Theorem gexdvdsi 18768

Description: Any group element is annihilated by any multiple of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
gexid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexdvdsi	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem gexdvdsi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) → 𝐸 ∥ 𝑁)
2		dvdszrcl 15653	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∥ 𝑁 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3		divides 15650	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁))
4	2, 3	biadanii 822	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∥ 𝑁 ↔ ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁))
5	1, 4	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) → ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁))
6	5	simprd 500	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁)
7		simpl1 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
8		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
9	5	simplld 768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) → 𝐸 ∈ ℤ)
10	9	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℤ)
11		simpl2 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
12		gexcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
13		gexid.3	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
14	12, 13	mulgass 18324	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐸 · 𝐴)))
15	7, 8, 10, 11, 14	syl13anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐸 · 𝐴)))
16		gexcl.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
17		gexid.4	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
18	12, 16, 13, 17	gexid 18766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
19	11, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
20	19	oveq2d 7167	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · (𝐸 · 𝐴)) = (𝑥 · 0 ))
21	12, 13, 17	mulgz 18315	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 0 ) = 0 )
22	21	3ad2antl1 1183	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 0 ) = 0 )
23	15, 20, 22	3eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = 0 )
24		oveq1 7158	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
25	24	eqeq1d 2761	. . . 4 ⊢ ((𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → (((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
26	23, 25	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
27	26	rexlimdva 3209	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) → (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
28	6, 27	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3072   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151   · cmul 10573  ℤcz 12013   ∥ cdvds 15648  Basecbs 16534  0_gc0g 16764  Grpcgrp 18162  ._gcmg 18284  gExcgex 18713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-sup 8932  df-inf 8933  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-fz 12933  df-seq 13412  df-dvds 15649  df-0g 16766  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-grp 18165  df-minusg 18166  df-mulg 18285  df-gex 18717

This theorem is referenced by:  gexdvds  18769  gex2abl  19032