Theorem exp11d 42361

Description: exp11nnd 14300 for nonzero integer exponents. (Contributed by SN, 14-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
exp11d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
exp11d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
exp11d.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
exp11d.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
exp11d.5	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
exp11d	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem exp11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2		exp11d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
4	1, 3	pm2.21ddne 3026	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 = 𝐵)
5		exp11d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		exp11d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
10		exp11d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
12	6, 8, 9, 11	exp11nnd 14300	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = 𝐵)
13	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
14	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
15		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ)
16	13	rpcnd 13079	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	15	nnnn0d 12587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ0)
18	16, 17	expcld 14186	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
19	14	rpcnd 13079	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19, 17	expcld 14186	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ)
21	13	rpne0d 13082	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
22	15	nnzd 12640	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
23	16, 21, 22	expne0d 14192	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
24	14	rpne0d 13082	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
25	19, 24, 22	expne0d 14192	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)
26	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
27		exp11d.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12723	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
30		expneg2 14111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
31	16, 29, 17, 30	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
32		expneg2 14111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
33	19, 29, 17, 32	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
34	26, 31, 33	3eqtr3d 2785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝐴↑-𝑁)) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
35	18, 20, 23, 25, 34	rec11d 12064	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = (𝐵↑-𝑁))
36	13, 14, 15, 35	exp11nnd 14300	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = 𝐵)
37		elz 12615	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
38	27, 37	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
39	38	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
40	4, 12, 36, 39	mpjao3dan 1434	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  -cneg 11493   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by: (None)