Theorem znegcl 12646

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12610	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11466	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11521	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12619	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2873	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12611	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12629	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 514	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ℝcr 11116  0cc0 11117  -cneg 11459  ℕcn 12250  ℤcz 12608

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-ltxr 11265  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-z 12609

This theorem is used by:  znegclb  12648  nn0negz  12649  zsubcl  12653  zeo  12700  zindd  12715  znegcld  12720  zriotaneg  12727  uzneg  12900  zmax  12987  rebtwnz  12989  qnegcl  13008  fzsubel  13607  fzosubel  13772  ceilid  13904  modcyc2  13960  expsub  14166  seqshft  15148  climshft  15653  negdvdsb  16354  dvdsnegb  16355  summodnegmod  16368  difmod0  16369  dvdssub  16386  odd2np1  16423  divalglem6  16480  bitscmp  16520  gcdneg  16604  neggcd  16605  gcdaddmlem  16606  lcmneg  16685  neglcm  16686  lcmabs  16687  mulgaddcomlem  19209  mulgneg2  19220  mulgsubdir  19226  cycsubgcl  19323  zaddablx  19988  cyggeninv  19999  zsubrg  21622  zringsub  21657  zringmulg  21658  zringinvg  21667  pzriprnglem4  21686  aaliou3lem9  26566  sinperlem  26698  wilthlem3  27287  basellem3  27300  basellem4  27301  basellem8  27305  basellem9  27306  lgsneg  27538  lgsdir2lem4  27545  lgsdir2lem5  27546  ex-fl  30871  ex-mod  30873  pell1234qrdich  43648  rmxyneg  43707  monotoddzzfi  43729  monotoddzz  43730  oddcomabszz  43731  jm2.24  43750  acongtr  43765  fzneg  43769  jm2.26a  43787  cosknegpi  46643  ceilbi  48134  enege  48470  onego  48471  0nodd  48994  2zrngagrp  49073  zlmodzxzequap  49338  flsubz  49361  digvalnn0  49438  dig0  49445  dig2nn0  49450