Theorem znegcl 12562

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12526	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11385	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11440	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12535	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2844	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12527	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12545	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1431	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 504	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ℝcr 11037  0cc0 11038  -cneg 11378  ℕcn 12174  ℤcz 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-z 12525

This theorem is referenced by:  znegclb  12564  nn0negz  12565  zsubcl  12569  zeo  12615  zindd  12630  znegcld  12635  zriotaneg  12642  uzneg  12808  zmax  12895  rebtwnz  12897  qnegcl  12916  fzsubel  13514  fzosubel  13679  ceilid  13810  modcyc2  13866  expsub  14072  seqshft  15047  climshft  15538  negdvdsb  16241  dvdsnegb  16242  summodnegmod  16255  difmod0  16256  dvdssub  16273  odd2np1  16310  divalglem6  16367  bitscmp  16407  gcdneg  16491  neggcd  16492  gcdaddmlem  16493  lcmneg  16572  neglcm  16573  lcmabs  16574  mulgaddcomlem  19073  mulgneg2  19084  mulgsubdir  19090  cycsubgcl  19181  zaddablx  19847  cyggeninv  19858  zsubrg  21400  zringsub  21435  zringmulg  21436  zringinvg  21445  pzriprnglem4  21464  aaliou3lem9  26316  sinperlem  26444  wilthlem3  27033  basellem3  27046  basellem4  27047  basellem8  27051  basellem9  27052  lgsneg  27284  lgsdir2lem4  27291  lgsdir2lem5  27292  ex-fl  30517  ex-mod  30519  pell1234qrdich  43289  rmxyneg  43348  monotoddzzfi  43370  monotoddzz  43371  oddcomabszz  43372  jm2.24  43391  acongtr  43406  fzneg  43410  jm2.26a  43428  cosknegpi  46297  nthrucw  47316  ceilbi  47785  enege  48121  onego  48122  0nodd  48646  2zrngagrp  48725  zlmodzxzequap  48975  flsubz  48998  digvalnn0  49075  dig0  49082  dig2nn0  49087