Theorem nnnegz 12736

Description: The negative of a positive integer is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nnnegz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnnegz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12382	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 11782	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
3		nncn 12383	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4		negneg 11647	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → - -𝑁 = 𝑁)
5	4	eleq1d 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ( - -𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
6	5	biimprd 251	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ → - -𝑁 ∈ ℕ))
7	3, 6	mpcom 39	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → - -𝑁 ∈ ℕ)
8	7	3mix3d 1357	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( -𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ - -𝑁 ∈ ℕ))
9		elz 12735	. 2 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℤ ↔ ( -𝑁 ∈ ℝ ∧ ( -𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ - -𝑁 ∈ ℕ)))
10	2, 8, 9	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239   -cneg 11581  ℕcn 12375  ℤcz 12733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-z 12734

This theorem is used by:  znegcl  12771  neg1z  12772  zeo  12825  btwnz  12842  uzwo3  13110  expneg  14252  expaddzlem  14288  mulgnegnn  19344  mulgneg2  19368  knoppndvlem18  37610  jm2.19lem1  44262  hoicvr  47831  proththd  48972