Theorem znegcl 12597

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12560	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11452	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11506	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2789	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12569	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2842	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12561	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12579	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1428	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 506	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ℝcr 11109  0cc0 11110  -cneg 11445  ℕcn 12212  ℤcz 12558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-z 12559

This theorem is referenced by:  znegclb  12599  nn0negz  12600  zsubcl  12604  zeo  12648  zindd  12663  znegcld  12668  zriotaneg  12675  uzneg  12842  zmax  12929  rebtwnz  12931  qnegcl  12950  fzsubel  13537  fzosubel  13691  ceilid  13816  modcyc2  13872  expsub  14076  seqshft  15032  climshft  15520  negdvdsb  16216  dvdsnegb  16217  summodnegmod  16230  dvdssub  16247  odd2np1  16284  divalglem6  16341  bitscmp  16379  gcdneg  16463  neggcd  16464  gcdaddmlem  16465  gcdabsOLD  16473  lcmneg  16540  neglcm  16541  lcmabs  16542  mulgaddcomlem  18977  mulgneg2  18988  mulgsubdir  18994  cycsubgcl  19083  zaddablx  19740  cyggeninv  19751  zsubrg  20998  zringsub  21025  zringmulg  21026  zringinvg  21035  aaliou3lem9  25863  sinperlem  25990  wilthlem3  26574  basellem3  26587  basellem4  26588  basellem8  26592  basellem9  26593  lgsneg  26824  lgsdir2lem4  26831  lgsdir2lem5  26832  ex-fl  29731  ex-mod  29733  pell1234qrdich  41647  rmxyneg  41707  monotoddzzfi  41729  monotoddzz  41730  oddcomabszz  41731  jm2.24  41750  acongtr  41765  fzneg  41769  jm2.26a  41787  cosknegpi  44633  enege  46361  onego  46362  0nodd  46628  pzriprnglem4  46856  2zrngagrp  46889  zlmodzxzequap  47228  flsubz  47251  digvalnn0  47333  dig0  47340  dig2nn0  47345