Theorem odmulg 18947

Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odmulgid.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odmulg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))

Proof of Theorem odmulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odmulgid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odmulgid.3	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	1, 2	mulgcl 18509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
4	3	3com23 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
5		odmulgid.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
6	1, 5	odcl 18928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 12152	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
9	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	9	mul02d 11030	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (0 · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 0)
11		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0)
12	11	oveq1d 7228	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (0 · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
13		simp3 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	1, 5	odcl 18928	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
15	14	3ad2ant2 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 12280	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
17		gcdeq0 16076	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0)))
18	13, 16, 17	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0)))
19	18	simplbda 503	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑂‘𝐴) = 0)
20	10, 12, 19	3eqtr4rd 2788	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
21		simpll3 1216	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
22	16	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
23		gcddvds 16062	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑁 ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴)))
24	21, 22, 23	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑁 ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴)))
25	24	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴))
26	13, 16	gcdcld 16067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
27	26	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12280	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ)
29	28	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ)
30		nn0z 12200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
31	30	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
32		dvdstr 15855	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
33	29, 22, 31, 32	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
34	25, 33	mpand 695	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
35	7	nn0zd 12280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
36	35	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
37		muldvds1 15842	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
38	29, 36, 31, 37	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
39		dvdszrcl 15820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
40		divides 15817	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥))
42	41	ibi 270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥)
43	35	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
44		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
45	28	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ)
46		simprl 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0)
47		dvdscmulr 15846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0)) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) ↔ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦))
48	43, 44, 45, 46, 47	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) ↔ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦))
49	1, 5, 2	odmulgid 18945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁)))
50	49	adantrl 716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁)))
51		simpl3 1195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
52		dvdsmulgcd 16117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
53	44, 51, 52	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
54	48, 50, 53	3bitrrd 309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦)))
55	45	zcnd 12283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℂ)
56	44	zcnd 12283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
57	55, 56	mulcomd 10854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) = (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))))
58	57	breq2d 5065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
59	54, 58	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
60	59	anassrs 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
61		breq2 5057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥))
62		breq2 5057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
63	61, 62	bibi12d 349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → (((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))) ↔ ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
64	60, 63	syl5ibcom 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
65	64	rexlimdva 3203	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
66	42, 65	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
67	66	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
68	34, 38, 67	pm5.21ndd 384	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
69	68	ralrimiva 3105	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
70	15	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
71	7	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
72	27, 71	nn0mulcld 12155	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∈ ℕ0)
73		dvdsext 15882	. . . 4 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
74	70, 72, 73	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
75	69, 74	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
76	20, 75	pm2.61dane 3029	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  0cc0 10729   · cmul 10734  ℕ₀cn0 12090  ℤcz 12176   ∥ cdvds 15815   gcd cgcd 16053  Basecbs 16760  Grpcgrp 18365  ._gcmg 18488  odcod 18916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-od 18920

This theorem is referenced by:  odmulgeq  18948  odinv  18952  gexexlem  19237  fincygsubgodd  19499