Theorem znegcl 12632

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12595	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11479	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11534	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12604	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2843	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12596	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12614	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1430	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 504	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ℝcr 11133  0cc0 11134  -cneg 11472  ℕcn 12245  ℤcz 12593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-z 12594

This theorem is referenced by:  znegclb  12634  nn0negz  12635  zsubcl  12639  zeo  12684  zindd  12699  znegcld  12704  zriotaneg  12711  uzneg  12877  zmax  12966  rebtwnz  12968  qnegcl  12987  fzsubel  13582  fzosubel  13745  ceilid  13873  modcyc2  13929  expsub  14133  seqshft  15109  climshft  15597  negdvdsb  16297  dvdsnegb  16298  summodnegmod  16311  dvdssub  16328  odd2np1  16365  divalglem6  16422  bitscmp  16462  gcdneg  16546  neggcd  16547  gcdaddmlem  16548  lcmneg  16627  neglcm  16628  lcmabs  16629  mulgaddcomlem  19085  mulgneg2  19096  mulgsubdir  19102  cycsubgcl  19194  zaddablx  19858  cyggeninv  19869  zsubrg  21393  zringsub  21421  zringmulg  21422  zringinvg  21431  pzriprnglem4  21450  aaliou3lem9  26315  sinperlem  26446  wilthlem3  27037  basellem3  27050  basellem4  27051  basellem8  27055  basellem9  27056  lgsneg  27289  lgsdir2lem4  27296  lgsdir2lem5  27297  ex-fl  30433  ex-mod  30435  pell1234qrdich  42859  rmxyneg  42919  monotoddzzfi  42941  monotoddzz  42942  oddcomabszz  42943  jm2.24  42962  acongtr  42977  fzneg  42981  jm2.26a  42999  cosknegpi  45878  ceilbi  47342  enege  47639  onego  47640  0nodd  48125  2zrngagrp  48204  zlmodzxzequap  48455  flsubz  48478  digvalnn0  48559  dig0  48566  dig2nn0  48571