Theorem zeo 12056

Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zeo	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 11971	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		oveq1 7142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) = (0 / 2))
3		2cn 11700	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2ne0 11729	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
5	3, 4	div0i 11363	. . . . . . . 8 ⊢ (0 / 2) = 0
6		0z 11980	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
7	5, 6	eqeltri 2886	. . . . . . 7 ⊢ (0 / 2) ∈ ℤ
8	2, 7	eqeltrdi 2898	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
9	8	pm2.24d 154	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
10	9	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 = 0) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
11		nnz 11992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
12	11	con3i 157	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
13		nneo 12054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
14	13	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
15	14	con1d 147	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
16		nnz 11992	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
17	12, 15, 16	syl56 36	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
18	17	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
19		recn 10616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
20		divneg 11321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
21	3, 4, 20	mp3an23 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
23	22	eleq1d 2874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-(𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
24		nnnegz 11972	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(𝑁 / 2) ∈ ℕ → --(𝑁 / 2) ∈ ℤ)
25	23, 24	syl6bir 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → --(𝑁 / 2) ∈ ℤ))
26	19	halfcld 11870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
27	26	negnegd 10977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → --(𝑁 / 2) = (𝑁 / 2))
28	27	eleq1d 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (--(𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
29	25, 28	sylibd 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
30	29	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
31	30	con3d 155	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ¬ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
32		nneo 12054	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
33	32	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
34	33	con1d 147	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → (¬ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
35		nnz 11992	. . . . . . 7 ⊢ (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
36		peano2zm 12013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
37		ax-1cn 10584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
38	37, 3	negsubdi2i 10961	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -(1 − 2) = (2 − 1)
39		2m1e1 11751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 − 1) = 1
40	38, 39	eqtr2i 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = -(1 − 2)
41	37, 3	subcli 10951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 − 2) ∈ ℂ
42	37, 41	negcon2i 10958	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = -(1 − 2) ↔ (1 − 2) = -1)
43	40, 42	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 2) = -1
44	43	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑁 + (1 − 2)) = (-𝑁 + -1)
45		negcl 10875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 ∈ ℂ)
46		addsubass 10885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
47	37, 3, 46	mp3an23 1450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
48	45, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
49		negdi 10932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
50	37, 49	mpan2 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
51	44, 48, 50	3eqtr4a 2859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = -(𝑁 + 1))
52	51	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
53		2div2e1 11766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 / 2) = 1
54	53	eqcomi 2807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (2 / 2)
55	54	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2))
56		peano2cn 10801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑁 ∈ ℂ → (-𝑁 + 1) ∈ ℂ)
57	45, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (-𝑁 + 1) ∈ ℂ)
58		2cnne0 11835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59		divsubdir 11323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((-𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
60	3, 58, 59	mp3an23 1450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-𝑁 + 1) ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
61	57, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
62	55, 61	eqtr4id 2852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = (((-𝑁 + 1) − 2) / 2))
63		peano2cn 10801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
64		divneg 11321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
65	3, 4, 64	mp3an23 1450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
67	52, 62, 66	3eqtr4d 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
68	19, 67	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
69	68	eleq1d 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((-𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
70	36, 69	syl5ib 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
71		znegcl 12005	. . . . . . . . 9 ⊢ (-((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → --((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
72	70, 71	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → --((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
73		peano2re 10802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
74	73	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
75	74	halfcld 11870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ)
76	75	negnegd 10977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → --((𝑁 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
77	76	eleq1d 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (--((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
78	72, 77	sylibd 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
79	35, 78	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
80	34, 79	sylan9r 512	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
81	31, 80	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
82	10, 18, 81	3jaodan 1427	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
83	1, 82	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
84	83	orrd 860	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   − cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  ℤcz 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970

This theorem is referenced by:  zeo2  12057  iseralt  15033  mod2eq1n2dvds  15688  mulsucdiv2z  15694  abssinper  25113  atantayl2  25524  basellem3  25668  chtub  25796  lgseisenlem1  25959  sumnnodd  42272  zeoALTV  44188  nn0eo  44942