Theorem znegcl 12544

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12507	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11389	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11444	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12516	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2836	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12508	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12526	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1430	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 504	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ℝcr 11043  0cc0 11044  -cneg 11382  ℕcn 12162  ℤcz 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-z 12506

This theorem is referenced by:  znegclb  12546  nn0negz  12547  zsubcl  12551  zeo  12596  zindd  12611  znegcld  12616  zriotaneg  12623  uzneg  12789  zmax  12880  rebtwnz  12882  qnegcl  12901  fzsubel  13497  fzosubel  13661  ceilid  13789  modcyc2  13845  expsub  14051  seqshft  15027  climshft  15518  negdvdsb  16218  dvdsnegb  16219  summodnegmod  16232  difmod0  16233  dvdssub  16250  odd2np1  16287  divalglem6  16344  bitscmp  16384  gcdneg  16468  neggcd  16469  gcdaddmlem  16470  lcmneg  16549  neglcm  16550  lcmabs  16551  mulgaddcomlem  19011  mulgneg2  19022  mulgsubdir  19028  cycsubgcl  19120  zaddablx  19786  cyggeninv  19797  zsubrg  21362  zringsub  21397  zringmulg  21398  zringinvg  21407  pzriprnglem4  21426  aaliou3lem9  26291  sinperlem  26422  wilthlem3  27013  basellem3  27026  basellem4  27027  basellem8  27031  basellem9  27032  lgsneg  27265  lgsdir2lem4  27272  lgsdir2lem5  27273  ex-fl  30426  ex-mod  30428  pell1234qrdich  42842  rmxyneg  42902  monotoddzzfi  42924  monotoddzz  42925  oddcomabszz  42926  jm2.24  42945  acongtr  42960  fzneg  42964  jm2.26a  42982  cosknegpi  45860  ceilbi  47327  enege  47639  onego  47640  0nodd  48151  2zrngagrp  48230  zlmodzxzequap  48481  flsubz  48504  digvalnn0  48581  dig0  48588  dig2nn0  48593