Theorem znegcl 12654

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12617	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11501	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11556	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2792	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12626	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2848	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12618	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12636	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1429	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 504	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ℝcr 11155  0cc0 11156  -cneg 11494  ℕcn 12267  ℤcz 12615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-z 12616

This theorem is referenced by:  znegclb  12656  nn0negz  12657  zsubcl  12661  zeo  12706  zindd  12721  znegcld  12726  zriotaneg  12733  uzneg  12899  zmax  12988  rebtwnz  12990  qnegcl  13009  fzsubel  13601  fzosubel  13764  ceilid  13892  modcyc2  13948  expsub  14152  seqshft  15125  climshft  15613  negdvdsb  16311  dvdsnegb  16312  summodnegmod  16325  dvdssub  16342  odd2np1  16379  divalglem6  16436  bitscmp  16476  gcdneg  16560  neggcd  16561  gcdaddmlem  16562  lcmneg  16641  neglcm  16642  lcmabs  16643  mulgaddcomlem  19116  mulgneg2  19127  mulgsubdir  19133  cycsubgcl  19225  zaddablx  19891  cyggeninv  19902  zsubrg  21439  zringsub  21467  zringmulg  21468  zringinvg  21477  pzriprnglem4  21496  aaliou3lem9  26393  sinperlem  26523  wilthlem3  27114  basellem3  27127  basellem4  27128  basellem8  27132  basellem9  27133  lgsneg  27366  lgsdir2lem4  27373  lgsdir2lem5  27374  ex-fl  30467  ex-mod  30469  pell1234qrdich  42877  rmxyneg  42937  monotoddzzfi  42959  monotoddzz  42960  oddcomabszz  42961  jm2.24  42980  acongtr  42995  fzneg  42999  jm2.26a  43017  cosknegpi  45889  enege  47637  onego  47638  0nodd  48091  2zrngagrp  48170  zlmodzxzequap  48421  flsubz  48444  digvalnn0  48525  dig0  48532  dig2nn0  48537