MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdszzq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdszzq 16666
Description: Divisibility for an integer quotient. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdszzq.1 ๐‘ = (๐ด / ๐ต)
dvdszzq.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
dvdszzq.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
dvdszzq.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
dvdszzq.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
dvdszzq.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)
dvdszzq.7 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
dvdszzq (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)

Proof of Theorem dvdszzq
StepHypRef Expression
1 dvdszzq.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2 dvdszzq.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3 dvdszzq.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4 dvdszzq.6 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)
5 dvdszzq.1 . . . . 5 ๐‘ = (๐ด / ๐ต)
62zcnd 12671 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
73zcnd 12671 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
8 dvdszrcl 16209 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค))
98simprd 495 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
104, 9syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
1110zcnd 12671 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
12 dvdszzq.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
136, 7, 11, 12ldiv 12052 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ ยท ๐ต) = ๐ด โ†” ๐‘ = (๐ด / ๐ต)))
145, 13mpbiri 258 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐ต) = ๐ด)
154, 14breqtrrd 5169 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ ยท ๐ต))
16 euclemma 16657 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ ยท ๐ต) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต)))
1716biimpa 476 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ ยท ๐ต)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต))
181, 2, 3, 15, 17syl31anc 1370 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต))
19 dvdszzq.7 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต)
20 orcom 867 . . 3 ((๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ๐ต โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘))
21 df-or 845 . . 3 ((๐‘ƒ โˆฅ ๐ต โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘))
2220, 21sylbb 218 . 2 ((๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ต โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘))
2318, 19, 22sylc 65 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  0cc0 11112   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  โ„คcz 12562   โˆฅ cdvds 16204  โ„™cprime 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616
This theorem is referenced by:  prmdvdsbc  16671
  Copyright terms: Public domain W3C validator