MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexdvdsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexdvdsi 19616
Description: Any group element is annihilated by any multiple of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3 · = (.g𝐺)
gexid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gexdvdsi ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem gexdvdsi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1137 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → 𝐸𝑁)
2 dvdszrcl 16292 . . . . 5 (𝐸𝑁 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3 divides 16289 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁))
42, 3biadanii 822 . . . 4 (𝐸𝑁 ↔ ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁))
51, 4sylib 218 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → ((𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁))
65simprd 495 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁)
7 simpl1 1190 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
8 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
95simplld 768 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → 𝐸 ∈ ℤ)
109adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℤ)
11 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴𝑋)
12 gexcl.1 . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
13 gexid.3 . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
1412, 13mulgass 19142 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋)) → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐸 · 𝐴)))
157, 8, 10, 11, 14syl13anc 1371 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐸 · 𝐴)))
16 gexcl.2 . . . . . . . 8 𝐸 = (gEx‘𝐺)
17 gexid.4 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
1812, 16, 13, 17gexid 19614 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
1911, 18syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐸 · 𝐴) = 0 )
2019oveq2d 7447 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · (𝐸 · 𝐴)) = (𝑥 · 0 ))
2112, 13, 17mulgz 19133 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 0 ) = 0 )
22213ad2antl1 1184 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 0 ) = 0 )
2315, 20, 223eqtrd 2779 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = 0 )
24 oveq1 7438 . . . . 5 ((𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → ((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
2524eqeq1d 2737 . . . 4 ((𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → (((𝑥 · 𝐸) · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
2623, 25syl5ibcom 245 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
2726rexlimdva 3153 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝐸) = 𝑁 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
286, 27mpd 15 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐸𝑁) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431   · cmul 11158  cz 12611  cdvds 16287  Basecbs 17245  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  .gcmg 19098  gExcgex 19558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-dvds 16288  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-gex 19562
This theorem is referenced by:  gexdvds  19617  gex2abl  19884
  Copyright terms: Public domain W3C validator