MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnnegz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnnegz 12592
Description: The negative of a positive integer is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nnnegz (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnnegz
StepHypRef Expression
1 nnre 12250 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
21renegcld 11672 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
3 nncn 12251 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4 negneg 11541 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → --𝑁 = 𝑁)
54eleq1d 2814 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℂ → (--𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
65biimprd 247 . . . 4 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 ∈ ℕ))
73, 6mpcom 38 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 ∈ ℕ)
873mix3d 1336 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ))
9 elz 12591 . 2 (-𝑁 ∈ ℤ ↔ (-𝑁 ∈ ℝ ∧ (-𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ)))
102, 8, 9sylanbrc 582 1 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1084   = wceq 1534  wcel 2099  cc 11137  cr 11138  0cc0 11139  -cneg 11476  cn 12243  cz 12589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-z 12590
This theorem is referenced by:  znegcl  12628  neg1z  12629  zeo  12679  btwnz  12696  uzwo3  12958  expneg  14067  expaddzlem  14103  mulgnegnn  19039  mulgneg2  19063  knoppndvlem18  36004  jm2.19lem1  42410  hoicvr  45936  proththd  46954
  Copyright terms: Public domain W3C validator