Theorem znegcl 12607

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12571	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11423	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11478	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12580	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12572	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12590	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1448	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 512	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1098   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ℝcr 11073  0cc0 11074  -cneg 11416  ℕcn 12211  ℤcz 12569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-ltxr 11222  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-z 12570

This theorem is referenced by:  znegclb  12609  nn0negz  12610  zsubcl  12614  zeo  12660  zindd  12675  znegcld  12680  zriotaneg  12687  uzneg  12860  zmax  12947  rebtwnz  12949  qnegcl  12968  fzsubel  13566  fzosubel  13731  ceilid  13862  modcyc2  13918  expsub  14124  seqshft  15099  climshft  15604  negdvdsb  16307  dvdsnegb  16308  summodnegmod  16321  difmod0  16322  dvdssub  16339  odd2np1  16376  divalglem6  16433  bitscmp  16473  gcdneg  16557  neggcd  16558  gcdaddmlem  16559  lcmneg  16638  neglcm  16639  lcmabs  16640  mulgaddcomlem  19140  mulgneg2  19151  mulgsubdir  19157  cycsubgcl  19248  zaddablx  19913  cyggeninv  19924  zsubrg  21473  zringsub  21508  zringmulg  21509  zringinvg  21518  pzriprnglem4  21537  aaliou3lem9  26415  sinperlem  26546  wilthlem3  27135  basellem3  27148  basellem4  27149  basellem8  27153  basellem9  27154  lgsneg  27386  lgsdir2lem4  27393  lgsdir2lem5  27394  ex-fl  30650  ex-mod  30652  pell1234qrdich  43439  rmxyneg  43498  monotoddzzfi  43520  monotoddzz  43521  oddcomabszz  43522  jm2.24  43541  acongtr  43556  fzneg  43560  jm2.26a  43578  cosknegpi  46444  nthrucw  47463  ceilbi  47932  enege  48268  onego  48269  0nodd  48793  2zrngagrp  48872  zlmodzxzequap  49122  flsubz  49145  digvalnn0  49222  dig0  49229  dig2nn0  49234