Theorem znegcl 12596

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12559	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11451	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11505	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12568	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2841	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12560	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12578	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1427	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 505	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ℝcr 11108  0cc0 11109  -cneg 11444  ℕcn 12211  ℤcz 12557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-z 12558

This theorem is referenced by:  znegclb  12598  nn0negz  12599  zsubcl  12603  zeo  12647  zindd  12662  znegcld  12667  zriotaneg  12674  uzneg  12841  zmax  12928  rebtwnz  12930  qnegcl  12949  fzsubel  13536  fzosubel  13690  ceilid  13815  modcyc2  13871  expsub  14075  seqshft  15031  climshft  15519  negdvdsb  16215  dvdsnegb  16216  summodnegmod  16229  dvdssub  16246  odd2np1  16283  divalglem6  16340  bitscmp  16378  gcdneg  16462  neggcd  16463  gcdaddmlem  16464  gcdabsOLD  16472  lcmneg  16539  neglcm  16540  lcmabs  16541  mulgaddcomlem  18976  mulgneg2  18987  mulgsubdir  18993  cycsubgcl  19082  zaddablx  19739  cyggeninv  19750  zsubrg  20997  zringsub  21024  zringmulg  21025  zringinvg  21034  aaliou3lem9  25862  sinperlem  25989  wilthlem3  26571  basellem3  26584  basellem4  26585  basellem8  26589  basellem9  26590  lgsneg  26821  lgsdir2lem4  26828  lgsdir2lem5  26829  ex-fl  29697  ex-mod  29699  pell1234qrdich  41589  rmxyneg  41649  monotoddzzfi  41671  monotoddzz  41672  oddcomabszz  41673  jm2.24  41692  acongtr  41707  fzneg  41711  jm2.26a  41729  cosknegpi  44575  enege  46303  onego  46304  0nodd  46570  pzriprnglem4  46798  2zrngagrp  46831  zlmodzxzequap  47170  flsubz  47193  digvalnn0  47275  dig0  47282  dig2nn0  47287