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Theorem odmulg 18238
Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3 · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odmulg ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))

Proof of Theorem odmulg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odmulgid.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odmulgid.3 . . . . . . . . 9 · = (.g𝐺)
31, 2mulgcl 17826 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
433com23 1156 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
5 odmulgid.2 . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
61, 5odcl 18220 . . . . . . 7 ((𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
74, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
87nn0cnd 11599 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
98adantr 472 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
109mul02d 10487 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → (0 · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 0)
11 simpr 477 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0)
1211oveq1d 6856 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (0 · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
13 simp3 1168 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
141, 5odcl 18220 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
15143ad2ant2 1164 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
1615nn0zd 11726 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
17 gcdeq0 15520 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑂𝐴) = 0)))
1813, 16, 17syl2anc 579 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑂𝐴) = 0)))
1918simplbda 493 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → (𝑂𝐴) = 0)
2010, 12, 193eqtr4rd 2809 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → (𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
21 simpll3 1273 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2216ad2antrr 717 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
23 gcddvds 15507 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑁 ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ (𝑂𝐴)))
2421, 22, 23syl2anc 579 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑁 ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ (𝑂𝐴)))
2524simprd 489 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ (𝑂𝐴))
2613, 16gcdcld 15512 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
2726adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 11726 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ)
2928adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ)
30 nn0z 11646 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
3130adantl 473 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
32 dvdstr 15304 . . . . . . 7 (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ (𝑂𝐴) ∧ (𝑂𝐴) ∥ 𝑥) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥))
3329, 22, 31, 32syl3anc 1490 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ (𝑂𝐴) ∧ (𝑂𝐴) ∥ 𝑥) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥))
3425, 33mpand 686 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥))
357nn0zd 11726 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
3635ad2antrr 717 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
37 muldvds1 15292 . . . . . 6 (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥))
3829, 36, 31, 37syl3anc 1490 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥))
39 dvdszrcl 15271 . . . . . . . . 9 ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
40 divides 15268 . . . . . . . . 9 (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥))
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥))
4241ibi 258 . . . . . . 7 ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥)
4335adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
44 simprr 789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
4528adantrr 708 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ)
46 simprl 787 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0)
47 dvdscmulr 15296 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0)) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝑦) ↔ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦))
4843, 44, 45, 46, 47syl112anc 1493 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝑦) ↔ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦))
491, 5, 2odmulgid 18236 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦 ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁)))
5049adantrl 707 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦 ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁)))
51 simpl3 1246 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
52 dvdsmulgcd 15556 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁) ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))))
5344, 51, 52syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁) ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))))
5448, 50, 533bitrrd 297 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝑦)))
5545zcnd 11729 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℂ)
5644zcnd 11729 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
5755, 56mulcomd 10314 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝑦) = (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))))
5857breq2d 4820 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝑦) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))))
5954, 58bitrd 270 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))))
6059anassrs 459 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))))
61 breq2 4812 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ (𝑂𝐴) ∥ 𝑥))
62 breq2 4812 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥 → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
6361, 62bibi12d 336 . . . . . . . . 9 ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥 → (((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))) ↔ ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
6460, 63syl5ibcom 236 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
6564rexlimdva 3177 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
6642, 65syl5 34 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
6766adantr 472 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
6834, 38, 67pm5.21ndd 370 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
6968ralrimiva 3112 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
7015adantr 472 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
717adantr 472 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
7227, 71nn0mulcld 11602 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∈ ℕ0)
73 dvdsext 15329 . . . 4 (((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
7470, 72, 73syl2anc 579 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
7569, 74mpbird 248 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
7620, 75pm2.61dane 3023 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  wral 3054  wrex 3055   class class class wbr 4808  cfv 6067  (class class class)co 6841  cc 10186  0cc0 10188   · cmul 10193  0cn0 11537  cz 11623  cdvds 15266   gcd cgcd 15498  Basecbs 16131  Grpcgrp 17690  .gcmg 17808  odcod 18209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-sup 8554  df-inf 8555  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-rp 12028  df-fz 12533  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-dvds 15267  df-gcd 15499  df-0g 16369  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-grp 17693  df-minusg 17694  df-sbg 17695  df-mulg 17809  df-od 18213
This theorem is referenced by:  odmulgeq  18239  odinv  18243  gexexlem  18520
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