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Theorem odmulg 19297
Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3 · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odmulg ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))

Proof of Theorem odmulg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odmulgid.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odmulgid.3 . . . . . . . . 9 · = (.g𝐺)
31, 2mulgcl 18852 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
433com23 1126 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
5 odmulgid.2 . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
61, 5odcl 19277 . . . . . . 7 ((𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
74, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
87nn0cnd 12433 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
98adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
109mul02d 11311 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → (0 · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 0)
11 simpr 485 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0)
1211oveq1d 7366 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (0 · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
13 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
141, 5odcl 19277 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
15143ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
1615nn0zd 12483 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
17 gcdeq0 16357 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑂𝐴) = 0)))
1813, 16, 17syl2anc 584 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑂𝐴) = 0)))
1918simplbda 500 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → (𝑂𝐴) = 0)
2010, 12, 193eqtr4rd 2788 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → (𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
21 simpll3 1214 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2216ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
23 gcddvds 16343 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑁 ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ (𝑂𝐴)))
2421, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑁 ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ (𝑂𝐴)))
2524simprd 496 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ (𝑂𝐴))
2613, 16gcdcld 16348 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
2726adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 12483 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ)
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ)
30 nn0z 12482 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
3130adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
32 dvdstr 16136 . . . . . . 7 (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ (𝑂𝐴) ∧ (𝑂𝐴) ∥ 𝑥) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥))
3329, 22, 31, 32syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ (𝑂𝐴) ∧ (𝑂𝐴) ∥ 𝑥) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥))
3425, 33mpand 693 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥))
357nn0zd 12483 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
3635ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
37 muldvds1 16123 . . . . . 6 (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥))
3829, 36, 31, 37syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥))
39 dvdszrcl 16101 . . . . . . . . 9 ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
40 divides 16098 . . . . . . . . 9 (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥))
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥))
4241ibi 266 . . . . . . 7 ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥)
4335adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
44 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
4528adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ)
46 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0)
47 dvdscmulr 16127 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0)) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝑦) ↔ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦))
4843, 44, 45, 46, 47syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝑦) ↔ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦))
491, 5, 2odmulgid 19295 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦 ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁)))
5049adantrl 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦 ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁)))
51 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
52 dvdsmulgcd 16396 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁) ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))))
5344, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁) ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))))
5448, 50, 533bitrrd 305 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝑦)))
5545zcnd 12566 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℂ)
5644zcnd 12566 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
5755, 56mulcomd 11134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝑦) = (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))))
5857breq2d 5115 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝑦) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))))
5954, 58bitrd 278 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))))
6059anassrs 468 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))))
61 breq2 5107 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ (𝑂𝐴) ∥ 𝑥))
62 breq2 5107 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥 → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
6361, 62bibi12d 345 . . . . . . . . 9 ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥 → (((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))) ↔ ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
6460, 63syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
6564rexlimdva 3150 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
6642, 65syl5 34 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
6766adantr 481 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
6834, 38, 67pm5.21ndd 380 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
6968ralrimiva 3141 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
7015adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
717adantr 481 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
7227, 71nn0mulcld 12436 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∈ ℕ0)
73 dvdsext 16163 . . . 4 (((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
7470, 72, 73syl2anc 584 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
7569, 74mpbird 256 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
7620, 75pm2.61dane 3030 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  0cc0 11009   · cmul 11014  0cn0 12371  cz 12457  cdvds 16096   gcd cgcd 16334  Basecbs 17043  Grpcgrp 18708  .gcmg 18831  odcod 19265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fl 13651  df-mod 13729  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-dvds 16097  df-gcd 16335  df-0g 17283  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-mulg 18832  df-od 19269
This theorem is referenced by:  odmulgeq  19298  odinv  19302  gexexlem  19589  fincygsubgodd  19850
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