Theorem znegcl 12510

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12473	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11355	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11410	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12482	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2836	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12474	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12492	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1430	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 504	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ℝcr 11008  0cc0 11009  -cneg 11348  ℕcn 12128  ℤcz 12471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-z 12472

This theorem is referenced by:  znegclb  12512  nn0negz  12513  zsubcl  12517  zeo  12562  zindd  12577  znegcld  12582  zriotaneg  12589  uzneg  12755  zmax  12846  rebtwnz  12848  qnegcl  12867  fzsubel  13463  fzosubel  13627  ceilid  13755  modcyc2  13811  expsub  14017  seqshft  14992  climshft  15483  negdvdsb  16183  dvdsnegb  16184  summodnegmod  16197  difmod0  16198  dvdssub  16215  odd2np1  16252  divalglem6  16309  bitscmp  16349  gcdneg  16433  neggcd  16434  gcdaddmlem  16435  lcmneg  16514  neglcm  16515  lcmabs  16516  mulgaddcomlem  18976  mulgneg2  18987  mulgsubdir  18993  cycsubgcl  19085  zaddablx  19751  cyggeninv  19762  zsubrg  21327  zringsub  21362  zringmulg  21363  zringinvg  21372  pzriprnglem4  21391  aaliou3lem9  26256  sinperlem  26387  wilthlem3  26978  basellem3  26991  basellem4  26992  basellem8  26996  basellem9  26997  lgsneg  27230  lgsdir2lem4  27237  lgsdir2lem5  27238  ex-fl  30391  ex-mod  30393  pell1234qrdich  42844  rmxyneg  42903  monotoddzzfi  42925  monotoddzz  42926  oddcomabszz  42927  jm2.24  42946  acongtr  42961  fzneg  42965  jm2.26a  42983  cosknegpi  45860  ceilbi  47327  enege  47639  onego  47640  0nodd  48164  2zrngagrp  48243  zlmodzxzequap  48494  flsubz  48517  digvalnn0  48594  dig0  48601  dig2nn0  48606