Theorem zeo 12677

Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zeo	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12588	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		oveq1 7410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) = (0 / 2))
3		2cn 12313	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2ne0 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
5	3, 4	div0i 11973	. . . . . . . 8 ⊢ (0 / 2) = 0
6		0z 12597	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
7	5, 6	eqeltri 2830	. . . . . . 7 ⊢ (0 / 2) ∈ ℤ
8	2, 7	eqeltrdi 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
9	8	pm2.24d 151	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 = 0) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
11		nnz 12607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
12	11	con3i 154	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
13		nneo 12675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
14	13	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
15	14	con1d 145	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
16		nnz 12607	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
17	12, 15, 16	syl56 36	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
19		recn 11217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
20		divneg 11931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
21	3, 4, 20	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → -(𝑁 / 2) = (-𝑁 / 2))
23	22	eleq1d 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-(𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
24		nnnegz 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(𝑁 / 2) ∈ ℕ → --(𝑁 / 2) ∈ ℤ)
25	23, 24	biimtrrdi 254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → --(𝑁 / 2) ∈ ℤ))
26	19	halfcld 12484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
27	26	negnegd 11583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → --(𝑁 / 2) = (𝑁 / 2))
28	27	eleq1d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (--(𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
29	25, 28	sylibd 239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
31	30	con3d 152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ¬ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
32		nneo 12675	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → ((-𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
33	32	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (-𝑁 / 2) ∈ ℕ))
34	33	con1d 145	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → (¬ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
35		nnz 12607	. . . . . . 7 ⊢ (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
36		peano2zm 12633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
37		ax-1cn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
38	37, 3	negsubdi2i 11567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -(1 − 2) = (2 − 1)
39		2m1e1 12364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 − 1) = 1
40	38, 39	eqtr2i 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = -(1 − 2)
41	37, 3	subcli 11557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 − 2) ∈ ℂ
42	37, 41	negcon2i 11564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = -(1 − 2) ↔ (1 − 2) = -1)
43	40, 42	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 2) = -1
44	43	oveq2i 7414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑁 + (1 − 2)) = (-𝑁 + -1)
45		negcl 11480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 ∈ ℂ)
46		addsubass 11490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
47	37, 3, 46	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
48	45, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = (-𝑁 + (1 − 2)))
49		negdi 11538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
50	37, 49	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
51	44, 48, 50	3eqtr4a 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((-𝑁 + 1) − 2) = -(𝑁 + 1))
52	51	oveq1d 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
53		2div2e1 12379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 / 2) = 1
54	53	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (2 / 2)
55	54	oveq2i 7414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2))
56		peano2cn 11405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑁 ∈ ℂ → (-𝑁 + 1) ∈ ℂ)
57	45, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (-𝑁 + 1) ∈ ℂ)
58		2cnne0 12448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59		divsubdir 11933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((-𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
60	3, 58, 59	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-𝑁 + 1) ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
61	57, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) − 2) / 2) = (((-𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
62	55, 61	eqtr4id 2789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = (((-𝑁 + 1) − 2) / 2))
63		peano2cn 11405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
64		divneg 11931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
65	3, 4, 64	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = (-(𝑁 + 1) / 2))
67	52, 62, 66	3eqtr4d 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
68	19, 67	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
69	68	eleq1d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((-𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
70	36, 69	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
71		znegcl 12625	. . . . . . . . 9 ⊢ (-((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → --((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
72	70, 71	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → --((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
73		peano2re 11406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
75	74	halfcld 12484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ)
76	75	negnegd 11583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → --((𝑁 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
77	76	eleq1d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (--((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
78	72, 77	sylibd 239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
79	35, 78	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((-𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
80	34, 79	sylan9r 508	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (-𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
81	31, 80	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
82	10, 18, 81	3jaodan 1433	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
83	1, 82	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
84	83	orrd 863	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   − cmin 11464  -cneg 11465   / cdiv 11892  ℕcn 12238  2c2 12293  ℤcz 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-n0 12500  df-z 12587

This theorem is referenced by:  zeo2  12678  iseralt  15699  mod2eq1n2dvds  16364  mulsucdiv2z  16370  abssinper  26480  atantayl2  26898  basellem3  27043  chtub  27173  lgseisenlem1  27336  sumnnodd  45607  zeoALTV  47632  nn0eo  48456