Theorem znegcl 12650

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12613	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11498	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11553	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12622	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2847	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12614	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12632	. . 3 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1427	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 504	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ℝcr 11152  0cc0 11153  -cneg 11491  ℕcn 12264  ℤcz 12611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-z 12612

This theorem is referenced by:  znegclb  12652  nn0negz  12653  zsubcl  12657  zeo  12702  zindd  12717  znegcld  12722  zriotaneg  12729  uzneg  12896  zmax  12985  rebtwnz  12987  qnegcl  13006  fzsubel  13597  fzosubel  13760  ceilid  13888  modcyc2  13944  expsub  14148  seqshft  15121  climshft  15609  negdvdsb  16307  dvdsnegb  16308  summodnegmod  16321  dvdssub  16338  odd2np1  16375  divalglem6  16432  bitscmp  16472  gcdneg  16556  neggcd  16557  gcdaddmlem  16558  lcmneg  16637  neglcm  16638  lcmabs  16639  mulgaddcomlem  19128  mulgneg2  19139  mulgsubdir  19145  cycsubgcl  19237  zaddablx  19905  cyggeninv  19916  zsubrg  21456  zringsub  21484  zringmulg  21485  zringinvg  21494  pzriprnglem4  21513  aaliou3lem9  26407  sinperlem  26537  wilthlem3  27128  basellem3  27141  basellem4  27142  basellem8  27146  basellem9  27147  lgsneg  27380  lgsdir2lem4  27387  lgsdir2lem5  27388  ex-fl  30476  ex-mod  30478  pell1234qrdich  42849  rmxyneg  42909  monotoddzzfi  42931  monotoddzz  42932  oddcomabszz  42933  jm2.24  42952  acongtr  42967  fzneg  42971  jm2.26a  42989  cosknegpi  45825  enege  47570  onego  47571  0nodd  48014  2zrngagrp  48093  zlmodzxzequap  48345  flsubz  48368  digvalnn0  48449  dig0  48456  dig2nn0  48461