Theorem zeo 12336

Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zeo	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12251	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) = (0 / 2))
3		2cn 11978	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2ne0 12007	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
5	3, 4	div0i 11639	. . . . . . . 8 ⊢ (0 / 2) = 0
6		0z 12260	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
7	5, 6	eqeltri 2835	. . . . . . 7 ⊢ (0 / 2) ∈ ℤ
8	2, 7	eqeltrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
9	8	pm2.24d 151	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 = 0) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
11		nnz 12272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
12	11	con3i 154	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
13		nneo 12334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
14	13	biimprd 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
15	14	con1d 145	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
16		nnz 12272	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
17	12, 15, 16	syl56 36	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
19		recn 10892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
20		divneg 11597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
21	3, 4, 20	mp3an23 1451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
23	22	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-(𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
24		nnnegz 12252	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(𝑁 / 2) ∈ ℕ → --(𝑁 / 2) ∈ ℤ)
25	23, 24	syl6bir 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → --(𝑁 / 2) ∈ ℤ))
26	19	halfcld 12148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
27	26	negnegd 11253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → --(𝑁 / 2) = (𝑁 / 2))
28	27	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (--(𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
29	25, 28	sylibd 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
31	30	con3d 152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ¬ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
32		nneo 12334	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
33	32	biimprd 247	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
34	33	con1d 145	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → (¬ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
35		nnz 12272	. . . . . . 7 ⊢ (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
36		peano2zm 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
37		ax-1cn 10860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
38	37, 3	negsubdi2i 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -(1 − 2) = (2 − 1)
39		2m1e1 12029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 − 1) = 1
40	38, 39	eqtr2i 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = -(1 − 2)
41	37, 3	subcli 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 − 2) ∈ ℂ
42	37, 41	negcon2i 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = -(1 − 2) ↔ (1 − 2) = -1)
43	40, 42	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 2) = -1
44	43	oveq2i 7266	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑁 + (1 − 2)) = (-𝑁 + -1)
45		negcl 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 ∈ ℂ)
46		addsubass 11161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
47	37, 3, 46	mp3an23 1451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
48	45, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
49		negdi 11208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
50	37, 49	mpan2 687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
51	44, 48, 50	3eqtr4a 2805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = -(𝑁 + 1))
52	51	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
53		2div2e1 12044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 / 2) = 1
54	53	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (2 / 2)
55	54	oveq2i 7266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2))
56		peano2cn 11077	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑁 ∈ ℂ → (-𝑁 + 1) ∈ ℂ)
57	45, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (-𝑁 + 1) ∈ ℂ)
58		2cnne0 12113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59		divsubdir 11599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((-𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
60	3, 58, 59	mp3an23 1451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-𝑁 + 1) ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
61	57, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
62	55, 61	eqtr4id 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = (((-𝑁 + 1) − 2) / 2))
63		peano2cn 11077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
64		divneg 11597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
65	3, 4, 64	mp3an23 1451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
67	52, 62, 66	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
68	19, 67	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
69	68	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((-𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
70	36, 69	syl5ib 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
71		znegcl 12285	. . . . . . . . 9 ⊢ (-((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → --((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
72	70, 71	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → --((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
73		peano2re 11078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
74	73	recnd 10934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
75	74	halfcld 12148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ)
76	75	negnegd 11253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → --((𝑁 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
77	76	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (--((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
78	72, 77	sylibd 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
79	35, 78	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
80	34, 79	sylan9r 508	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
81	31, 80	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
82	10, 18, 81	3jaodan 1428	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
83	1, 82	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
84	83	orrd 859	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∨ w3o 1084   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250

This theorem is referenced by:  zeo2  12337  iseralt  15324  mod2eq1n2dvds  15984  mulsucdiv2z  15990  abssinper  25582  atantayl2  25993  basellem3  26137  chtub  26265  lgseisenlem1  26428  sumnnodd  43061  zeoALTV  45010  nn0eo  45762