Theorem znegcl 12568

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12531	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11413	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11468	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12540	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2836	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12532	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12550	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1430	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 504	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ℝcr 11067  0cc0 11068  -cneg 11406  ℕcn 12186  ℤcz 12529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-z 12530

This theorem is referenced by:  znegclb  12570  nn0negz  12571  zsubcl  12575  zeo  12620  zindd  12635  znegcld  12640  zriotaneg  12647  uzneg  12813  zmax  12904  rebtwnz  12906  qnegcl  12925  fzsubel  13521  fzosubel  13685  ceilid  13813  modcyc2  13869  expsub  14075  seqshft  15051  climshft  15542  negdvdsb  16242  dvdsnegb  16243  summodnegmod  16256  difmod0  16257  dvdssub  16274  odd2np1  16311  divalglem6  16368  bitscmp  16408  gcdneg  16492  neggcd  16493  gcdaddmlem  16494  lcmneg  16573  neglcm  16574  lcmabs  16575  mulgaddcomlem  19029  mulgneg2  19040  mulgsubdir  19046  cycsubgcl  19138  zaddablx  19802  cyggeninv  19813  zsubrg  21337  zringsub  21365  zringmulg  21366  zringinvg  21375  pzriprnglem4  21394  aaliou3lem9  26258  sinperlem  26389  wilthlem3  26980  basellem3  26993  basellem4  26994  basellem8  26998  basellem9  26999  lgsneg  27232  lgsdir2lem4  27239  lgsdir2lem5  27240  ex-fl  30376  ex-mod  30378  pell1234qrdich  42849  rmxyneg  42909  monotoddzzfi  42931  monotoddzz  42932  oddcomabszz  42933  jm2.24  42952  acongtr  42967  fzneg  42971  jm2.26a  42989  cosknegpi  45867  ceilbi  47334  enege  47646  onego  47647  0nodd  48158  2zrngagrp  48237  zlmodzxzequap  48488  flsubz  48511  digvalnn0  48588  dig0  48595  dig2nn0  48600