Theorem zeo 12792

Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zeo	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12702	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		oveq1 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) = (0 / 2))
3		2cn 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		2ne0 12456	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
5	3, 4	div0i 12058	. . . . . . . 8 ⊢ (0 / 2) = 0
6		0z 12711	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
7	5, 6	eqeltri 2856	. . . . . . 7 ⊢ (0 / 2) ∈ ℤ
8	2, 7	eqeltrdi 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
9	8	pm2.24d 152	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 = 0) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
11		nnz 12721	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
12	11	con3i 155	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
13		nneo 12790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
14	13	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
15	14	con1d 146	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
16		nnz 12721	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
17	12, 15, 16	syl56 37	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
18	17	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
19		recn 11297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
20		divneg 12015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(𝑁 / 2) = ( -𝑁 / 2))
21	3, 4, 20	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 / 2) = ( -𝑁 / 2))
22	19, 21	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → -(𝑁 / 2) = ( -𝑁 / 2))
23	22	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ( -(𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ( -𝑁 / 2) ∈ ℕ))
24		nnnegz 12703	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -(𝑁 / 2) ∈ ℕ → - -(𝑁 / 2) ∈ ℤ)
25	23, 24	biimtrrdi 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (( -𝑁 / 2) ∈ ℕ → - -(𝑁 / 2) ∈ ℤ))
26	19	halfcld 12598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
27	26	negnegd 11667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → - -(𝑁 / 2) = (𝑁 / 2))
28	27	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ( - -(𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
29	25, 28	sylibd 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (( -𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
30	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (( -𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
31	30	con3d 153	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ¬ ( -𝑁 / 2) ∈ ℕ))
32		nneo 12790	. . . . . . . 8 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℕ → (( -𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ (( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
33	32	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℕ → (¬ (( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ( -𝑁 / 2) ∈ ℕ))
34	33	con1d 146	. . . . . 6 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℕ → (¬ ( -𝑁 / 2) ∈ ℕ → (( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
35		nnz 12721	. . . . . . 7 ⊢ ((( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
36		peano2zm 12746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((( -𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
37		ax-1cn 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
38	37, 3	negsubdi2i 11651	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -(1 − 2) = (2 − 1)
39		2m1e1 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 − 1) = 1
40	38, 39	eqtr2i 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = -(1 − 2)
41	37, 3	subcli 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 − 2) ∈ ℂ
42	37, 41	negcon2i 11648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = -(1 − 2) ↔ (1 − 2) = -1)
43	40, 42	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 − 2) = -1
44	43	oveq2i 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( -𝑁 + (1 − 2)) = ( -𝑁 + -1)
45		negcl 11564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -𝑁 ∈ ℂ)
46		addsubass 11574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (( -𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (( -𝑁 + 1) − 2) = ( -𝑁 + (1 − 2)))
47	37, 3, 46	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℂ → (( -𝑁 + 1) − 2) = ( -𝑁 + (1 − 2)))
48	45, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (( -𝑁 + 1) − 2) = ( -𝑁 + (1 − 2)))
49		negdi 11622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑁 + 1) = ( -𝑁 + -1))
50	37, 49	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -(𝑁 + 1) = ( -𝑁 + -1))
51	44, 48, 50	3eqtr4a 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (( -𝑁 + 1) − 2) = -(𝑁 + 1))
52	51	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((( -𝑁 + 1) − 2) / 2) = ( -(𝑁 + 1) / 2))
53		2div2e1 12490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 / 2) = 1
54	53	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (2 / 2)
55	54	oveq2i 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((( -𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((( -𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2))
56		peano2cn 11489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℂ → ( -𝑁 + 1) ∈ ℂ)
57	45, 56	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ( -𝑁 + 1) ∈ ℂ)
58		2cnne0 12562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59		divsubdir 12017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((( -𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((( -𝑁 + 1) − 2) / 2) = ((( -𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
60	3, 58, 59	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (( -𝑁 + 1) ∈ ℂ → ((( -𝑁 + 1) − 2) / 2) = ((( -𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
61	57, 60	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((( -𝑁 + 1) − 2) / 2) = ((( -𝑁 + 1) / 2) − (2 / 2)))
62	55, 61	eqtr4id 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((( -𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((( -𝑁 + 1) − 2) / 2))
63		peano2cn 11489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
64		divneg 12015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -((𝑁 + 1) / 2) = ( -(𝑁 + 1) / 2))
65	3, 4, 64	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = ( -(𝑁 + 1) / 2))
66	63, 65	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → -((𝑁 + 1) / 2) = ( -(𝑁 + 1) / 2))
67	52, 62, 66	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((( -𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
68	19, 67	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((( -𝑁 + 1) / 2) − 1) = -((𝑁 + 1) / 2))
69	68	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((( -𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ↔ -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
70	36, 69	imbitrid 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
71		znegcl 12738	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → - -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
72	70, 71	syl6 36	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → - -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
73		peano2re 11490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
75	74	halfcld 12598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ)
76	75	negnegd 11667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → - -((𝑁 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
77	76	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ( - -((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
78	72, 77	sylibd 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
79	35, 78	syl5 35	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((( -𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
80	34, 79	sylan9r 518	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ ( -𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
81	31, 80	syld 48	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
82	10, 18, 81	3jaodan 1458	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
83	1, 82	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
84	83	orrd 877	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   − cmin 11548   -cneg 11549   / cdiv 11980  ℕcn 12342  2c2 12404  ℤcz 12700

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701

This theorem is used by:  zeo2  12793  iseralt  15861  mod2eq1n2dvds  16526  mulsucdiv2z  16532  abssinper  26858  atantayl2  27275  basellem3  27419  chtub  27548  lgseisenlem1  27711  sumnnodd  46750  zeoALTV  48876  nn0eo  49748