Theorem znegcl 12177

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12143	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11035	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11089	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12152	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2839	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12144	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12164	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1429	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 508	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1088   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ℝcr 10693  0cc0 10694  -cneg 11028  ℕcn 11795  ℤcz 12141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-ltxr 10837  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-z 12142

This theorem is referenced by:  znegclb  12179  nn0negz  12180  zsubcl  12184  zeo  12228  zindd  12243  znegcld  12249  zriotaneg  12256  uzneg  12423  zmax  12506  rebtwnz  12508  qnegcl  12527  fzsubel  13113  fzosubel  13266  ceilid  13389  modcyc2  13445  expsub  13648  seqshft  14613  climshft  15102  negdvdsb  15797  dvdsnegb  15798  summodnegmod  15811  dvdssub  15828  odd2np1  15865  divalglem6  15922  bitscmp  15960  gcdneg  16044  neggcd  16045  gcdaddmlem  16046  gcdabsOLD  16054  lcmneg  16123  neglcm  16124  lcmabs  16125  mulgaddcomlem  18468  mulgneg2  18479  mulgsubdir  18485  cycsubgcl  18567  zaddablx  19211  cyggeninv  19221  zsubrg  20370  zringmulg  20397  zringinvg  20406  aaliou3lem9  25197  sinperlem  25324  wilthlem3  25906  basellem3  25919  basellem4  25920  basellem8  25924  basellem9  25925  lgsneg  26156  lgsdir2lem4  26163  lgsdir2lem5  26164  ex-fl  28484  ex-mod  28486  pell1234qrdich  40327  rmxyneg  40386  monotoddzzfi  40408  monotoddzz  40409  oddcomabszz  40410  jm2.24  40429  acongtr  40444  fzneg  40448  jm2.26a  40466  cosknegpi  43028  enege  44713  onego  44714  0nodd  44980  2zrngagrp  45117  zlmodzxzequap  45456  flsubz  45479  digvalnn0  45561  dig0  45568  dig2nn0  45573