Theorem znegcl 11764

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 11730	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 10614	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 10669	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	syl6eq 2830	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 11739	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	syl6eqel 2867	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 11731	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 11751	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1501	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 500	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1070   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ℝcr 10271  0cc0 10272  -cneg 10607  ℕcn 11374  ℤcz 11728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-z 11729

This theorem is referenced by:  znegclb  11766  nn0negz  11767  zsubcl  11771  zeo  11815  zindd  11830  znegcld  11836  zriotaneg  11843  uzneg  12011  zmax  12092  rebtwnz  12094  qnegcl  12113  fzsubel  12694  fzosubel  12846  ceilid  12969  modcyc2  13025  expsub  13226  seqshft  14232  climshft  14715  znnenlemOLD  15344  negdvdsb  15405  dvdsnegb  15406  summodnegmod  15419  dvdssub  15433  odd2np1  15469  divalglem6  15528  bitscmp  15566  gcdneg  15649  neggcd  15650  gcdaddmlem  15651  gcdabs  15656  lcmneg  15722  neglcm  15723  lcmabs  15724  mulgaddcomlem  17949  mulgneg2  17960  mulgsubdir  17966  cycsubgcl  18004  zaddablx  18661  cyggeninv  18671  zsubrg  20195  zringmulg  20222  zringinvg  20231  aaliou3lem9  24542  sinperlem  24670  wilthlem3  25248  basellem3  25261  basellem4  25262  basellem8  25266  basellem9  25267  lgsneg  25498  lgsdir2lem4  25505  lgsdir2lem5  25506  ex-fl  27879  ex-mod  27881  pell1234qrdich  38389  rmxyneg  38448  monotoddzzfi  38470  monotoddzz  38471  oddcomabszz  38472  jm2.24  38493  acongtr  38508  fzneg  38512  jm2.26a  38530  cosknegpi  41012  enege  42587  onego  42588  0nodd  42829  2zrngagrp  42962  zlmodzxzequap  43307  flsubz  43331  digvalnn0  43412  dig0  43419  dig2nn0  43424