Theorem znegcl 12016

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 11982	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 10877	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 10931	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	syl6eq 2872	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 11991	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2921	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 11983	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12003	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1423	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 507	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1082   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ℝcr 10535  0cc0 10536  -cneg 10870  ℕcn 11637  ℤcz 11980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-z 11981

This theorem is referenced by:  znegclb  12018  nn0negz  12019  zsubcl  12023  zeo  12067  zindd  12082  znegcld  12088  zriotaneg  12095  uzneg  12262  zmax  12344  rebtwnz  12346  qnegcl  12364  fzsubel  12942  fzosubel  13095  ceilid  13218  modcyc2  13274  expsub  13476  seqshft  14443  climshft  14932  negdvdsb  15625  dvdsnegb  15626  summodnegmod  15639  dvdssub  15653  odd2np1  15689  divalglem6  15748  bitscmp  15786  gcdneg  15869  neggcd  15870  gcdaddmlem  15871  gcdabs  15876  lcmneg  15946  neglcm  15947  lcmabs  15948  mulgaddcomlem  18249  mulgneg2  18260  mulgsubdir  18266  cycsubgcl  18348  zaddablx  18991  cyggeninv  19001  zsubrg  20597  zringmulg  20624  zringinvg  20633  aaliou3lem9  24938  sinperlem  25065  wilthlem3  25646  basellem3  25659  basellem4  25660  basellem8  25664  basellem9  25665  lgsneg  25896  lgsdir2lem4  25903  lgsdir2lem5  25904  ex-fl  28225  ex-mod  28227  pell1234qrdich  39456  rmxyneg  39515  monotoddzzfi  39537  monotoddzz  39538  oddcomabszz  39539  jm2.24  39558  acongtr  39573  fzneg  39577  jm2.26a  39595  cosknegpi  42148  enege  43809  onego  43810  0nodd  44076  2zrngagrp  44213  zlmodzxzequap  44553  flsubz  44576  digvalnn0  44658  dig0  44665  dig2nn0  44670