Theorem znegcl 12538

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12502	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11384	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11439	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12511	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2845	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12503	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12521	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1431	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 504	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ℝcr 11037  0cc0 11038  -cneg 11377  ℕcn 12157  ℤcz 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-z 12501

This theorem is referenced by:  znegclb  12540  nn0negz  12541  zsubcl  12545  zeo  12590  zindd  12605  znegcld  12610  zriotaneg  12617  uzneg  12783  zmax  12870  rebtwnz  12872  qnegcl  12891  fzsubel  13488  fzosubel  13652  ceilid  13783  modcyc2  13839  expsub  14045  seqshft  15020  climshft  15511  negdvdsb  16211  dvdsnegb  16212  summodnegmod  16225  difmod0  16226  dvdssub  16243  odd2np1  16280  divalglem6  16337  bitscmp  16377  gcdneg  16461  neggcd  16462  gcdaddmlem  16463  lcmneg  16542  neglcm  16543  lcmabs  16544  mulgaddcomlem  19042  mulgneg2  19053  mulgsubdir  19059  cycsubgcl  19150  zaddablx  19816  cyggeninv  19827  zsubrg  21390  zringsub  21425  zringmulg  21426  zringinvg  21435  pzriprnglem4  21454  aaliou3lem9  26329  sinperlem  26460  wilthlem3  27051  basellem3  27064  basellem4  27065  basellem8  27069  basellem9  27070  lgsneg  27303  lgsdir2lem4  27310  lgsdir2lem5  27311  ex-fl  30538  ex-mod  30540  pell1234qrdich  43222  rmxyneg  43281  monotoddzzfi  43303  monotoddzz  43304  oddcomabszz  43305  jm2.24  43324  acongtr  43339  fzneg  43343  jm2.26a  43361  cosknegpi  46231  nthrucw  47248  ceilbi  47697  enege  48009  onego  48010  0nodd  48534  2zrngagrp  48613  zlmodzxzequap  48863  flsubz  48886  digvalnn0  48963  dig0  48970  dig2nn0  48975