Theorem nnnegz 12322

Description: The negative of a positive integer is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nnnegz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnnegz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11980	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 11402	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
3		nncn 11981	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4		negneg 11271	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → --𝑁 = 𝑁)
5	4	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (--𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
6	5	biimprd 247	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 ∈ ℕ))
7	3, 6	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 ∈ ℕ)
8	7	3mix3d 1337	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ))
9		elz 12321	. 2 ⊢ (-𝑁 ∈ ℤ ↔ (-𝑁 ∈ ℝ ∧ (-𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ --𝑁 ∈ ℕ)))
10	2, 8, 9	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  -cneg 11206  ℕcn 11973  ℤcz 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-z 12320

This theorem is referenced by:  znegcl  12355  neg1z  12356  zeo  12406  btwnz  12423  uzwo3  12683  expneg  13790  expaddzlem  13826  mulgnegnn  18714  mulgneg2  18737  knoppndvlem18  34709  jm2.19lem1  40811  hoicvr  44086  proththd  45066