Theorem nnnegz 12593

Description: The negative of a positive integer is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nnnegz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnnegz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12239	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 11640	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
3		nncn 12240	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4		negneg 11507	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → --𝑁 = 𝑁)
5	4	eleq1d 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (--𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
6	5	biimprd 251	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 ∈ ℕ))
7	3, 6	mpcom 39	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 ∈ ℕ)
8	7	3mix3d 1355	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ))
9		elz 12592	. 2 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ ↔ (-𝑁 ∈ ℝ ∧ (-𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ)))
10	2, 8, 9	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1100   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  -cneg 11441  ℕcn 12232  ℤcz 12590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-z 12591

This theorem is referenced by:  znegcl  12628  neg1z  12629  zeo  12681  btwnz  12698  uzwo3  12966  expneg  14104  expaddzlem  14140  mulgnegnn  19149  mulgneg2  19173  knoppndvlem18  37006  jm2.19lem1  43607  hoicvr  47153  proththd  48254