Theorem zabsle1 27355

Description: {-1, 0, 1} is the set of all integers with absolute value at most 1. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zabsle1	⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} ↔ (abs‘𝑍) ≤ 1))

Proof of Theorem zabsle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltpi 4693	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
2		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = -1 → (abs‘𝑍) = (abs‘-1))
3		ax-1cn 11211	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	3	absnegi 15436	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
5		abs1 15333	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘1) = 1
6	4, 5	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ (abs‘-1) = 1
7		1le1 11889	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 1
8	6, 7	eqbrtri 5169	. . . . 5 ⊢ (abs‘-1) ≤ 1
9	2, 8	eqbrtrdi 5187	. . . 4 ⊢ (𝑍 = -1 → (abs‘𝑍) ≤ 1)
10		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = 0 → (abs‘𝑍) = (abs‘0))
11		abs0 15321	. . . . . 6 ⊢ (abs‘0) = 0
12		0le1 11784	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
13	11, 12	eqbrtri 5169	. . . . 5 ⊢ (abs‘0) ≤ 1
14	10, 13	eqbrtrdi 5187	. . . 4 ⊢ (𝑍 = 0 → (abs‘𝑍) ≤ 1)
15		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑍 = 1 → (abs‘𝑍) = (abs‘1))
16	5, 7	eqbrtri 5169	. . . . 5 ⊢ (abs‘1) ≤ 1
17	15, 16	eqbrtrdi 5187	. . . 4 ⊢ (𝑍 = 1 → (abs‘𝑍) ≤ 1)
18	9, 14, 17	3jaoi 1427	. . 3 ⊢ ((𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1) → (abs‘𝑍) ≤ 1)
19	1, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} → (abs‘𝑍) ≤ 1)
20		zre 12615	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ ℝ)
21		1red 11260	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22	20, 21	absled 15466	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((abs‘𝑍) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)))
23		elz 12613	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ)))
24		3mix2 1330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 = 0 → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
25	24	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 = 0 → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
26		nnle1eq1 12294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → (𝑍 ≤ 1 ↔ 𝑍 = 1))
27	26	biimpac 478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑍 ≤ 1 ∧ 𝑍 ∈ ℕ) → 𝑍 = 1)
28	27	3mix3d 1337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑍 ≤ 1 ∧ 𝑍 ∈ ℕ) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
29	28	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ≤ 1 → (𝑍 ∈ ℕ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1) → (𝑍 ∈ ℕ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 ∈ ℕ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
32	31	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ ℕ → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
33		elnnz1 12641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑍 ∈ ℕ ↔ (-𝑍 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ -𝑍))
34		1red 11260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
35		lenegcon2 11766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ ℝ) → (1 ≤ -𝑍 ↔ 𝑍 ≤ -1))
36	34, 35	mpancom 688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (1 ≤ -𝑍 ↔ 𝑍 ≤ -1))
37		neg1rr 12379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ -1 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → -1 ∈ ℝ)
39		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℝ)
40	38, 39	letri3d 11401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (-1 = 𝑍 ↔ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ -1)))
41		3mix1 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑍 = -1 → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
42	41	eqcoms 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-1 = 𝑍 → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
43	40, 42	biimtrrdi 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ -1) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
44	43	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ -1) → (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
45	44	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-1 ≤ 𝑍 → (𝑍 ≤ -1 → (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))))
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1) → (𝑍 ≤ -1 → (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))))
47	46	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 ≤ -1 → ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))))
48	36, 47	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (1 ≤ -𝑍 → ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))))
49	48	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ≤ -𝑍 → (𝑍 ∈ ℝ → ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))))
50	49	impd 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≤ -𝑍 → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
51	50	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝑍 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ -𝑍) → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
52	33, 51	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑍 ∈ ℕ → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
53	25, 32, 52	3jaoi 1427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ) → ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
54	53	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1))) → (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1))
55		eltpg 4691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} ↔ (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
56	55	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1)) → (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} ↔ (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
57	56	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1))) → (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} ↔ (𝑍 = -1 ∨ 𝑍 = 0 ∨ 𝑍 = 1)))
58	54, 57	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ) ∧ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1))) → 𝑍 ∈ {-1, 0, 1})
59	58	exp32 420	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ) → (𝑍 ∈ ℝ → ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1) → 𝑍 ∈ {-1, 0, 1})))
60	59	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝑍 = 0 ∨ 𝑍 ∈ ℕ ∨ -𝑍 ∈ ℕ)) → ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1) → 𝑍 ∈ {-1, 0, 1}))
61	23, 60	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((-1 ≤ 𝑍 ∧ 𝑍 ≤ 1) → 𝑍 ∈ {-1, 0, 1}))
62	22, 61	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((abs‘𝑍) ≤ 1 → 𝑍 ∈ {-1, 0, 1}))
63	19, 62	impbid2 226	1 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 ∈ {-1, 0, 1} ↔ (abs‘𝑍) ≤ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {ctp 4635   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   ≤ cle 11294  -cneg 11491  ℕcn 12264  ℤcz 12611  abscabs 15270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272

This theorem is referenced by:  lgscl1  27379