Theorem znegcl 12731

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12695	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11549	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11604	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12704	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2869	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12696	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12714	. . 3 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 514	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ℝcr 11199  0cc0 11200   -cneg 11542  ℕcn 12335  ℤcz 12693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-z 12694

This theorem is used by:  znegclb  12733  nn0negz  12734  zsubcl  12738  zeo  12785  zindd  12800  znegcld  12805  zriotaneg  12812  uzneg  12985  zmax  13072  rebtwnz  13074  qnegcl  13094  fzsubel  13694  fzosubel  13859  ceilid  13991  modcyc2  14047  expsub  14253  seqshft  15238  climshft  15743  negdvdsb  16442  dvdsnegb  16443  summodnegmod  16456  difmod0  16457  dvdssub  16474  odd2np1  16511  divalglem6  16568  bitscmp  16608  gcdneg  16694  neggcd  16695  gcdaddmlem  16696  lcmneg  16778  neglcm  16779  lcmabs  16780  mulgaddcomlem  19307  mulgneg2  19318  mulgsubdir  19324  cycsubgcl  19421  zaddablx  20086  cyggeninv  20097  zsubrg  21726  zringsub  21761  zringmulg  21762  zringinvg  21771  pzriprnglem4  21790  aaliou3lem9  26677  sinperlem  26809  wilthlem3  27397  basellem3  27410  basellem4  27411  basellem8  27415  basellem9  27416  lgsneg  27648  lgsdir2lem4  27655  lgsdir2lem5  27656  ex-fl  31048  ex-mod  31050  pell1234qrdich  43867  rmxyneg  43926  monotoddzzfi  43948  monotoddzz  43949  oddcomabszz  43950  jm2.24  43969  acongtr  43984  fzneg  43988  jm2.26a  44006  cosknegpi  46878  ceilbi  48406  enege  48742  onego  48743  0nodd  49266  2zrngagrp  49345  zlmodzxzequap  49610  flsubz  49633  digvalnn0  49710  dig0  49717  dig2nn0  49722