MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znegcl 12496
Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
znegcl (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl
StepHypRef Expression
1 elz 12459 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 negeq 11351 . . . . 5 (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3 neg0 11405 . . . . 5 -0 = 0
42, 3eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5 0z 12468 . . . 4 0 ∈ ℤ
64, 5eqeltrdi 2846 . . 3 (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7 nnnegz 12460 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8 nnz 12478 . . 3 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
96, 7, 83jaoi 1427 . 2 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
101, 9simplbiim 505 1 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1086   = wceq 1541  wcel 2106  cr 11008  0cc0 11009  -cneg 11344  cn 12111  cz 12457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-ltxr 11152  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-z 12458
This theorem is referenced by:  znegclb  12498  nn0negz  12499  zsubcl  12503  zeo  12547  zindd  12562  znegcld  12567  zriotaneg  12574  uzneg  12741  zmax  12824  rebtwnz  12826  qnegcl  12845  fzsubel  13431  fzosubel  13585  ceilid  13710  modcyc2  13766  expsub  13970  seqshft  14930  climshft  15418  negdvdsb  16115  dvdsnegb  16116  summodnegmod  16129  dvdssub  16146  odd2np1  16183  divalglem6  16240  bitscmp  16278  gcdneg  16362  neggcd  16363  gcdaddmlem  16364  gcdabsOLD  16372  lcmneg  16439  neglcm  16440  lcmabs  16441  mulgaddcomlem  18858  mulgneg2  18869  mulgsubdir  18875  cycsubgcl  18958  zaddablx  19609  cyggeninv  19619  zsubrg  20803  zringmulg  20830  zringinvg  20839  aaliou3lem9  25662  sinperlem  25789  wilthlem3  26371  basellem3  26384  basellem4  26385  basellem8  26389  basellem9  26390  lgsneg  26621  lgsdir2lem4  26628  lgsdir2lem5  26629  ex-fl  29220  ex-mod  29222  pell1234qrdich  41093  rmxyneg  41153  monotoddzzfi  41175  monotoddzz  41176  oddcomabszz  41177  jm2.24  41196  acongtr  41211  fzneg  41215  jm2.26a  41233  cosknegpi  44011  enege  45738  onego  45739  0nodd  46005  2zrngagrp  46142  zlmodzxzequap  46481  flsubz  46504  digvalnn0  46586  dig0  46593  dig2nn0  46598
  Copyright terms: Public domain W3C validator