MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsval3 15361
Description: One nonzero integer divides another integer if and only if the remainder upon division is zero, see remark in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsval3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝑀) = 0))

Proof of Theorem dvdsval3
StepHypRef Expression
1 nnz 11727 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
2 nnne0 11386 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
31, 2jca 509 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0))
4 dvdsval2 15360 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
543expa 1153 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
63, 5sylan 577 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
7 zre 11708 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8 nnrp 12125 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
9 mod0 12970 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
107, 8, 9syl2anr 592 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
116, 10bitr4d 274 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝑀) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999   class class class wbr 4873  (class class class)co 6905  cr 10251  0cc0 10252   / cdiv 11009  cn 11350  cz 11704  +crp 12112   mod cmo 12963  cdvds 15357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fl 12888  df-mod 12964  df-dvds 15358
This theorem is referenced by:  dvdsmod0  15363  moddvds  15368  summodnegmod  15389  mod2eq0even  15444  bezoutlem3  15631  odzdvds  15871  m1dvdsndvds  15874  fldivp1  15972  4sqlem10  16022  oddvds  18317  gexdvds  18350  zringlpirlem3  20194  wilthimp  25211  lgslem1  25435  lgsne0  25473  lgsprme0  25477  lgseisenlem1  25513  2lgs  25545  dvdsabsmod0  38397
  Copyright terms: Public domain W3C validator