐ด / ๐ต) |
dvdszzq.2 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
dvdszzq.3 | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
dvdszzq.4 | โข (๐ โ ๐ต โ โค) |
dvdszzq.5 | โข (๐ โ ๐ต โ 0) |
dvdszzq.6 | โข (๐ โ ๐ โฅ ๐ด) |
dvdszzq.7 | โข (๐ โ ยฌ ๐ โฅ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
dvdszzq | โข (๐ โ ๐ โฅ ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | dvdszzq.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
2 | dvdszzq.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
3 | dvdszzq.4 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ โค) | |
4 | dvdszzq.6 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โฅ ๐ด) | |
5 | dvdszzq.1 | . . . . 5 โข ๐ = (๐ด / ๐ต) | |
6 | 2 | zcnd 12705 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
7 | 3 | zcnd 12705 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
8 | dvdszrcl 16243 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โฅ ๐ด โ (๐ โ โค โง ๐ด โ โค)) | |
9 | 8 | simprd 494 | . . . . . . . 8 โข (๐ โฅ ๐ด โ ๐ด โ โค) |
10 | 4, 9 | syl 17 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด โ โค) |
11 | 10 | zcnd 12705 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
12 | dvdszzq.5 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต โ 0) | |
13 | 6, 7, 11, 12 | ldiv 12086 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐ต) = ๐ด โ ๐ = (๐ด / ๐ต))) |
14 | 5, 13 | mpbiri 257 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ ยท ๐ต) = ๐ด) |
15 | 4, 14 | breqtrrd 5180 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โฅ (๐ ยท ๐ต)) |
16 | euclemma 16691 | . . . 4 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ โฅ (๐ ยท ๐ต) โ (๐ โฅ ๐ โจ ๐ โฅ ๐ต))) | |
17 | 16 | biimpa 475 | . . 3 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โค โง ๐ต โ โค) โง ๐ โฅ (๐ ยท ๐ต)) โ (๐ โฅ ๐ โจ ๐ โฅ ๐ต)) |
18 | 1, 2, 3, 15, 17 | syl31anc 1370 | . 2 โข (๐ โ (๐ โฅ ๐ โจ ๐ โฅ ๐ต)) |
19 | dvdszzq.7 | . 2 โข (๐ โ ยฌ ๐ โฅ ๐ต) | |
20 | orcom 868 | . . 3 โข ((๐ โฅ ๐ โจ ๐ โฅ ๐ต) โ (๐ โฅ ๐ต โจ ๐ โฅ ๐)) | |
21 | df-or 846 | . . 3 โข ((๐ โฅ ๐ต โจ ๐ โฅ ๐) โ (ยฌ ๐ โฅ ๐ต โ ๐ โฅ ๐)) | |
22 | 20, 21 | sylbb 218 | . 2 โข ((๐ โฅ ๐ โจ ๐ โฅ ๐ต) โ (ยฌ ๐ โฅ ๐ต โ ๐ โฅ ๐)) |
23 | 18, 19, 22 | sylc 65 | 1 โข (๐ โ ๐ โฅ ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โจ wo 845 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2937 class class class wbr 5152 (class class class)co 7426 0cc0 11146 ยท cmul 11151 / cdiv 11909 โคcz 12596 โฅ cdvds 16238 โcprime 16649 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 ax-pre-sup 11224 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-1o 8493 df-2o 8494 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-fin 8974 df-sup 9473 df-inf 9474 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-div 11910 df-nn 12251 df-2 12313 df-3 12314 df-n0 12511 df-z 12597 df-uz 12861 df-rp 13015 df-fl 13797 df-mod 13875 df-seq 14007 df-exp 14067 df-cj 15086 df-re 15087 df-im 15088 df-sqrt 15222 df-abs 15223 df-dvds 16239 df-gcd 16477 df-prm 16650 |
This theorem is referenced by: prmdvdsbc 16705 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |