Theorem exp11d 40246

Description: exp11nnd 40245 for nonzero integer exponents. (Contributed by SN, 14-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
exp11d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
exp11d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
exp11d.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
exp11d.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
exp11d.5	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
exp11d	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem exp11d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2		exp11d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 0)
4	1, 3	pm2.21ddne 3028	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 = 𝐵)
5		exp11d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		exp11d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
10		exp11d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
12	6, 8, 9, 11	exp11nnd 40245	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = 𝐵)
13	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
14	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
15		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ)
16	13	rpcnd 12703	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	15	nnnn0d 12223	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℕ0)
18	16, 17	expcld 13792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) ∈ ℂ)
19	14	rpcnd 12703	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19, 17	expcld 13792	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑-𝑁) ∈ ℂ)
21	13	rpne0d 12706	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
22	15	nnzd 12354	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → -𝑁 ∈ ℤ)
23	16, 21, 22	expne0d 13798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) ≠ 0)
24	14	rpne0d 12706	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
25	19, 24, 22	expne0d 13798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑-𝑁) ≠ 0)
26	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (𝐵↑𝑁))
27		exp11d.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
30		expneg2 13719	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
31	16, 29, 17, 30	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) = (1 / (𝐴↑-𝑁)))
32		expneg2 13719	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
33	19, 29, 17, 32	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
34	26, 31, 33	3eqtr3d 2786	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝐴↑-𝑁)) = (1 / (𝐵↑-𝑁)))
35	18, 20, 23, 25, 34	rec11d 11702	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑-𝑁) = (𝐵↑-𝑁))
36	13, 14, 15, 35	exp11nnd 40245	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = 𝐵)
37		elz 12251	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
38	27, 37	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
39	38	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
40	4, 12, 36, 39	mpjao3dan 1429	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1084   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by: (None)