MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdszzq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdszzq 16700
Description: Divisibility for an integer quotient. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdszzq.1 ๐‘ = (๐ด / ๐ต)
dvdszzq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
dvdszzq.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
dvdszzq.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
dvdszzq.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
dvdszzq.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)
dvdszzq.7 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
dvdszzq (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)

Proof of Theorem dvdszzq
StepHypRef Expression
1 dvdszzq.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2 dvdszzq.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3 dvdszzq.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4 dvdszzq.6 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)
5 dvdszzq.1 . . . . 5 ๐‘ = (๐ด / ๐ต)
62zcnd 12705 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
73zcnd 12705 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8 dvdszrcl 16243 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค))
98simprd 494 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
104, 9syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
1110zcnd 12705 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
12 dvdszzq.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
136, 7, 11, 12ldiv 12086 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ ยท ๐ต) = ๐ด โ†” ๐‘ = (๐ด / ๐ต)))
145, 13mpbiri 257 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐ต) = ๐ด)
154, 14breqtrrd 5180 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ ยท ๐ต))
16 euclemma 16691 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ ยท ๐ต) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต)))
1716biimpa 475 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต))
181, 2, 3, 15, 17syl31anc 1370 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต))
19 dvdszzq.7 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต)
20 orcom 868 . . 3 ((๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ๐ต โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘))
21 df-or 846 . . 3 ((๐‘ƒ โˆฅ ๐ต โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘))
2220, 21sylbb 218 . 2 ((๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘))
2318, 19, 22sylc 65 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  0cc0 11146   ยท cmul 11151   / cdiv 11909  โ„คcz 12596   โˆฅ cdvds 16238  โ„™cprime 16649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650
This theorem is referenced by:  prmdvdsbc  16705
  Copyright terms: Public domain W3C validator