Theorem znegcl 12629

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12593	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11449	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11504	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12602	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2877	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12594	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12612	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1452	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 513	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1100   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ℝcr 11099  0cc0 11100  -cneg 11442  ℕcn 12233  ℤcz 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-z 12592

This theorem is referenced by:  znegclb  12631  nn0negz  12632  zsubcl  12636  zeo  12682  zindd  12697  znegcld  12702  zriotaneg  12709  uzneg  12882  zmax  12969  rebtwnz  12971  qnegcl  12990  fzsubel  13588  fzosubel  13753  ceilid  13884  modcyc2  13940  expsub  14146  seqshft  15122  climshft  15627  negdvdsb  16330  dvdsnegb  16331  summodnegmod  16344  difmod0  16345  dvdssub  16362  odd2np1  16399  divalglem6  16456  bitscmp  16496  gcdneg  16580  neggcd  16581  gcdaddmlem  16582  lcmneg  16661  neglcm  16662  lcmabs  16663  mulgaddcomlem  19163  mulgneg2  19174  mulgsubdir  19180  cycsubgcl  19277  zaddablx  19942  cyggeninv  19953  zsubrg  21539  zringsub  21574  zringmulg  21575  zringinvg  21584  pzriprnglem4  21603  aaliou3lem9  26480  sinperlem  26611  wilthlem3  27200  basellem3  27213  basellem4  27214  basellem8  27218  basellem9  27219  lgsneg  27451  lgsdir2lem4  27458  lgsdir2lem5  27459  ex-fl  30739  ex-mod  30741  pell1234qrdich  43514  rmxyneg  43573  monotoddzzfi  43595  monotoddzz  43596  oddcomabszz  43597  jm2.24  43616  acongtr  43631  fzneg  43635  jm2.26a  43653  cosknegpi  46509  nthrucw  47528  ceilbi  47997  enege  48333  onego  48334  0nodd  48858  2zrngagrp  48937  zlmodzxzequap  49198  flsubz  49221  digvalnn0  49298  dig0  49305  dig2nn0  49310