Theorem znegcl 12656

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12620	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11476	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11531	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12629	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2868	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12621	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12639	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 514	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ℝcr 11126  0cc0 11127  -cneg 11469  ℕcn 12260  ℤcz 12618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-z 12619

This theorem is used by:  znegclb  12658  nn0negz  12659  zsubcl  12663  zeo  12710  zindd  12725  znegcld  12730  zriotaneg  12737  uzneg  12910  zmax  12997  rebtwnz  12999  qnegcl  13019  fzsubel  13618  fzosubel  13783  ceilid  13915  modcyc2  13971  expsub  14177  seqshft  15161  climshft  15666  negdvdsb  16365  dvdsnegb  16366  summodnegmod  16379  difmod0  16380  dvdssub  16397  odd2np1  16434  divalglem6  16491  bitscmp  16531  gcdneg  16615  neggcd  16616  gcdaddmlem  16617  lcmneg  16696  neglcm  16697  lcmabs  16698  mulgaddcomlem  19223  mulgneg2  19234  mulgsubdir  19240  cycsubgcl  19337  zaddablx  20002  cyggeninv  20013  zsubrg  21636  zringsub  21671  zringmulg  21672  zringinvg  21681  pzriprnglem4  21700  aaliou3lem9  26589  sinperlem  26721  wilthlem3  27309  basellem3  27322  basellem4  27323  basellem8  27327  basellem9  27328  lgsneg  27560  lgsdir2lem4  27567  lgsdir2lem5  27568  ex-fl  30930  ex-mod  30932  pell1234qrdich  43705  rmxyneg  43764  monotoddzzfi  43786  monotoddzz  43787  oddcomabszz  43788  jm2.24  43807  acongtr  43822  fzneg  43826  jm2.26a  43844  cosknegpi  46700  ceilbi  48228  enege  48564  onego  48565  0nodd  49088  2zrngagrp  49167  zlmodzxzequap  49432  flsubz  49455  digvalnn0  49532  dig0  49539  dig2nn0  49544