Theorem zeo 12592

Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zeo	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12504	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		oveq1 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) = (0 / 2))
3		2cn 12234	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2ne0 12263	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
5	3, 4	div0i 11889	. . . . . . . 8 ⊢ (0 / 2) = 0
6		0z 12513	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
7	5, 6	eqeltri 2833	. . . . . . 7 ⊢ (0 / 2) ∈ ℤ
8	2, 7	eqeltrdi 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
9	8	pm2.24d 151	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 = 0) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
11		nnz 12523	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
12	11	con3i 154	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
13		nneo 12590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
14	13	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
15	14	con1d 145	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
16		nnz 12523	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
17	12, 15, 16	syl56 36	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
19		recn 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
20		divneg 11847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
21	3, 4, 20	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
23	22	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-(𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
24		nnnegz 12505	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(𝑁 / 2) ∈ ℕ → --(𝑁 / 2) ∈ ℤ)
25	23, 24	biimtrrdi 254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → --(𝑁 / 2) ∈ ℤ))
26	19	halfcld 12400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
27	26	negnegd 11497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → --(𝑁 / 2) = (𝑁 / 2))
28	27	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (--(𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
29	25, 28	sylibd 239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
31	30	con3d 152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ¬ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
32		nneo 12590	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
33	32	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
34	33	con1d 145	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → (¬ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
35		nnz 12523	. . . . . . 7 ⊢ (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
36		peano2zm 12548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
37		ax-1cn 11098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
38	37, 3	negsubdi2i 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -(1 − 2) = (2 − 1)
39		2m1e1 12280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 − 1) = 1
40	38, 39	eqtr2i 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = -(1 − 2)
41	37, 3	subcli 11471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 − 2) ∈ ℂ
42	37, 41	negcon2i 11478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = -(1 − 2) ↔ (1 − 2) = -1)
43	40, 42	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 2) = -1
44	43	oveq2i 7381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑁 + (1 − 2)) = (-𝑁 + -1)
45		negcl 11394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 ∈ ℂ)
46		addsubass 11404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
47	37, 3, 46	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
48	45, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
49		negdi 11452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
50	37, 49	mpan2 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
51	44, 48, 50	3eqtr4a 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = -(𝑁 + 1))
52	51	oveq1d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
53		2div2e1 12295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 / 2) = 1
54	53	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (2 / 2)
55	54	oveq2i 7381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2))
56		peano2cn 11319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑁 ∈ ℂ → (-𝑁 + 1) ∈ ℂ)
57	45, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (-𝑁 + 1) ∈ ℂ)
58		2cnne0 12364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59		divsubdir 11849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((-𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
60	3, 58, 59	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-𝑁 + 1) ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
61	57, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
62	55, 61	eqtr4id 2791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = (((-𝑁 + 1) − 2) / 2))
63		peano2cn 11319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
64		divneg 11847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
65	3, 4, 64	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
67	52, 62, 66	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
68	19, 67	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
69	68	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((-𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
70	36, 69	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
71		znegcl 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ (-((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → --((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
72	70, 71	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → --((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
73		peano2re 11320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
75	74	halfcld 12400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ)
76	75	negnegd 11497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → --((𝑁 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
77	76	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (--((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
78	72, 77	sylibd 239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
79	35, 78	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
80	34, 79	sylan9r 508	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
81	31, 80	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
82	10, 18, 81	3jaodan 1434	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
83	1, 82	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
84	83	orrd 864	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   − cmin 11378  -cneg 11379   / cdiv 11808  ℕcn 12159  2c2 12214  ℤcz 12502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503

This theorem is referenced by:  zeo2  12593  iseralt  15622  mod2eq1n2dvds  16288  mulsucdiv2z  16294  abssinper  26503  atantayl2  26921  basellem3  27066  chtub  27196  lgseisenlem1  27359  sumnnodd  46019  zeoALTV  48059  nn0eo  48917