Theorem exp11d 43065

Description: exp11nnd 14299 for nonzero integer exponents. (Contributed by SN, 14-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
exp11d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
exp11d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
exp11d.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
exp11d.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
exp11d.5	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
exp11d	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem exp11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2		exp11d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
3	2	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
4	1, 3	pm2.21ddne 3042	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 = 𝐵)
5		exp11d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
6	5	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		exp11d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
10		exp11d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
11	10	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
12	6, 8, 9, 11	exp11nnd 14299	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = 𝐵)
13	5	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
14	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
15		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ)
16	13	rpcnd 13063	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	15	nnnn0d 12566	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ0)
18	16, 17	expcld 14184	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
19	14	rpcnd 13063	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19, 17	expcld 14184	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ)
21	13	rpne0d 13066	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
22	15	nnzd 12618	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
23	16, 21, 22	expne0d 14190	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
24	14	rpne0d 13066	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
25	19, 24, 22	expne0d 14190	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)
26	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
27		exp11d.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12702	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
29	28	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
30		expneg2 14108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
31	16, 29, 17, 30	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
32		expneg2 14108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
33	19, 29, 17, 32	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
34	26, 31, 33	3eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝐴↑-𝑁)) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
35	18, 20, 23, 25, 34	rec11d 12013	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = (𝐵↑-𝑁))
36	13, 14, 15, 35	exp11nnd 14299	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = 𝐵)
37		elz 12594	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
38	27, 37	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
39	38	simprd 500	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
40	4, 12, 36, 39	mpjao3dan 1459	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102  -cneg 11443   / cdiv 11872  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ℝ⁺crp 13017  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by: (None)