Theorem odmulg 19598

Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odmulgid.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odmulg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))

Proof of Theorem odmulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odmulgid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odmulgid.3	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	1, 2	mulgcl 19131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
4	3	3com23 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
5		odmulgid.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
6	1, 5	odcl 19578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 12615	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	9	mul02d 11488	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (0 · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 0)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0)
12	11	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (0 · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
13		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	1, 5	odcl 19578	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
15	14	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 12665	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
17		gcdeq0 16563	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0)))
18	13, 16, 17	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0)))
19	18	simplbda 499	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑂‘𝐴) = 0)
20	10, 12, 19	3eqtr4rd 2791	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
21		simpll3 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
22	16	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
23		gcddvds 16549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑁 ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴)))
24	21, 22, 23	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑁 ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴)))
25	24	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴))
26	13, 16	gcdcld 16554	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12665	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ)
30		nn0z 12664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
31	30	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
32		dvdstr 16342	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
33	29, 22, 31, 32	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
34	25, 33	mpand 694	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
35	7	nn0zd 12665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
36	35	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
37		muldvds1 16329	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
38	29, 36, 31, 37	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
39		dvdszrcl 16307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
40		divides 16304	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥))
42	41	ibi 267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥)
43	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
44		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
45	28	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ)
46		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0)
47		dvdscmulr 16333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0)) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) ↔ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦))
48	43, 44, 45, 46, 47	syl112anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) ↔ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦))
49	1, 5, 2	odmulgid 19596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁)))
50	49	adantrl 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁)))
51		simpl3 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
52		dvdsmulgcd 16603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
53	44, 51, 52	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
54	48, 50, 53	3bitrrd 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦)))
55	45	zcnd 12748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℂ)
56	44	zcnd 12748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
57	55, 56	mulcomd 11311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) = (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))))
58	57	breq2d 5178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
59	54, 58	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
60	59	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
61		breq2 5170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥))
62		breq2 5170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
63	61, 62	bibi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → (((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))) ↔ ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
64	60, 63	syl5ibcom 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
65	64	rexlimdva 3161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
66	42, 65	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
67	66	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
68	34, 38, 67	pm5.21ndd 379	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
69	68	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
70	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
71	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
72	27, 71	nn0mulcld 12618	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∈ ℕ0)
73		dvdsext 16369	. . . 4 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
74	70, 72, 73	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
75	69, 74	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
76	20, 75	pm2.61dane 3035	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639   ∥ cdvds 16302   gcd cgcd 16540  Basecbs 17258  Grpcgrp 18973  ._gcmg 19107  odcod 19566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-od 19570

This theorem is referenced by:  odmulgeq  19599  odinv  19603  gexexlem  19894  fincygsubgodd  20156  unitscyglem2  42153  unitscyglem4  42155