Theorem elfunsALTV3 38650

Description: Elementhood in the class of functions. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfunsALTV3	⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ (∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝐹𝑥 ∧ 𝑢𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ∧ 𝐹 ∈ Rels ))

Distinct variable group:   𝑢,𝐹,𝑥,𝑦

Proof of Theorem elfunsALTV3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfunsALTV 38648	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
2		cosselcnvrefrels3 38495	. . . 4 ⊢ ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ (∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝐹𝑥 ∧ 𝑢𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ∧ ≀ 𝐹 ∈ Rels ))
3		cosselrels 38452	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ≀ 𝐹 ∈ Rels )
4	3	biantrud 531	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → (∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝐹𝑥 ∧ 𝑢𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝐹𝑥 ∧ 𝑢𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ∧ ≀ 𝐹 ∈ Rels )))
5	2, 4	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Rels → ( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ↔ ∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝐹𝑥 ∧ 𝑢𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
6	5	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ (( ≀ 𝐹 ∈ CnvRefRels ∧ 𝐹 ∈ Rels ) ↔ (∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝐹𝑥 ∧ 𝑢𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ∧ 𝐹 ∈ Rels ))
7	1, 6	bitri 275	1 ⊢ (𝐹 ∈ FunsALTV ↔ (∀𝑢∀𝑥∀𝑦((𝑢𝐹𝑥 ∧ 𝑢𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ∧ 𝐹 ∈ Rels ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166   ≀ ccoss 38135   Rels crels 38137   CnvRefRels ccnvrefrels 38143   FunsALTV cfunsALTV 38165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-coss 38367  df-rels 38441  df-ssr 38454  df-cnvrefs 38481  df-cnvrefrels 38482  df-funss 38636  df-funsALTV 38637

This theorem is referenced by: (None)