Theorem zabsle1 27532

Description: {-1, 0, 1} is the set of all integers with absolute value at most 1. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zabsle1	⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} ↔ (abs‘𝑍) ≤ 1))

Proof of Theorem zabsle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltpi 4649	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
2		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = -1 → (abs‘𝑍) = (abs‘-1))
3		ax-1cn 11182	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	3	absnegi 15488	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
5		abs1 15384	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘1) = 1
6	4, 5	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (abs‘-1) = 1
7		1le1 11866	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 1
8	6, 7	eqbrtri 5126	. . . . 5 ⊢ (abs‘-1) ≤ 1
9	2, 8	eqbrtrdi 5144	. . . 4 ⊢ (𝑍 = -1 → (abs‘𝑍) ≤ 1)
10		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = 0 → (abs‘𝑍) = (abs‘0))
11		abs0 15372	. . . . . 6 ⊢ (abs‘0) = 0
12		0le1 11761	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
13	11, 12	eqbrtri 5126	. . . . 5 ⊢ (abs‘0) ≤ 1
14	10, 13	eqbrtrdi 5144	. . . 4 ⊢ (𝑍 = 0 → (abs‘𝑍) ≤ 1)
15		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = 1 → (abs‘𝑍) = (abs‘1))
16	5, 7	eqbrtri 5126	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) ≤ 1
17	15, 16	eqbrtrdi 5144	. . . 4 ⊢ (𝑍 = 1 → (abs‘𝑍) ≤ 1)
18	9, 14, 17	3jaoi 1454	. . 3 ⊢ ((𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1) → (abs‘𝑍) ≤ 1)
19	1, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} → (abs‘𝑍) ≤ 1)
20		zre 12619	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ ℝ)
21		1red 11233	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22	20, 21	absled 15520	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((abs‘𝑍) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)))
23		elz 12617	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ)))
24		3mix2 1350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = 0 → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
25	24	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 = 0 → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
26		nnle1eq1 12290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → (𝑍 ≤ 1 ↔ 𝑍 = 1))
27	26	biimpac 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑍 ≤ 1 ∧ 𝑍 ∈ ℕ) → 𝑍 = 1)
28	27	3mix3d 1357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑍 ≤ 1 ∧ 𝑍 ∈ ℕ) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
29	28	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ≤ 1 → (𝑍 ∈ ℕ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
30	29	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1) → (𝑍 ∈ ℕ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 ∈ ℕ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
32	31	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
33		elnnz1 12644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑍 ∈ ℕ ↔ (-𝑍 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ -𝑍))
34		1red 11233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
35		lenegcon2 11743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (1 ≤ -𝑍 ↔ 𝑍 ≤ -1))
36	34, 35	mpancom 701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (1 ≤ -𝑍 ↔ 𝑍 ≤ -1))
37		neg1rr 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ -1 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
39		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℝ)
40	38, 39	letri3d 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (-1 = 𝑍 ↔ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ -1)))
41		3mix1 1349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑍 = -1 → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
42	41	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-1 = 𝑍 → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
43	40, 42	biimtrrdi 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ -1) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
44	43	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ -1) → (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
45	44	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-1 ≤ 𝑍 → (𝑍 ≤ -1 → (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))))
46	45	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1) → (𝑍 ≤ -1 → (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))))
47	46	com13 89	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 ≤ -1 → ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))))
48	36, 47	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (1 ≤ -𝑍 → ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))))
49	48	com12 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ≤ -𝑍 → (𝑍 ∈ ℝ → ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))))
50	49	impd 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≤ -𝑍 → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
51	50	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝑍 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ -𝑍) → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
52	33, 51	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑍 ∈ ℕ → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
53	25, 32, 52	3jaoi 1454	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ) → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
54	53	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1))) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
55		eltpg 4647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} ↔ (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
56	55	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} ↔ (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
57	56	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1))) → (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} ↔ (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
58	54, 57	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1))) → 𝑍 ∈ {-1, 0, 1})
59	58	exp32 426	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ) → (𝑍 ∈ ℝ → ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1) → 𝑍 ∈ {-1, 0, 1})))
60	59	impcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ)) → ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1) → 𝑍 ∈ {-1, 0, 1}))
61	23, 60	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1) → 𝑍 ∈ {-1, 0, 1}))
62	22, 61	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((abs‘𝑍) ≤ 1 → 𝑍 ∈ {-1, 0, 1}))
63	19, 62	impbid2 229	1 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} ↔ (abs‘𝑍) ≤ 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {ctp 4588   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   ≤ cle 11268  -cneg 11466  ℕcn 12257  ℤcz 12615  abscabs 15321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323

This theorem is used by:  lgscl1  27556