Theorem znegcl 12678

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12641	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11528	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11582	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12650	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2852	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12642	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12660	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1428	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 504	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ℝcr 11183  0cc0 11184  -cneg 11521  ℕcn 12293  ℤcz 12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-z 12640

This theorem is referenced by:  znegclb  12680  nn0negz  12681  zsubcl  12685  zeo  12729  zindd  12744  znegcld  12749  zriotaneg  12756  uzneg  12923  zmax  13010  rebtwnz  13012  qnegcl  13031  fzsubel  13620  fzosubel  13775  ceilid  13902  modcyc2  13958  expsub  14161  seqshft  15134  climshft  15622  negdvdsb  16321  dvdsnegb  16322  summodnegmod  16335  dvdssub  16352  odd2np1  16389  divalglem6  16446  bitscmp  16484  gcdneg  16568  neggcd  16569  gcdaddmlem  16570  gcdabsOLD  16578  lcmneg  16650  neglcm  16651  lcmabs  16652  mulgaddcomlem  19137  mulgneg2  19148  mulgsubdir  19154  cycsubgcl  19246  zaddablx  19914  cyggeninv  19925  zsubrg  21461  zringsub  21489  zringmulg  21490  zringinvg  21499  pzriprnglem4  21518  aaliou3lem9  26410  sinperlem  26540  wilthlem3  27131  basellem3  27144  basellem4  27145  basellem8  27149  basellem9  27150  lgsneg  27383  lgsdir2lem4  27390  lgsdir2lem5  27391  ex-fl  30479  ex-mod  30481  pell1234qrdich  42817  rmxyneg  42877  monotoddzzfi  42899  monotoddzz  42900  oddcomabszz  42901  jm2.24  42920  acongtr  42935  fzneg  42939  jm2.26a  42957  cosknegpi  45790  enege  47519  onego  47520  0nodd  47893  2zrngagrp  47972  zlmodzxzequap  48228  flsubz  48251  digvalnn0  48333  dig0  48340  dig2nn0  48345