Theorem elfunsALTV2 39154

Description: Elementhood in the class of functions. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfunsALTV2	⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ⊆ I ∧ 𝐹 ∈ Rels ))

Proof of Theorem elfunsALTV2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfunsALTV 39153	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
2		cosselcnvrefrels2 38994	. . . 4 ⊢ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ 𝐹 ⊆ I ∧ ≀ 𝐹 ∈ Rels ))
3		cosselrels 38951	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ≀ 𝐹 ∈ Rels )
4	3	biantrud 536	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ( ≀ 𝐹 ⊆ I ↔ ( ≀ 𝐹 ⊆ I ∧ ≀ 𝐹 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 291	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ ≀ 𝐹 ⊆ I ))
6	5	pm5.32ri 580	. 2 ⊢ (( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ) ↔ ( ≀ 𝐹 ⊆ I ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
7	1, 6	bitri 276	1 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ⊆ I ∧ 𝐹 ∈ Rels ))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   I cid 5513   ≀ ccoss 38559   Rels crels 38561   CnvRefRels ccnvrefrels 38567   FunsALTV cfunsALTV 38591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-11 2168  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-rels 38816  df-coss 38877  df-ssr 38954  df-cnvrefs 38981  df-cnvrefrels 38982  df-funss 39141  df-funsALTV 39142

This theorem is referenced by: (None)