Theorem elznn 12634

Description: Integer property expressed in terms of positive integers and nonnegative integers. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elznn	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))

Proof of Theorem elznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12620	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		3orrot 1108	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3		3orass 1106	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
4	2, 3	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
5		elnn0 12533	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 = 0))
6		recn 11217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	negeq0d 11588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
8	7	orbi2d 929	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 = 0)))
9	5, 8	bitr4id 293	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
10	9	orbi2d 929	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
11	4, 10	bitr4id 293	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
12	11	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
13	1, 12	bitri 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ℝcr 11126  0cc0 11127  -cneg 11469  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-neg 11471  df-n0 12532  df-z 12619

This theorem is used by:  zle0orge1  12635  znnn0nn  12735  zzlesq  14273  expnngt1  14308  bitsf1  16539  eldmgm  27261  monotoddzzfi  43786