MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znegcl 11614
Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
znegcl (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl
StepHypRef Expression
1 elz 11581 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 negeq 10475 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3 neg0 10529 . . . . . 6 -0 = 0
42, 3syl6eq 2821 . . . . 5 (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5 0z 11590 . . . . 5 0 ∈ ℤ
64, 5syl6eqel 2858 . . . 4 (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7 nnnegz 11582 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8 nnz 11601 . . . 4 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
96, 7, 83jaoi 1539 . . 3 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
109adantl 467 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
111, 10sylbi 207 1 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3o 1070   = wceq 1631  wcel 2145  cr 10137  0cc0 10138  -cneg 10469  cn 11222  cz 11579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-z 11580
This theorem is referenced by:  znegclb  11616  nn0negz  11617  zsubcl  11621  zeo  11665  zindd  11680  znegcld  11686  zriotaneg  11693  uzneg  11907  zmax  11988  rebtwnz  11990  qnegcl  12008  fzsubel  12584  fzosubel  12735  ceilid  12858  modcyc2  12914  expsub  13115  seqshft  14033  climshft  14515  znnenlem  15146  negdvdsb  15207  dvdsnegb  15208  summodnegmod  15221  dvdssub  15235  odd2np1  15273  divalglem6  15329  bitscmp  15368  gcdneg  15451  neggcd  15452  gcdaddmlem  15453  gcdabs  15458  lcmneg  15524  neglcm  15525  lcmabs  15526  mulgaddcomlem  17771  mulgneg2  17783  mulgsubdir  17790  cycsubgcl  17828  zaddablx  18482  cyggeninv  18492  zsubrg  20014  zringmulg  20041  zringinvg  20050  aaliou3lem9  24325  sinperlem  24453  wilthlem3  25017  basellem3  25030  basellem4  25031  basellem8  25035  basellem9  25036  lgsneg  25267  lgsdir2lem4  25274  lgsdir2lem5  25275  ex-fl  27646  ex-mod  27648  pell1234qrdich  37951  rmxyneg  38011  monotoddzzfi  38033  monotoddzz  38034  oddcomabszz  38035  jm2.24  38056  acongtr  38071  fzneg  38075  jm2.26a  38093  cosknegpi  40598  enege  42086  onego  42087  0nodd  42338  2zrngagrp  42471  zlmodzxzequap  42816  flsubz  42840  digvalnn0  42921  dig0  42928  dig2nn0  42933
  Copyright terms: Public domain W3C validator