Theorem znegcl 12517

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12480	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11362	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11417	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12489	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2841	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12481	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12499	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1430	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 504	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ℝcr 11015  0cc0 11016  -cneg 11355  ℕcn 12135  ℤcz 12478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-ltxr 11161  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-z 12479

This theorem is referenced by:  znegclb  12519  nn0negz  12520  zsubcl  12524  zeo  12569  zindd  12584  znegcld  12589  zriotaneg  12596  uzneg  12762  zmax  12853  rebtwnz  12855  qnegcl  12874  fzsubel  13470  fzosubel  13634  ceilid  13765  modcyc2  13821  expsub  14027  seqshft  15002  climshft  15493  negdvdsb  16193  dvdsnegb  16194  summodnegmod  16207  difmod0  16208  dvdssub  16225  odd2np1  16262  divalglem6  16319  bitscmp  16359  gcdneg  16443  neggcd  16444  gcdaddmlem  16445  lcmneg  16524  neglcm  16525  lcmabs  16526  mulgaddcomlem  19020  mulgneg2  19031  mulgsubdir  19037  cycsubgcl  19128  zaddablx  19794  cyggeninv  19805  zsubrg  21367  zringsub  21402  zringmulg  21403  zringinvg  21412  pzriprnglem4  21431  aaliou3lem9  26295  sinperlem  26426  wilthlem3  27017  basellem3  27030  basellem4  27031  basellem8  27035  basellem9  27036  lgsneg  27269  lgsdir2lem4  27276  lgsdir2lem5  27277  ex-fl  30438  ex-mod  30440  pell1234qrdich  42968  rmxyneg  43027  monotoddzzfi  43049  monotoddzz  43050  oddcomabszz  43051  jm2.24  43070  acongtr  43085  fzneg  43089  jm2.26a  43107  cosknegpi  45981  nthrucw  46998  ceilbi  47447  enege  47759  onego  47760  0nodd  48284  2zrngagrp  48363  zlmodzxzequap  48614  flsubz  48637  digvalnn0  48714  dig0  48721  dig2nn0  48726