MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znegcl 12005
Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
znegcl (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl
StepHypRef Expression
1 elz 11971 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 negeq 10867 . . . . 5 (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3 neg0 10921 . . . . 5 -0 = 0
42, 3eqtrdi 2849 . . . 4 (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5 0z 11980 . . . 4 0 ∈ ℤ
64, 5eqeltrdi 2898 . . 3 (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7 nnnegz 11972 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8 nnz 11992 . . 3 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
96, 7, 83jaoi 1424 . 2 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
101, 9simplbiim 508 1 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1083   = wceq 1538  wcel 2111  cr 10525  0cc0 10526  -cneg 10860  cn 11625  cz 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-z 11970
This theorem is referenced by:  znegclb  12007  nn0negz  12008  zsubcl  12012  zeo  12056  zindd  12071  znegcld  12077  zriotaneg  12084  uzneg  12251  zmax  12333  rebtwnz  12335  qnegcl  12353  fzsubel  12938  fzosubel  13091  ceilid  13214  modcyc2  13270  expsub  13473  seqshft  14436  climshft  14925  negdvdsb  15618  dvdsnegb  15619  summodnegmod  15632  dvdssub  15646  odd2np1  15682  divalglem6  15739  bitscmp  15777  gcdneg  15860  neggcd  15861  gcdaddmlem  15862  gcdabs  15867  lcmneg  15937  neglcm  15938  lcmabs  15939  mulgaddcomlem  18242  mulgneg2  18253  mulgsubdir  18259  cycsubgcl  18341  zaddablx  18985  cyggeninv  18995  zsubrg  20144  zringmulg  20171  zringinvg  20180  aaliou3lem9  24946  sinperlem  25073  wilthlem3  25655  basellem3  25668  basellem4  25669  basellem8  25673  basellem9  25674  lgsneg  25905  lgsdir2lem4  25912  lgsdir2lem5  25913  ex-fl  28232  ex-mod  28234  pell1234qrdich  39797  rmxyneg  39856  monotoddzzfi  39878  monotoddzz  39879  oddcomabszz  39880  jm2.24  39899  acongtr  39914  fzneg  39918  jm2.26a  39936  cosknegpi  42506  enege  44158  onego  44159  0nodd  44425  2zrngagrp  44562  zlmodzxzequap  44903  flsubz  44926  digvalnn0  45008  dig0  45015  dig2nn0  45020
  Copyright terms: Public domain W3C validator