Theorem elfunsALTV2 38716

Description: Elementhood in the class of functions. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfunsALTV2	⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ⊆ I ∧ 𝐹 ∈ Rels ))

Proof of Theorem elfunsALTV2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfunsALTV 38715	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
2		cosselcnvrefrels2 38561	. . . 4 ⊢ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ 𝐹 ⊆ I ∧ ≀ 𝐹 ∈ Rels ))
3		cosselrels 38519	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ≀ 𝐹 ∈ Rels )
4	3	biantrud 531	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ( ≀ 𝐹 ⊆ I ↔ ( ≀ 𝐹 ⊆ I ∧ ≀ 𝐹 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ ≀ 𝐹 ⊆ I ))
6	5	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ (( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ) ↔ ( ≀ 𝐹 ⊆ I ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
7	1, 6	bitri 275	1 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ⊆ I ∧ 𝐹 ∈ Rels ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931   I cid 5552   ≀ ccoss 38204   Rels crels 38206   CnvRefRels ccnvrefrels 38212   FunsALTV cfunsALTV 38234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-coss 38434  df-rels 38508  df-ssr 38521  df-cnvrefs 38548  df-cnvrefrels 38549  df-funss 38703  df-funsALTV 38704

This theorem is referenced by: (None)