Theorem znegcl 12731

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
znegcl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12695	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		negeq 11549	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = -0)
3		neg0 11604	. . . . 5 ⊢ -0 = 0
4	2, 3	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 = 0)
5		0z 12704	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2868	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → -𝑁 ∈ ℤ)
7		nnnegz 12696	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
8		nnz 12714	. . 3 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
10	1, 9	simplbiim 514	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ℝcr 11199  0cc0 11200   -cneg 11542  ℕcn 12335  ℤcz 12693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3914  df-pss 4034  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-z 12694

This theorem is used by:  znegclb  12733  nn0negz  12734  zsubcl  12738  zeo  12785  zindd  12800  znegcld  12805  zriotaneg  12812  uzneg  12985  zmax  13072  rebtwnz  13074  qnegcl  13094  fzsubel  13694  fzosubel  13859  ceilid  13991  modcyc2  14047  expsub  14253  seqshft  15238  climshft  15743  negdvdsb  16442  dvdsnegb  16443  summodnegmod  16456  difmod0  16457  dvdssub  16474  odd2np1  16511  divalglem6  16568  bitscmp  16608  gcdneg  16694  neggcd  16695  gcdaddmlem  16696  lcmneg  16778  neglcm  16779  lcmabs  16780  mulgaddcomlem  19307  mulgneg2  19318  mulgsubdir  19324  cycsubgcl  19421  zaddablx  20086  cyggeninv  20097  zsubrg  21726  zringsub  21761  zringmulg  21762  zringinvg  21771  pzriprnglem4  21790  aaliou3lem9  26677  sinperlem  26809  wilthlem3  27397  basellem3  27410  basellem4  27411  basellem8  27415  basellem9  27416  lgsneg  27648  lgsdir2lem4  27655  lgsdir2lem5  27656  ex-fl  31048  ex-mod  31050  pell1234qrdich  43868  rmxyneg  43927  monotoddzzfi  43949  monotoddzz  43950  oddcomabszz  43951  jm2.24  43970  acongtr  43985  fzneg  43989  jm2.26a  44007  cosknegpi  46879  ceilbi  48407  enege  48743  onego  48744  0nodd  49267  2zrngagrp  49346  zlmodzxzequap  49611  flsubz  49634  digvalnn0  49711  dig0  49718  dig2nn0  49723