Theorem znegcl 12364

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12330	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11222	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11276	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12339	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2848	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12331	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12351	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1426	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 505	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ℝcr 10879  0cc0 10880  -cneg 11215  ℕcn 11982  ℤcz 12328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-z 12329

This theorem is referenced by:  znegclb  12366  nn0negz  12367  zsubcl  12371  zeo  12415  zindd  12430  znegcld  12437  zriotaneg  12444  uzneg  12611  zmax  12694  rebtwnz  12696  qnegcl  12715  fzsubel  13301  fzosubel  13455  ceilid  13580  modcyc2  13636  expsub  13840  seqshft  14805  climshft  15294  negdvdsb  15991  dvdsnegb  15992  summodnegmod  16005  dvdssub  16022  odd2np1  16059  divalglem6  16116  bitscmp  16154  gcdneg  16238  neggcd  16239  gcdaddmlem  16240  gcdabsOLD  16248  lcmneg  16317  neglcm  16318  lcmabs  16319  mulgaddcomlem  18735  mulgneg2  18746  mulgsubdir  18752  cycsubgcl  18834  zaddablx  19482  cyggeninv  19492  zsubrg  20660  zringmulg  20687  zringinvg  20696  aaliou3lem9  25519  sinperlem  25646  wilthlem3  26228  basellem3  26241  basellem4  26242  basellem8  26246  basellem9  26247  lgsneg  26478  lgsdir2lem4  26485  lgsdir2lem5  26486  ex-fl  28820  ex-mod  28822  pell1234qrdich  40690  rmxyneg  40749  monotoddzzfi  40771  monotoddzz  40772  oddcomabszz  40773  jm2.24  40792  acongtr  40807  fzneg  40811  jm2.26a  40829  cosknegpi  43417  enege  45108  onego  45109  0nodd  45375  2zrngagrp  45512  zlmodzxzequap  45851  flsubz  45874  digvalnn0  45956  dig0  45963  dig2nn0  45968