Theorem znegcl 12285

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12251	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11143	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11197	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12260	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2847	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12252	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12272	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1425	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 504	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1084   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ℝcr 10801  0cc0 10802  -cneg 11136  ℕcn 11903  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-z 12250

This theorem is referenced by:  znegclb  12287  nn0negz  12288  zsubcl  12292  zeo  12336  zindd  12351  znegcld  12357  zriotaneg  12364  uzneg  12531  zmax  12614  rebtwnz  12616  qnegcl  12635  fzsubel  13221  fzosubel  13374  ceilid  13499  modcyc2  13555  expsub  13759  seqshft  14724  climshft  15213  negdvdsb  15910  dvdsnegb  15911  summodnegmod  15924  dvdssub  15941  odd2np1  15978  divalglem6  16035  bitscmp  16073  gcdneg  16157  neggcd  16158  gcdaddmlem  16159  gcdabsOLD  16167  lcmneg  16236  neglcm  16237  lcmabs  16238  mulgaddcomlem  18641  mulgneg2  18652  mulgsubdir  18658  cycsubgcl  18740  zaddablx  19388  cyggeninv  19398  zsubrg  20563  zringmulg  20590  zringinvg  20599  aaliou3lem9  25415  sinperlem  25542  wilthlem3  26124  basellem3  26137  basellem4  26138  basellem8  26142  basellem9  26143  lgsneg  26374  lgsdir2lem4  26381  lgsdir2lem5  26382  ex-fl  28712  ex-mod  28714  pell1234qrdich  40599  rmxyneg  40658  monotoddzzfi  40680  monotoddzz  40681  oddcomabszz  40682  jm2.24  40701  acongtr  40716  fzneg  40720  jm2.26a  40738  cosknegpi  43300  enege  44985  onego  44986  0nodd  45252  2zrngagrp  45389  zlmodzxzequap  45728  flsubz  45751  digvalnn0  45833  dig0  45840  dig2nn0  45845