Theorem znegcl 12507

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12470	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11352	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11407	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12479	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2839	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12471	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12489	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1430	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 504	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ℝcr 11005  0cc0 11006  -cneg 11345  ℕcn 12125  ℤcz 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-z 12469

This theorem is referenced by:  znegclb  12509  nn0negz  12510  zsubcl  12514  zeo  12559  zindd  12574  znegcld  12579  zriotaneg  12586  uzneg  12752  zmax  12843  rebtwnz  12845  qnegcl  12864  fzsubel  13460  fzosubel  13624  ceilid  13755  modcyc2  13811  expsub  14017  seqshft  14992  climshft  15483  negdvdsb  16183  dvdsnegb  16184  summodnegmod  16197  difmod0  16198  dvdssub  16215  odd2np1  16252  divalglem6  16309  bitscmp  16349  gcdneg  16433  neggcd  16434  gcdaddmlem  16435  lcmneg  16514  neglcm  16515  lcmabs  16516  mulgaddcomlem  19010  mulgneg2  19021  mulgsubdir  19027  cycsubgcl  19118  zaddablx  19784  cyggeninv  19795  zsubrg  21357  zringsub  21392  zringmulg  21393  zringinvg  21402  pzriprnglem4  21421  aaliou3lem9  26285  sinperlem  26416  wilthlem3  27007  basellem3  27020  basellem4  27021  basellem8  27025  basellem9  27026  lgsneg  27259  lgsdir2lem4  27266  lgsdir2lem5  27267  ex-fl  30427  ex-mod  30429  pell1234qrdich  42964  rmxyneg  43023  monotoddzzfi  43045  monotoddzz  43046  oddcomabszz  43047  jm2.24  43066  acongtr  43081  fzneg  43085  jm2.26a  43103  cosknegpi  45977  nthrucw  46994  ceilbi  47443  enege  47755  onego  47756  0nodd  48280  2zrngagrp  48359  zlmodzxzequap  48610  flsubz  48633  digvalnn0  48710  dig0  48717  dig2nn0  48722