Theorem nnnegz 12619

Description: The negative of a positive integer is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nnnegz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnnegz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12265	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 11666	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
3		nncn 12266	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4		negneg 11533	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → --𝑁 = 𝑁)
5	4	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (--𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
6	5	biimprd 251	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 ∈ ℕ))
7	3, 6	mpcom 39	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 ∈ ℕ)
8	7	3mix3d 1357	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ))
9		elz 12618	. 2 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ ↔ (-𝑁 ∈ ℝ ∧ (-𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ)))
10	2, 8, 9	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ℂcc 11123  ℝcr 11124  0cc0 11125  -cneg 11467  ℕcn 12258  ℤcz 12616

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-ltxr 11273  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-z 12617

This theorem is used by:  znegcl  12654  neg1z  12655  zeo  12708  btwnz  12725  uzwo3  12993  expneg  14134  expaddzlem  14170  mulgnegnn  19208  mulgneg2  19232  knoppndvlem18  37227  jm2.19lem1  43831  hoicvr  47377  proththd  48518