Theorem znegcl 12741

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12705	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11559	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11614	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12714	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12706	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12724	. . 3 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 514	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ℝcr 11209  0cc0 11210   -cneg 11552  ℕcn 12345  ℤcz 12703

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-ltxr 11358  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-z 12704

This theorem is used by:  znegclb  12743  nn0negz  12744  zsubcl  12748  zeo  12795  zindd  12810  znegcld  12815  zriotaneg  12822  uzneg  12995  zmax  13082  rebtwnz  13084  qnegcl  13104  fzsubel  13704  fzosubel  13869  ceilid  14001  modcyc2  14057  expsub  14263  seqshft  15250  climshft  15755  negdvdsb  16454  dvdsnegb  16455  summodnegmod  16468  difmod0  16469  dvdssub  16486  odd2np1  16523  divalglem6  16580  bitscmp  16620  gcdneg  16706  neggcd  16707  gcdaddmlem  16708  lcmneg  16790  neglcm  16791  lcmabs  16792  mulgaddcomlem  19319  mulgneg2  19330  mulgsubdir  19336  cycsubgcl  19433  zaddablx  20098  cyggeninv  20109  zsubrg  21738  zringsub  21773  zringmulg  21774  zringinvg  21783  pzriprnglem4  21802  aaliou3lem9  26689  sinperlem  26821  wilthlem3  27409  basellem3  27422  basellem4  27423  basellem8  27427  basellem9  27428  lgsneg  27660  lgsdir2lem4  27667  lgsdir2lem5  27668  ex-fl  31060  ex-mod  31062  pell1234qrdich  44008  rmxyneg  44067  monotoddzzfi  44089  monotoddzz  44090  oddcomabszz  44091  jm2.24  44110  acongtr  44125  fzneg  44129  jm2.26a  44147  cosknegpi  47018  ceilbi  48546  enege  48882  onego  48883  0nodd  49406  2zrngagrp  49485  zlmodzxzequap  49750  flsubz  49773  digvalnn0  49850  dig0  49857  dig2nn0  49862