MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnnegz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnnegz 12545
Description: The negative of a positive integer is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nnnegz (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnnegz
StepHypRef Expression
1 nnre 12203 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
21renegcld 11625 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
3 nncn 12204 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4 negneg 11494 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → --𝑁 = 𝑁)
54eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℂ → (--𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
65biimprd 247 . . . 4 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 ∈ ℕ))
73, 6mpcom 38 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 ∈ ℕ)
873mix3d 1338 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ))
9 elz 12544 . 2 (-𝑁 ∈ ℤ ↔ (-𝑁 ∈ ℝ ∧ (-𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ)))
102, 8, 9sylanbrc 583 1 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1086   = wceq 1541  wcel 2106  cc 11092  cr 11093  0cc0 11094  -cneg 11429  cn 12196  cz 12542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-ltxr 11237  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-z 12543
This theorem is referenced by:  znegcl  12581  neg1z  12582  zeo  12632  btwnz  12649  uzwo3  12911  expneg  14019  expaddzlem  14055  mulgnegnn  18938  mulgneg2  18962  knoppndvlem18  35273  jm2.19lem1  41563  hoicvr  45101  proththd  46118
  Copyright terms: Public domain W3C validator