Theorem znegcl 12554

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12518	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11377	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11432	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12527	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2847	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12519	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12537	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1436	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 509	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1091   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ℝcr 11029  0cc0 11030  -cneg 11370  ℕcn 12166  ℤcz 12516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-ltxr 11176  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-z 12517

This theorem is referenced by:  znegclb  12556  nn0negz  12557  zsubcl  12561  zeo  12607  zindd  12622  znegcld  12627  zriotaneg  12634  uzneg  12800  zmax  12887  rebtwnz  12889  qnegcl  12908  fzsubel  13506  fzosubel  13671  ceilid  13802  modcyc2  13858  expsub  14064  seqshft  15039  climshft  15530  negdvdsb  16233  dvdsnegb  16234  summodnegmod  16247  difmod0  16248  dvdssub  16265  odd2np1  16302  divalglem6  16359  bitscmp  16399  gcdneg  16483  neggcd  16484  gcdaddmlem  16485  lcmneg  16564  neglcm  16565  lcmabs  16566  mulgaddcomlem  19065  mulgneg2  19076  mulgsubdir  19082  cycsubgcl  19173  zaddablx  19839  cyggeninv  19850  zsubrg  21396  zringsub  21431  zringmulg  21432  zringinvg  21441  pzriprnglem4  21460  aaliou3lem9  26335  sinperlem  26463  wilthlem3  27052  basellem3  27065  basellem4  27066  basellem8  27070  basellem9  27071  lgsneg  27303  lgsdir2lem4  27310  lgsdir2lem5  27311  ex-fl  30536  ex-mod  30538  pell1234qrdich  43315  rmxyneg  43374  monotoddzzfi  43396  monotoddzz  43397  oddcomabszz  43398  jm2.24  43417  acongtr  43432  fzneg  43436  jm2.26a  43454  cosknegpi  46320  nthrucw  47339  ceilbi  47808  enege  48144  onego  48145  0nodd  48669  2zrngagrp  48748  zlmodzxzequap  48998  flsubz  49021  digvalnn0  49098  dig0  49105  dig2nn0  49110