Theorem znegcl 12528

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12492	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11374	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11429	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12501	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2844	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12493	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12511	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1430	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 504	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ℝcr 11027  0cc0 11028  -cneg 11367  ℕcn 12147  ℤcz 12490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-z 12491

This theorem is referenced by:  znegclb  12530  nn0negz  12531  zsubcl  12535  zeo  12580  zindd  12595  znegcld  12600  zriotaneg  12607  uzneg  12773  zmax  12860  rebtwnz  12862  qnegcl  12881  fzsubel  13478  fzosubel  13642  ceilid  13773  modcyc2  13829  expsub  14035  seqshft  15010  climshft  15501  negdvdsb  16201  dvdsnegb  16202  summodnegmod  16215  difmod0  16216  dvdssub  16233  odd2np1  16270  divalglem6  16327  bitscmp  16367  gcdneg  16451  neggcd  16452  gcdaddmlem  16453  lcmneg  16532  neglcm  16533  lcmabs  16534  mulgaddcomlem  19029  mulgneg2  19040  mulgsubdir  19046  cycsubgcl  19137  zaddablx  19803  cyggeninv  19814  zsubrg  21377  zringsub  21412  zringmulg  21413  zringinvg  21422  pzriprnglem4  21441  aaliou3lem9  26316  sinperlem  26447  wilthlem3  27038  basellem3  27051  basellem4  27052  basellem8  27056  basellem9  27057  lgsneg  27290  lgsdir2lem4  27297  lgsdir2lem5  27298  ex-fl  30524  ex-mod  30526  pell1234qrdich  43124  rmxyneg  43183  monotoddzzfi  43205  monotoddzz  43206  oddcomabszz  43207  jm2.24  43226  acongtr  43241  fzneg  43245  jm2.26a  43263  cosknegpi  46134  nthrucw  47151  ceilbi  47600  enege  47912  onego  47913  0nodd  48437  2zrngagrp  48516  zlmodzxzequap  48766  flsubz  48789  digvalnn0  48866  dig0  48873  dig2nn0  48878