Theorem odmulg 19470

Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odmulgid.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odmulg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))

Proof of Theorem odmulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odmulgid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odmulgid.3	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	1, 2	mulgcl 19006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
4	3	3com23 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
5		odmulgid.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
6	1, 5	odcl 19450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 12451	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	9	mul02d 11318	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (0 · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 0)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0)
12	11	oveq1d 7367	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (0 · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
13		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	1, 5	odcl 19450	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
15	14	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 12500	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
17		gcdeq0 16430	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0)))
18	13, 16, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0)))
19	18	simplbda 499	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑂‘𝐴) = 0)
20	10, 12, 19	3eqtr4rd 2779	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
21		simpll3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
22	16	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
23		gcddvds 16416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑁 ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴)))
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑁 ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴)))
25	24	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴))
26	13, 16	gcdcld 16421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ)
30		nn0z 12499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
31	30	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
32		dvdstr 16207	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
33	29, 22, 31, 32	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
34	25, 33	mpand 695	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
35	7	nn0zd 12500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
36	35	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
37		muldvds1 16193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
38	29, 36, 31, 37	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
39		dvdszrcl 16170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
40		divides 16167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥))
42	41	ibi 267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥)
43	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
44		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
45	28	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ)
46		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0)
47		dvdscmulr 16197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0)) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) ↔ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦))
48	43, 44, 45, 46, 47	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) ↔ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦))
49	1, 5, 2	odmulgid 19468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁)))
50	49	adantrl 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁)))
51		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
52		dvdsmulgcd 16469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
53	44, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
54	48, 50, 53	3bitrrd 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦)))
55	45	zcnd 12584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℂ)
56	44	zcnd 12584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
57	55, 56	mulcomd 11140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) = (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))))
58	57	breq2d 5105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
59	54, 58	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
60	59	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
61		breq2 5097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥))
62		breq2 5097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
63	61, 62	bibi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → (((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))) ↔ ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
64	60, 63	syl5ibcom 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
65	64	rexlimdva 3134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
66	42, 65	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
67	66	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
68	34, 38, 67	pm5.21ndd 379	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
69	68	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
70	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
71	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
72	27, 71	nn0mulcld 12454	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∈ ℕ0)
73		dvdsext 16234	. . . 4 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
74	70, 72, 73	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
75	69, 74	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
76	20, 75	pm2.61dane 3016	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013   · cmul 11018  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475   ∥ cdvds 16165   gcd cgcd 16407  Basecbs 17122  Grpcgrp 18848  ._gcmg 18982  odcod 19438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-dvds 16166  df-gcd 16408  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-od 19442

This theorem is referenced by:  odmulgeq  19471  odinv  19475  gexexlem  19766  fincygsubgodd  20028  unitscyglem2  42309  unitscyglem4  42311