Theorem nnnegz 12703

Description: The negative of a positive integer is an integer. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nnnegz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnnegz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12349	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 11750	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
3		nncn 12350	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4		negneg 11615	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → - -𝑁 = 𝑁)
5	4	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ( - -𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
6	5	biimprd 251	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ → - -𝑁 ∈ ℕ))
7	3, 6	mpcom 39	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → - -𝑁 ∈ ℕ)
8	7	3mix3d 1357	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ( -𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ - -𝑁 ∈ ℕ))
9		elz 12702	. 2 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℤ ↔ ( -𝑁 ∈ ℝ ∧ ( -𝑁 = 0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ - -𝑁 ∈ ℕ)))
10	2, 8, 9	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207   -cneg 11549  ℕcn 12342  ℤcz 12700

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-z 12701

This theorem is used by:  znegcl  12738  neg1z  12739  zeo  12792  btwnz  12809  uzwo3  13077  expneg  14219  expaddzlem  14255  mulgnegnn  19303  mulgneg2  19327  knoppndvlem18  37519  jm2.19lem1  44133  hoicvr  47694  proththd  48835