Theorem odmulg 18682

Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odmulgid.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odmulg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))

Proof of Theorem odmulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odmulgid.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odmulgid.3	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	1, 2	mulgcl 18244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
4	3	3com23 1122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
5		odmulgid.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
6	1, 5	odcl 18663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 11956	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
9	8	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	9	mul02d 10837	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (0 · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 0)
11		simpr 487	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0)
12	11	oveq1d 7170	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (0 · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
13		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	1, 5	odcl 18663	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
15	14	3ad2ant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 12084	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
17		gcdeq0 15864	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0)))
18	13, 16, 17	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0)))
19	18	simplbda 502	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑂‘𝐴) = 0)
20	10, 12, 19	3eqtr4rd 2867	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 0) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
21		simpll3 1210	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
22	16	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
23		gcddvds 15851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑁 ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴)))
24	21, 22, 23	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑁 ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴)))
25	24	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴))
26	13, 16	gcdcld 15856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
27	26	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12084	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ)
29	28	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ)
30		nn0z 12004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
31	30	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
32		dvdstr 15645	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
33	29, 22, 31, 32	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴) ∧ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
34	25, 33	mpand 693	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
35	7	nn0zd 12084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
36	35	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
37		muldvds1 15633	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
38	29, 36, 31, 37	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥))
39		dvdszrcl 15611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
40		divides 15608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥))
42	41	ibi 269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥)
43	35	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
44		simprr 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
45	28	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ)
46		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0)
47		dvdscmulr 15637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0)) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) ↔ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦))
48	43, 44, 45, 46, 47	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) ↔ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦))
49	1, 5, 2	odmulgid 18680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁)))
50	49	adantrl 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦 ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁)))
51		simpl3 1189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
52		dvdsmulgcd 15904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
53	44, 51, 52	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
54	48, 50, 53	3bitrrd 308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦)))
55	45	zcnd 12087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℂ)
56	44	zcnd 12087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
57	55, 56	mulcomd 10661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) = (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))))
58	57	breq2d 5077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · 𝑦) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
59	54, 58	bitrd 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
60	59	anassrs 470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))))
61		breq2 5069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥))
62		breq2 5069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → (((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
63	61, 62	bibi12d 348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → (((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))) ↔ ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
64	60, 63	syl5ibcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
65	64	rexlimdva 3284	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
66	42, 65	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
67	66	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
68	34, 38, 67	pm5.21ndd 383	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
69	68	ralrimiva 3182	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
70	15	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
71	7	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
72	27, 71	nn0mulcld 11959	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∈ ℕ0)
73		dvdsext 15670	. . . 4 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
74	70, 72, 73	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → ((𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
75	69, 74	mpbird 259	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
76	20, 75	pm2.61dane 3104	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   class class class wbr 5065  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  0cc0 10536   · cmul 10541  ℕ₀cn0 11896  ℤcz 11980   ∥ cdvds 15606   gcd cgcd 15842  Basecbs 16482  Grpcgrp 18102  ._gcmg 18223  odcod 18651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-dvds 15607  df-gcd 15843  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-mulg 18224  df-od 18655

This theorem is referenced by:  odmulgeq  18683  odinv  18687  gexexlem  18971  fincygsubgodd  19233