Theorem gexdvdsi 19777

Description: Any group element is annihilated by any multiple of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
gexid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexdvdsi	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem gexdvdsi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) → 𝐸 ∥ 𝑁)
2		dvdszrcl 16407	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∥ 𝑁 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3		divides 16404	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁))
4	2, 3	biadanii 834	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∥ 𝑁 ↔ ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁))
5	1, 4	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) → ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁))
6	5	simprd 501	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁)
7		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
8		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
9	5	simplld 780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) → 𝐸 ∈ ℤ)
10	9	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℤ)
11		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
12		gexcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
13		gexid.3	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
14	12, 13	mulgass 19301	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐸 · 𝐴)))
15	7, 8, 10, 11, 14	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐸 · 𝐴)))
16		gexcl.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
17		gexid.4	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
18	12, 16, 13, 17	gexid 19775	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
19	11, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
20	19	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · (𝐸 · 𝐴)) = (𝑥 · 0 ))
21	12, 13, 17	mulgz 19292	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 0 ) = 0 )
22	21	3ad2antl1 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 0 ) = 0 )
23	15, 20, 22	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = 0 )
24		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
25	24	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ ((𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → (((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
26	23, 25	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
27	26	rexlimdva 3164	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) → (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
28	6, 27	mpd 16	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∥ 𝑁) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   · cmul 11186  ℤcz 12674   ∥ cdvds 16402  Basecbs 17367  0_gc0g 17590  Grpcgrp 19124  ._gcmg 19257  gExcgex 19719

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-seq 14125  df-dvds 16403  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-mulg 19258  df-gex 19723

This theorem is used by:  gexdvds  19778  gex2abl  20045