Theorem exp11d 42340

Description: exp11nnd 14297 for nonzero integer exponents. (Contributed by SN, 14-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
exp11d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
exp11d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
exp11d.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
exp11d.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
exp11d.5	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
exp11d	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem exp11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2		exp11d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
4	1, 3	pm2.21ddne 3024	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 = 𝐵)
5		exp11d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		exp11d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
10		exp11d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
12	6, 8, 9, 11	exp11nnd 14297	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = 𝐵)
13	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
14	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
15		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ)
16	13	rpcnd 13077	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	15	nnnn0d 12585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ0)
18	16, 17	expcld 14183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
19	14	rpcnd 13077	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19, 17	expcld 14183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ)
21	13	rpne0d 13080	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
22	15	nnzd 12638	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
23	16, 21, 22	expne0d 14189	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
24	14	rpne0d 13080	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
25	19, 24, 22	expne0d 14189	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)
26	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
27		exp11d.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12721	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
30		expneg2 14108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
31	16, 29, 17, 30	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
32		expneg2 14108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
33	19, 29, 17, 32	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
34	26, 31, 33	3eqtr3d 2783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝐴↑-𝑁)) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
35	18, 20, 23, 25, 34	rec11d 12062	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = (𝐵↑-𝑁))
36	13, 14, 15, 35	exp11nnd 14297	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = 𝐵)
37		elz 12613	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
38	27, 37	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
39	38	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
40	4, 12, 36, 39	mpjao3dan 1431	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  -cneg 11491   / cdiv 11918  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℝ⁺crp 13032  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by: (None)