Theorem znegcl 12524

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12488	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11370	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11425	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2785	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12497	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2842	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12489	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12507	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1430	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 504	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ℝcr 11023  0cc0 11024  -cneg 11363  ℕcn 12143  ℤcz 12486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-z 12487

This theorem is referenced by:  znegclb  12526  nn0negz  12527  zsubcl  12531  zeo  12576  zindd  12591  znegcld  12596  zriotaneg  12603  uzneg  12769  zmax  12856  rebtwnz  12858  qnegcl  12877  fzsubel  13474  fzosubel  13638  ceilid  13769  modcyc2  13825  expsub  14031  seqshft  15006  climshft  15497  negdvdsb  16197  dvdsnegb  16198  summodnegmod  16211  difmod0  16212  dvdssub  16229  odd2np1  16266  divalglem6  16323  bitscmp  16363  gcdneg  16447  neggcd  16448  gcdaddmlem  16449  lcmneg  16528  neglcm  16529  lcmabs  16530  mulgaddcomlem  19025  mulgneg2  19036  mulgsubdir  19042  cycsubgcl  19133  zaddablx  19799  cyggeninv  19810  zsubrg  21373  zringsub  21408  zringmulg  21409  zringinvg  21418  pzriprnglem4  21437  aaliou3lem9  26312  sinperlem  26443  wilthlem3  27034  basellem3  27047  basellem4  27048  basellem8  27052  basellem9  27053  lgsneg  27286  lgsdir2lem4  27293  lgsdir2lem5  27294  ex-fl  30471  ex-mod  30473  pell1234qrdich  43045  rmxyneg  43104  monotoddzzfi  43126  monotoddzz  43127  oddcomabszz  43128  jm2.24  43147  acongtr  43162  fzneg  43166  jm2.26a  43184  cosknegpi  46055  nthrucw  47072  ceilbi  47521  enege  47833  onego  47834  0nodd  48358  2zrngagrp  48437  zlmodzxzequap  48687  flsubz  48710  digvalnn0  48787  dig0  48794  dig2nn0  48799