Theorem exp11d 43119

Description: exp11nnd 14308 for nonzero integer exponents. (Contributed by SN, 14-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
exp11d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
exp11d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
exp11d.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
exp11d.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
exp11d.5	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
exp11d	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem exp11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2		exp11d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
4	1, 3	pm2.21ddne 3045	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 = 𝐵)
5		exp11d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		exp11d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
10		exp11d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
12	6, 8, 9, 11	exp11nnd 14308	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = 𝐵)
13	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
14	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
15		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ)
16	13	rpcnd 13072	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	15	nnnn0d 12575	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ0)
18	16, 17	expcld 14193	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
19	14	rpcnd 13072	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19, 17	expcld 14193	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ)
21	13	rpne0d 13075	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
22	15	nnzd 12627	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
23	16, 21, 22	expne0d 14199	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
24	14	rpne0d 13075	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
25	19, 24, 22	expne0d 14199	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)
26	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
27		exp11d.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
30		expneg2 14117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
31	16, 29, 17, 30	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
32		expneg2 14117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
33	19, 29, 17, 32	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
34	26, 31, 33	3eqtr3d 2809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝐴↑-𝑁)) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
35	18, 20, 23, 25, 34	rec11d 12022	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = (𝐵↑-𝑁))
36	13, 14, 15, 35	exp11nnd 14308	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = 𝐵)
37		elz 12603	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
38	27, 37	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
39	38	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
40	4, 12, 36, 39	mpjao3dan 1459	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7416  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  -cneg 11452   / cdiv 11881  ℕcn 12243  ℕ₀cn0 12514  ℤcz 12601  ℝ⁺crp 13026  ↑cexp 14108

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-rp 13027  df-seq 14049  df-exp 14109

This theorem is used by: (None)