Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | odmulgid.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺) |
2 | | odmulgid.3 |
. . . . . . . . 9
⊢ · =
(.g‘𝐺) |
3 | 1, 2 | mulgcl 18509 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) |
4 | 3 | 3com23 1128 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) |
5 | | odmulgid.2 |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑂 = (od‘𝐺) |
6 | 1, 5 | odcl 18928 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈
ℕ0) |
7 | 4, 6 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈
ℕ0) |
8 | 7 | nn0cnd 12152 |
. . . . 5
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ) |
9 | 8 | adantr 484 |
. . . 4
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ) |
10 | 9 | mul02d 11030 |
. . 3
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (0 · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 0) |
11 | | simpr 488 |
. . . 4
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) |
12 | 11 | oveq1d 7228 |
. . 3
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (0 · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)))) |
13 | | simp3 1140 |
. . . . 5
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ) |
14 | 1, 5 | odcl 18928 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈
ℕ0) |
15 | 14 | 3ad2ant2 1136 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈
ℕ0) |
16 | 15 | nn0zd 12280 |
. . . . 5
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) |
17 | | gcdeq0 16076 |
. . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0))) |
18 | 13, 16, 17 | syl2anc 587 |
. . . 4
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0))) |
19 | 18 | simplbda 503 |
. . 3
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑂‘𝐴) = 0) |
20 | 10, 12, 19 | 3eqtr4rd 2788 |
. 2
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)))) |
21 | | simpll3 1216 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈
ℤ) |
22 | 16 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) |
23 | | gcddvds 16062 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑁 ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴))) |
24 | 21, 22, 23 | syl2anc 587 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑁 ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴))) |
25 | 24 | simprd 499 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴)) |
26 | 13, 16 | gcdcld 16067 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈
ℕ0) |
27 | 26 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈
ℕ0) |
28 | 27 | nn0zd 12280 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ) |
29 | 28 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ) |
30 | | nn0z 12200 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ ℕ0
→ 𝑥 ∈
ℤ) |
31 | 30 | adantl 485 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈
ℤ) |
32 | | dvdstr 15855 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥)) |
33 | 29, 22, 31, 32 | syl3anc 1373 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥)) |
34 | 25, 33 | mpand 695 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥)) |
35 | 7 | nn0zd 12280 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ) |
36 | 35 | ad2antrr 726 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ) |
37 | | muldvds1 15842 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥)) |
38 | 29, 36, 31, 37 | syl3anc 1373 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥)) |
39 | | dvdszrcl 15820 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) |
40 | | divides 15817 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥)) |
41 | 39, 40 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥)) |
42 | 41 | ibi 270 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥) |
43 | 35 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ) |
44 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ) |
45 | 28 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ) |
46 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) |
47 | | dvdscmulr 15846 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0)) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) ↔ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦)) |
48 | 43, 44, 45, 46, 47 | syl112anc 1376 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) ↔ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦)) |
49 | 1, 5, 2 | odmulgid 18945 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁))) |
50 | 49 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁))) |
51 | | simpl3 1195 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
52 | | dvdsmulgcd 16117 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))))) |
53 | 44, 51, 52 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))))) |
54 | 48, 50, 53 | 3bitrrd 309 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦))) |
55 | 45 | zcnd 12283 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℂ) |
56 | 44 | zcnd 12283 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ) |
57 | 55, 56 | mulcomd 10854 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) = (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))) |
58 | 57 | breq2d 5065 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))))) |
59 | 54, 58 | bitrd 282 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))))) |
60 | 59 | anassrs 471 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))))) |
61 | | breq2 5057 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥)) |
62 | | breq2 5057 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)) |
63 | 61, 62 | bibi12d 349 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → (((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))) ↔ ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))) |
64 | 60, 63 | syl5ibcom 248 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))) |
65 | 64 | rexlimdva 3203 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))) |
66 | 42, 65 | syl5 34 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))) |
67 | 66 | adantr 484 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))) |
68 | 34, 38, 67 | pm5.21ndd 384 |
. . . 4
⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)) |
69 | 68 | ralrimiva 3105 |
. . 3
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)) |
70 | 15 | adantr 484 |
. . . 4
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐴) ∈
ℕ0) |
71 | 7 | adantr 484 |
. . . . 5
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈
ℕ0) |
72 | 27, 71 | nn0mulcld 12155 |
. . . 4
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∈
ℕ0) |
73 | | dvdsext 15882 |
. . . 4
⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∈ ℕ0) →
((𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))) |
74 | 70, 72, 73 | syl2anc 587 |
. . 3
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))) |
75 | 69, 74 | mpbird 260 |
. 2
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)))) |
76 | 20, 75 | pm2.61dane 3029 |
1
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)))) |