Theorem elfunsALTV2 38685

Description: Elementhood in the class of functions. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfunsALTV2	⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ⊆ I ∧ 𝐹 ∈ Rels ))

Proof of Theorem elfunsALTV2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfunsALTV 38684	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
2		cosselcnvrefrels2 38529	. . . 4 ⊢ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ 𝐹 ⊆ I ∧ ≀ 𝐹 ∈ Rels ))
3		cosselrels 38487	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ≀ 𝐹 ∈ Rels )
4	3	biantrud 531	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ( ≀ 𝐹 ⊆ I ↔ ( ≀ 𝐹 ⊆ I ∧ ≀ 𝐹 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ ≀ 𝐹 ⊆ I ))
6	5	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ (( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ) ↔ ( ≀ 𝐹 ⊆ I ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
7	1, 6	bitri 275	1 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ⊆ I ∧ 𝐹 ∈ Rels ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   I cid 5532   ≀ ccoss 38169   Rels crels 38171   CnvRefRels ccnvrefrels 38177   FunsALTV cfunsALTV 38199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-coss 38402  df-rels 38476  df-ssr 38489  df-cnvrefs 38516  df-cnvrefrels 38517  df-funss 38672  df-funsALTV 38673

This theorem is referenced by: (None)