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Theorem ostth3 27682
Description: - Lemma for ostth 27683: p-adic case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth3.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
ostth3.3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
ostth3.4 (𝜑 → (𝐹𝑃) < 1)
ostth3.5 𝑅 = -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))
ostth3.6 𝑆 = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃))
Assertion
Ref Expression
ostth3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑦   𝑛,𝐾   𝑥,𝑛,𝑎,𝑝,𝑞,𝑦,𝜑   𝐽,𝑎,𝑝,𝑦   𝑆,𝑎   𝐴,𝑎,𝑛,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝑄,𝑛,𝑥,𝑦   𝐹,𝑎,𝑛,𝑝,𝑞,𝑦   𝑃,𝑎,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝑅,𝑎,𝑝,𝑞,𝑦   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛,𝑞,𝑝)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem ostth3
Dummy variables 𝑘 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth3.5 . . . 4 𝑅 = -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))
2 ostth.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐴)
3 ostth3.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4 prmuz2 16733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
6 eluz2b2 12963 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
75, 6sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
87simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
9 nnq 13004 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
11 qabsabv.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
12 qrng.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (ℂflds ℚ)
1312qrngbas 27663 . . . . . . . . . 10 ℚ = (Base‘𝑄)
1411, 13abvcl 20817 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑃 ∈ ℚ) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
152, 10, 14syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
168nnne0d 12316 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ≠ 0)
1712qrng0 27665 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑄)
1811, 13, 17abvgt0 20821 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0) → 0 < (𝐹𝑃))
192, 10, 16, 18syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑃))
2015, 19elrpd 13074 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ ℝ+)
2120relogcld 26665 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) ∈ ℝ)
228nnred 12281 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
237simprd 495 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝑃)
2422, 23rplogcld 26671 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
2521, 24rerpdivcld 13108 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
2625renegcld 11690 . . . 4 (𝜑 → -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
271, 26eqeltrid 2845 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
28 ostth3.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑃) < 1)
29 1rp 13038 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
30 logltb 26642 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑃) < 1 ↔ (log‘(𝐹𝑃)) < (log‘1)))
3120, 29, 30sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑃) < 1 ↔ (log‘(𝐹𝑃)) < (log‘1)))
3228, 31mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) < (log‘1))
33 log1 26627 . . . . . . . 8 (log‘1) = 0
3432, 33breqtrdi 5184 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) < 0)
3524rpcnd 13079 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℂ)
3635mul01d 11460 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝑃) · 0) = 0)
3734, 36breqtrrd 5171 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) < ((log‘𝑃) · 0))
38 0red 11264 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3921, 38, 24ltdivmuld 13128 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0 ↔ (log‘(𝐹𝑃)) < ((log‘𝑃) · 0)))
4037, 39mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0)
4125lt0neg1d 11832 . . . . 5 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0 ↔ 0 < -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))))
4240, 41mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → 0 < -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
4342, 1breqtrrdi 5185 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝑅)
4427, 43elrpd 13074 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
45 padic.j . . . . 5 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
4612, 11, 45padicabvcxp 27676 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
473, 44, 46syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
48 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑃 → ((𝐽𝑃)‘𝑦) = ((𝐽𝑃)‘𝑃))
4948oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑃 → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅))
50 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))
51 ovex 7464 . . . . . . . . 9 (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅) ∈ V
5249, 50, 51fvmpt 7016 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℚ → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) = (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅))
5310, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) = (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅))
5445padicval 27661 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑃) = if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))))
553, 10, 54syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐽𝑃)‘𝑃) = if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))))
5616neneqd 2945 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑃 = 0)
5756iffalsed 4536 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)))
588nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
5958exp1d 14181 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
6059oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = (𝑃 pCnt 𝑃))
61 1z 12647 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
62 pcid 16911 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
633, 61, 62sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
6460, 63eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑃) = 1)
6564negeqd 11502 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(𝑃 pCnt 𝑃) = -1)
6665oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃↑-1))
67 neg1z 12653 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℤ
6867a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
6958, 16, 68cxpexpzd 26753 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃𝑐-1) = (𝑃↑-1))
7066, 69eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃𝑐-1))
7155, 57, 703eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐽𝑃)‘𝑃) = (𝑃𝑐-1))
7271oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-1)↑𝑐𝑅))
7327recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
7473mulm1d 11715 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1 · 𝑅) = -𝑅)
751negeqi 11501 . . . . . . . . . . 11 -𝑅 = --((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))
7625recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℂ)
7776negnegd 11611 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → --((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) = ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
7875, 77eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝑅 = ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
7974, 78eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 · 𝑅) = ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
8079oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑐(-1 · 𝑅)) = (𝑃𝑐((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))))
818nnrpd 13075 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
82 neg1rr 12381 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
8382a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
8481, 83, 73cxpmuld 26779 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑐(-1 · 𝑅)) = ((𝑃𝑐-1)↑𝑐𝑅))
8558, 16, 76cxpefd 26754 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃𝑐((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))) = (exp‘(((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃))))
8621recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) ∈ ℂ)
8724rpne0d 13082 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘𝑃) ≠ 0)
8886, 35, 87divcan1d 12044 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃)) = (log‘(𝐹𝑃)))
8988fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃))) = (exp‘(log‘(𝐹𝑃))))
9020reeflogd 26666 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑃))) = (𝐹𝑃))
9185, 89, 903eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑐((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))) = (𝐹𝑃))
9280, 84, 913eqtr3d 2785 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃𝑐-1)↑𝑐𝑅) = (𝐹𝑃))
9353, 72, 923eqtrrd 2782 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃))
94 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑃 = 𝑝 → (𝐹𝑃) = (𝐹𝑝))
95 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑃 = 𝑝 → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝))
9694, 95eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑃 = 𝑝 → ((𝐹𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) ↔ (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
9793, 96syl5ibcom 245 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 = 𝑝 → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
9897adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 = 𝑝 → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
99 prmnn 16711 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
10099ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑝 ∈ ℕ)
101 nnq 13004 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℚ)
102100, 101syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑝 ∈ ℚ)
103 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑝 → ((𝐽𝑃)‘𝑦) = ((𝐽𝑃)‘𝑝))
104103oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑝 → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅))
105 ovex 7464 . . . . . . . 8 (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅) ∈ V
106104, 50, 105fvmpt 7016 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℚ → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝) = (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅))
107102, 106syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝) = (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅))
10873ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑅 ∈ ℂ)
1091081cxpd 26749 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (1↑𝑐𝑅) = 1)
1103ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑃 ∈ ℙ)
11145padicval 27661 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑝) = if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))))
112110, 102, 111syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐽𝑃)‘𝑝) = if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))))
113100nnne0d 12316 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑝 ≠ 0)
114113neneqd 2945 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ¬ 𝑝 = 0)
115114iffalsed 4536 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)))
116 pceq0 16909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑝))
1173, 99, 116syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑝))
118 dvdsprm 16740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑝𝑃 = 𝑝))
1195, 118sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑝𝑃 = 𝑝))
120119necon3bbid 2978 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃𝑝𝑃𝑝))
121117, 120bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ 𝑃𝑝))
122121biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃 pCnt 𝑝) = 0)
123122negeqd 11502 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → -(𝑃 pCnt 𝑝) = -0)
124 neg0 11555 . . . . . . . . . . . 12 -0 = 0
125123, 124eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → -(𝑃 pCnt 𝑝) = 0)
126125oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)) = (𝑃↑0))
12758ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑃 ∈ ℂ)
128127exp0d 14180 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃↑0) = 1)
129126, 128eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)) = 1)
130112, 115, 1293eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐽𝑃)‘𝑝) = 1)
131130oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅) = (1↑𝑐𝑅))
132 2re 12340 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 2 ∈ ℝ)
134 ostth3.6 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃))
1352ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝐹𝐴)
13611, 13abvcl 20817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐴𝑝 ∈ ℚ) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ)
137135, 102, 136syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ)
13811, 13, 17abvgt0 20821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐴𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ≠ 0) → 0 < (𝐹𝑝))
139135, 102, 113, 138syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 0 < (𝐹𝑝))
140137, 139elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ+)
141140adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ+)
14220ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ+)
143141, 142ifcld 4572 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) ∈ ℝ+)
144134, 143eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
145144rprecred 13088 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (1 / 𝑆) ∈ ℝ)
146 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑝) < 1)
14728ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑃) < 1)
148 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑝) = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) → ((𝐹𝑝) < 1 ↔ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1))
149 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑃) = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) → ((𝐹𝑃) < 1 ↔ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1))
150148, 149ifboth 4565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑝) < 1 ∧ (𝐹𝑃) < 1) → if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1)
151146, 147, 150syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1)
152134, 151eqbrtrid 5178 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 < 1)
153144reclt1d 13090 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝑆 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑆)))
154152, 153mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 1 < (1 / 𝑆))
155 expnbnd 14271 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑆) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝑆)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
156133, 145, 154, 155syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
157144rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℂ)
158157adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℂ)
159144rpne0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ≠ 0)
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ≠ 0)
161 nnz 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
162161adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
163158, 160, 162exprecd 14194 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) = (1 / (𝑆𝑘)))
1642ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹𝐴)
165 ax-1ne0 11224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≠ 0
16612qrng1 27666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 = (1r𝑄)
16711, 166, 17abv1z 20825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
168164, 165, 167sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) = 1)
1698ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
170 nnnn0 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
171 nnexpcl 14115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
172169, 170, 171syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
173172nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
17499ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℕ)
175 nnexpcl 14115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
176174, 170, 175syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
177176nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝𝑘) ∈ ℤ)
178 bezout 16580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)))
179173, 177, 178syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)))
180 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑃𝑝)
1813ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
182 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℙ)
183 prmrp 16749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑃𝑝))
184181, 182, 183syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑃𝑝))
185180, 184mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝑃 gcd 𝑝) = 1)
186185adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 gcd 𝑝) = 1)
187169adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
188174adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
189 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
190 rppwr 16597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1))
191187, 188, 189, 190syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1))
192186, 191mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1)
193192adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1)
194193eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ↔ 1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))))
1952ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝐹𝐴)
196172adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
197 nnq 13004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃𝑘) ∈ ℕ → (𝑃𝑘) ∈ ℚ)
198196, 197syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑃𝑘) ∈ ℚ)
199 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑎 ∈ ℤ)
200 zq 12996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℚ)
201199, 200syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑎 ∈ ℚ)
202 qmulcl 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ)
203198, 201, 202syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ)
204176adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
205 nnq 13004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑝𝑘) ∈ ℕ → (𝑝𝑘) ∈ ℚ)
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑝𝑘) ∈ ℚ)
207 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℤ)
208 zq 12996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℚ)
209207, 208syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℚ)
210 qmulcl 13009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑝𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ)
211206, 209, 210syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ)
212 qaddcl 13007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ ∧ ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ)
213203, 211, 212syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ)
21411, 13abvcl 20817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝐴 ∧ (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
215195, 213, 214syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
21611, 13abvcl 20817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) ∈ ℝ)
217195, 203, 216syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) ∈ ℝ)
21811, 13abvcl 20817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℝ)
219195, 211, 218syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℝ)
220217, 219readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
221 rpexpcl 14121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ+)
222144, 161, 221syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ+)
223222rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ)
224223adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ)
225 remulcl 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑘) ∈ ℝ) → (2 · (𝑆𝑘)) ∈ ℝ)
226132, 224, 225sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (2 · (𝑆𝑘)) ∈ ℝ)
227 qex 13003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℚ ∈ V
228 cnfldadd 21370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 + = (+g‘ℂfld)
22912, 228ressplusg 17334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (ℚ ∈ V → + = (+g𝑄))
230227, 229ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 + = (+g𝑄)
23111, 13, 230abvtri 20823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ ∧ ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))))
232195, 203, 211, 231syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))))
233 cnfldmul 21372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 · = (.r‘ℂfld)
23412, 233ressmulr 17351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
235227, 234ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 · = (.r𝑄)
23611, 13, 235abvmul 20822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) = ((𝐹‘(𝑃𝑘)) · (𝐹𝑎)))
237195, 198, 201, 236syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) = ((𝐹‘(𝑃𝑘)) · (𝐹𝑎)))
23810ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑃 ∈ ℚ)
239170ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24012, 11qabvexp 27670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑃𝑘)) = ((𝐹𝑃)↑𝑘))
241195, 238, 239, 240syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(𝑃𝑘)) = ((𝐹𝑃)↑𝑘))
242241oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘(𝑃𝑘)) · (𝐹𝑎)) = (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)))
243237, 242eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) = (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)))
244195, 238, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
245244, 239reexpcld 14203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ∈ ℝ)
24611, 13abvcl 20817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
247195, 201, 246syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
248245, 247remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ∈ ℝ)
249 elz 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ)))
250249simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ))
251250adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ))
25211, 17abv0 20824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
2532, 252syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
254 0le1 11786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ≤ 1
255253, 254eqbrtrdi 5182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ 1)
256255adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘0) ≤ 1)
257 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑎 = 0 → (𝐹𝑎) = (𝐹‘0))
258257breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑎 = 0 → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (𝐹‘0) ≤ 1))
259256, 258syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 = 0 → (𝐹𝑎) ≤ 1))
260 ostth3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
261 nnq 13004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
26211, 13abvcl 20817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
2632, 261, 262syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
264 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1 ∈ ℝ
265 lenlt 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑛)))
266263, 264, 265sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑛)))
267266ralbidva 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)))
268260, 267mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1)
269 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑛 = 𝑎 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑎))
270269breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛 = 𝑎 → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐹𝑎) ≤ 1))
271270rspccv 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
272268, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
273272adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
2742adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → 𝐹𝐴)
275200ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℚ)
276 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (invg𝑄) = (invg𝑄)
27711, 13, 276abvneg 20827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐹𝐴𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) = (𝐹𝑎))
278274, 275, 277syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) = (𝐹𝑎))
279 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑎) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)))
280279breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑎) → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) ≤ 1))
281268adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1)
28212qrngneg 27667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑎 ∈ ℚ → ((invg𝑄)‘𝑎) = -𝑎)
283275, 282syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ((invg𝑄)‘𝑎) = -𝑎)
284 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → -𝑎 ∈ ℕ)
285283, 284eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ((invg𝑄)‘𝑎) ∈ ℕ)
286280, 281, 285rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) ≤ 1)
287278, 286eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑎) ≤ 1)
288287expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (-𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
289259, 273, 2883jaod 1431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝐹𝑎) ≤ 1))
290251, 289mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹𝑎) ≤ 1)
291290ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1)
292291ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1)
293 rsp 3247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1 → (𝑎 ∈ ℤ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
294292, 199, 293sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑎) ≤ 1)
295264a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℝ)
296161ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑘 ∈ ℤ)
29719ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < (𝐹𝑃))
298 expgt0 14136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐹𝑃)) → 0 < ((𝐹𝑃)↑𝑘))
299244, 296, 297, 298syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < ((𝐹𝑃)↑𝑘))
300 lemul2 12120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑎) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝑃)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐹𝑃)↑𝑘))) → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1)))
301247, 295, 245, 299, 300syl112anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1)))
302294, 301mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1))
303245recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ∈ ℂ)
304303mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1) = ((𝐹𝑃)↑𝑘))
305302, 304breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ ((𝐹𝑃)↑𝑘))
306144rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℝ)
307306adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑆 ∈ ℝ)
308142adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ+)
309308rpge0d 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 ≤ (𝐹𝑃))
310174adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ∈ ℕ)
311310, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ∈ ℚ)
312195, 311, 136syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ)
313 max1 13227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑝) ∈ ℝ) → (𝐹𝑃) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
314244, 312, 313syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
315314, 134breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ≤ 𝑆)
316 leexp1a 14215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑃) ∧ (𝐹𝑃) ≤ 𝑆)) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
317244, 307, 239, 309, 315, 316syl32anc 1380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
318248, 245, 224, 305, 317letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (𝑆𝑘))
319243, 318eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) ≤ (𝑆𝑘))
32011, 13, 235abvmul 20822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) = ((𝐹‘(𝑝𝑘)) · (𝐹𝑏)))
321195, 206, 209, 320syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) = ((𝐹‘(𝑝𝑘)) · (𝐹𝑏)))
32212, 11qabvexp 27670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑝𝑘)) = ((𝐹𝑝)↑𝑘))
323195, 311, 239, 322syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(𝑝𝑘)) = ((𝐹𝑝)↑𝑘))
324323oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘(𝑝𝑘)) · (𝐹𝑏)) = (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)))
325321, 324eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) = (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)))
326312, 239reexpcld 14203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ∈ ℝ)
32711, 13abvcl 20817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑏 ∈ ℚ) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
328195, 209, 327syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
329326, 328remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ∈ ℝ)
330 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
331330breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (𝐹𝑏) ≤ 1))
332331, 292, 207rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑏) ≤ 1)
333310nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ≠ 0)
334195, 311, 333, 138syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < (𝐹𝑝))
335 expgt0 14136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐹𝑝)) → 0 < ((𝐹𝑝)↑𝑘))
336312, 296, 334, 335syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < ((𝐹𝑝)↑𝑘))
337 lemul2 12120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝑝)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐹𝑝)↑𝑘))) → ((𝐹𝑏) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1)))
338328, 295, 326, 336, 337syl112anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑏) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1)))
339332, 338mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1))
340326recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ∈ ℂ)
341340mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1) = ((𝐹𝑝)↑𝑘))
342339, 341breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ ((𝐹𝑝)↑𝑘))
343141adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ+)
344343rpge0d 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 ≤ (𝐹𝑝))
345 max2 13229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑝) ∈ ℝ) → (𝐹𝑝) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
346244, 312, 345syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
347346, 134breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ≤ 𝑆)
348 leexp1a 14215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑝) ≤ 𝑆)) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
349312, 307, 239, 344, 347, 348syl32anc 1380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
350329, 326, 224, 342, 349letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (𝑆𝑘))
351325, 350eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) ≤ (𝑆𝑘))
352217, 219, 224, 224, 319, 351le2addd 11882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝑆𝑘) + (𝑆𝑘)))
353222rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℂ)
3543532timesd 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘) + (𝑆𝑘)))
355354adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (2 · (𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘) + (𝑆𝑘)))
356352, 355breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
357215, 220, 226, 232, 356letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
358 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) = (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))))
359358breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → ((𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘)) ↔ (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
360357, 359syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
361194, 360sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
362361anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
363362rexlimdvva 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
364179, 363mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
365168, 364eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
366222rpregt0d 13083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑘)))
367 ledivmul2 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑘))) → ((1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
368264, 132, 366, 367mp3an12i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
369365, 368mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2)
370163, 369eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2)
371 reexpcl 14119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 / 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ)
372145, 170, 371syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ)
373 lenlt 11339 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2 ↔ ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘)))
374372, 132, 373sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2 ↔ ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘)))
375370, 374mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
376375pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘) → ¬ (𝐹𝑝) < 1))
377376rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘) → ¬ (𝐹𝑝) < 1))
378156, 377mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ¬ (𝐹𝑝) < 1)
379378expr 456 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐹𝑝) < 1 → ¬ (𝐹𝑝) < 1))
380379pm2.01d 190 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ¬ (𝐹𝑝) < 1)
381 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑝 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑝))
382381breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑝 → (1 < (𝐹𝑛) ↔ 1 < (𝐹𝑝)))
383382notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑝 → (¬ 1 < (𝐹𝑛) ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑝)))
384260ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
385383, 384, 100rspcdva 3623 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ¬ 1 < (𝐹𝑝))
386 lttri3 11344 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑝) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑝) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑝) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑝))))
387137, 264, 386sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐹𝑝) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑝) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑝))))
388380, 385, 387mpbir2and 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) = 1)
389109, 131, 3883eqtr4d 2787 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅) = (𝐹𝑝))
390107, 389eqtr2d 2778 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝))
391390ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑝 → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
39298, 391pm2.61dne 3028 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝))
39312, 11, 2, 47, 392ostthlem2 27672 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)))
394 oveq2 7439 . . . 4 (𝑎 = 𝑅 → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎) = (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))
395394mpteq2dv 5244 . . 3 (𝑎 = 𝑅 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)))
396395rspceeqv 3645 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ+𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
39744, 393, 396syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1086   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  cq 12990  +crp 13034  cexp 14102  expce 16097  cdvds 16290   gcd cgcd 16531  cprime 16708   pCnt cpc 16874  s cress 17274  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  invgcminusg 18952  AbsValcabv 20809  fldccnfld 21364  logclog 26596  𝑐ccxp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-abv 20810  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599
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