Theorem znegcl 12624

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12588	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11444	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11499	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12597	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12589	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12607	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 513	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ℝcr 11094  0cc0 11095  -cneg 11437  ℕcn 12228  ℤcz 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-z 12587

This theorem is referenced by:  znegclb  12626  nn0negz  12627  zsubcl  12631  zeo  12677  zindd  12692  znegcld  12697  zriotaneg  12704  uzneg  12877  zmax  12964  rebtwnz  12966  qnegcl  12985  fzsubel  13584  fzosubel  13749  ceilid  13880  modcyc2  13936  expsub  14142  seqshft  15118  climshft  15623  negdvdsb  16325  dvdsnegb  16326  summodnegmod  16339  difmod0  16340  dvdssub  16357  odd2np1  16394  divalglem6  16451  bitscmp  16491  gcdneg  16575  neggcd  16576  gcdaddmlem  16577  lcmneg  16656  neglcm  16657  lcmabs  16658  mulgaddcomlem  19158  mulgneg2  19169  mulgsubdir  19175  cycsubgcl  19272  zaddablx  19937  cyggeninv  19948  zsubrg  21570  zringsub  21605  zringmulg  21606  zringinvg  21615  pzriprnglem4  21634  aaliou3lem9  26513  sinperlem  26645  wilthlem3  27234  basellem3  27247  basellem4  27248  basellem8  27252  basellem9  27253  lgsneg  27485  lgsdir2lem4  27492  lgsdir2lem5  27493  ex-fl  30798  ex-mod  30800  pell1234qrdich  43608  rmxyneg  43667  monotoddzzfi  43689  monotoddzz  43690  oddcomabszz  43691  jm2.24  43710  acongtr  43725  fzneg  43729  jm2.26a  43747  cosknegpi  46603  ceilbi  48094  enege  48430  onego  48431  0nodd  48955  2zrngagrp  49034  zlmodzxzequap  49299  flsubz  49322  digvalnn0  49399  dig0  49406  dig2nn0  49411