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Theorem ostth3 26206
Description: - Lemma for ostth 26207: p-adic case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth3.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
ostth3.3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
ostth3.4 (𝜑 → (𝐹𝑃) < 1)
ostth3.5 𝑅 = -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))
ostth3.6 𝑆 = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃))
Assertion
Ref Expression
ostth3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑦   𝑛,𝐾   𝑥,𝑛,𝑎,𝑝,𝑞,𝑦,𝜑   𝐽,𝑎,𝑝,𝑦   𝑆,𝑎   𝐴,𝑎,𝑛,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝑄,𝑛,𝑥,𝑦   𝐹,𝑎,𝑛,𝑝,𝑞,𝑦   𝑃,𝑎,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝑅,𝑎,𝑝,𝑞,𝑦   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛,𝑞,𝑝)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem ostth3
Dummy variables 𝑘 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth3.5 . . . 4 𝑅 = -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))
2 ostth.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐴)
3 ostth3.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4 prmuz2 16032 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
6 eluz2b2 12313 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
75, 6sylib 220 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
87simpld 497 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
9 nnq 12353 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
11 qabsabv.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
12 qrng.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (ℂflds ℚ)
1312qrngbas 26187 . . . . . . . . . 10 ℚ = (Base‘𝑄)
1411, 13abvcl 19587 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑃 ∈ ℚ) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
152, 10, 14syl2anc 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
168nnne0d 11679 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ≠ 0)
1712qrng0 26189 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑄)
1811, 13, 17abvgt0 19591 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0) → 0 < (𝐹𝑃))
192, 10, 16, 18syl3anc 1365 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑃))
2015, 19elrpd 12420 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ ℝ+)
2120relogcld 25198 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) ∈ ℝ)
228nnred 11645 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
237simprd 498 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝑃)
2422, 23rplogcld 25204 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
2521, 24rerpdivcld 12454 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
2625renegcld 11059 . . . 4 (𝜑 → -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
271, 26eqeltrid 2915 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
28 ostth3.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑃) < 1)
29 1rp 12385 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
30 logltb 25175 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑃) < 1 ↔ (log‘(𝐹𝑃)) < (log‘1)))
3120, 29, 30sylancl 588 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑃) < 1 ↔ (log‘(𝐹𝑃)) < (log‘1)))
3228, 31mpbid 234 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) < (log‘1))
33 log1 25161 . . . . . . . 8 (log‘1) = 0
3432, 33breqtrdi 5098 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) < 0)
3524rpcnd 12425 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℂ)
3635mul01d 10831 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝑃) · 0) = 0)
3734, 36breqtrrd 5085 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) < ((log‘𝑃) · 0))
38 0red 10636 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3921, 38, 24ltdivmuld 12474 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0 ↔ (log‘(𝐹𝑃)) < ((log‘𝑃) · 0)))
4037, 39mpbird 259 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0)
4125lt0neg1d 11201 . . . . 5 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0 ↔ 0 < -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))))
4240, 41mpbid 234 . . . 4 (𝜑 → 0 < -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
4342, 1breqtrrdi 5099 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝑅)
4427, 43elrpd 12420 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
45 padic.j . . . . 5 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
4612, 11, 45padicabvcxp 26200 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
473, 44, 46syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
48 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑃 → ((𝐽𝑃)‘𝑦) = ((𝐽𝑃)‘𝑃))
4948oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑃 → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅))
50 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))
51 ovex 7181 . . . . . . . . 9 (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅) ∈ V
5249, 50, 51fvmpt 6761 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℚ → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) = (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅))
5310, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) = (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅))
5445padicval 26185 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑃) = if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))))
553, 10, 54syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐽𝑃)‘𝑃) = if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))))
5616neneqd 3019 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑃 = 0)
5756iffalsed 4476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)))
588nncnd 11646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
5958exp1d 13497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
6059oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = (𝑃 pCnt 𝑃))
61 1z 12004 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
62 pcid 16201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
633, 61, 62sylancl 588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
6460, 63eqtr3d 2856 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑃) = 1)
6564negeqd 10872 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(𝑃 pCnt 𝑃) = -1)
6665oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃↑-1))
67 neg1z 12010 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℤ
6867a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
6958, 16, 68cxpexpzd 25286 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃𝑐-1) = (𝑃↑-1))
7066, 69eqtr4d 2857 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃𝑐-1))
7155, 57, 703eqtrd 2858 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐽𝑃)‘𝑃) = (𝑃𝑐-1))
7271oveq1d 7163 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-1)↑𝑐𝑅))
7327recnd 10661 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
7473mulm1d 11084 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1 · 𝑅) = -𝑅)
751negeqi 10871 . . . . . . . . . . 11 -𝑅 = --((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))
7625recnd 10661 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℂ)
7776negnegd 10980 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → --((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) = ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
7875, 77syl5eq 2866 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝑅 = ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
7974, 78eqtrd 2854 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 · 𝑅) = ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
8079oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑐(-1 · 𝑅)) = (𝑃𝑐((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))))
818nnrpd 12421 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
82 neg1rr 11744 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
8382a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
8481, 83, 73cxpmuld 25311 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑐(-1 · 𝑅)) = ((𝑃𝑐-1)↑𝑐𝑅))
8558, 16, 76cxpefd 25287 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃𝑐((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))) = (exp‘(((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃))))
8621recnd 10661 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) ∈ ℂ)
8724rpne0d 12428 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘𝑃) ≠ 0)
8886, 35, 87divcan1d 11409 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃)) = (log‘(𝐹𝑃)))
8988fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃))) = (exp‘(log‘(𝐹𝑃))))
9020reeflogd 25199 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑃))) = (𝐹𝑃))
9185, 89, 903eqtrd 2858 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑐((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))) = (𝐹𝑃))
9280, 84, 913eqtr3d 2862 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃𝑐-1)↑𝑐𝑅) = (𝐹𝑃))
9353, 72, 923eqtrrd 2859 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃))
94 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑃 = 𝑝 → (𝐹𝑃) = (𝐹𝑝))
95 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑃 = 𝑝 → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝))
9694, 95eqeq12d 2835 . . . . . 6 (𝑃 = 𝑝 → ((𝐹𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) ↔ (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
9793, 96syl5ibcom 247 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 = 𝑝 → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
9897adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 = 𝑝 → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
99 prmnn 16010 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
10099ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑝 ∈ ℕ)
101 nnq 12353 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℚ)
102100, 101syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑝 ∈ ℚ)
103 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑝 → ((𝐽𝑃)‘𝑦) = ((𝐽𝑃)‘𝑝))
104103oveq1d 7163 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑝 → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅))
105 ovex 7181 . . . . . . . 8 (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅) ∈ V
106104, 50, 105fvmpt 6761 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℚ → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝) = (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅))
107102, 106syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝) = (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅))
10873ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑅 ∈ ℂ)
1091081cxpd 25282 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (1↑𝑐𝑅) = 1)
1103ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑃 ∈ ℙ)
11145padicval 26185 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑝) = if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))))
112110, 102, 111syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐽𝑃)‘𝑝) = if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))))
113100nnne0d 11679 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑝 ≠ 0)
114113neneqd 3019 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ¬ 𝑝 = 0)
115114iffalsed 4476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)))
116 pceq0 16199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑝))
1173, 99, 116syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑝))
118 dvdsprm 16039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑝𝑃 = 𝑝))
1195, 118sylan 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑝𝑃 = 𝑝))
120119necon3bbid 3051 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃𝑝𝑃𝑝))
121117, 120bitrd 281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ 𝑃𝑝))
122121biimpar 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃 pCnt 𝑝) = 0)
123122negeqd 10872 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → -(𝑃 pCnt 𝑝) = -0)
124 neg0 10924 . . . . . . . . . . . 12 -0 = 0
125123, 124syl6eq 2870 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → -(𝑃 pCnt 𝑝) = 0)
126125oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)) = (𝑃↑0))
12758ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑃 ∈ ℂ)
128127exp0d 13496 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃↑0) = 1)
129126, 128eqtrd 2854 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)) = 1)
130112, 115, 1293eqtrd 2858 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐽𝑃)‘𝑝) = 1)
131130oveq1d 7163 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅) = (1↑𝑐𝑅))
132 2re 11703 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 2 ∈ ℝ)
134 ostth3.6 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃))
1352ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝐹𝐴)
13611, 13abvcl 19587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐴𝑝 ∈ ℚ) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ)
137135, 102, 136syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ)
13811, 13, 17abvgt0 19591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐴𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ≠ 0) → 0 < (𝐹𝑝))
139135, 102, 113, 138syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 0 < (𝐹𝑝))
140137, 139elrpd 12420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ+)
141140adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ+)
14220ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ+)
143141, 142ifcld 4510 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) ∈ ℝ+)
144134, 143eqeltrid 2915 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
145144rprecred 12434 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (1 / 𝑆) ∈ ℝ)
146 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑝) < 1)
14728ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑃) < 1)
148 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑝) = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) → ((𝐹𝑝) < 1 ↔ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1))
149 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑃) = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) → ((𝐹𝑃) < 1 ↔ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1))
150148, 149ifboth 4503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑝) < 1 ∧ (𝐹𝑃) < 1) → if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1)
151146, 147, 150syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1)
152134, 151eqbrtrid 5092 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 < 1)
153144reclt1d 12436 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝑆 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑆)))
154152, 153mpbid 234 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 1 < (1 / 𝑆))
155 expnbnd 13585 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑆) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝑆)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
156133, 145, 154, 155syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
157144rpcnd 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℂ)
158157adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℂ)
159144rpne0d 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ≠ 0)
160159adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ≠ 0)
161 nnz 11996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
162161adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
163158, 160, 162exprecd 13510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) = (1 / (𝑆𝑘)))
1642ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹𝐴)
165 ax-1ne0 10598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≠ 0
16612qrng1 26190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 = (1r𝑄)
16711, 166, 17abv1z 19595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
168164, 165, 167sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) = 1)
1698ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
170 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
171 nnexpcl 13434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
172169, 170, 171syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
173172nnzd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
17499ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℕ)
175 nnexpcl 13434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
176174, 170, 175syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
177176nnzd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝𝑘) ∈ ℤ)
178 bezout 15883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)))
179173, 177, 178syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)))
180 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑃𝑝)
1813ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
182 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℙ)
183 prmrp 16048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑃𝑝))
184181, 182, 183syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑃𝑝))
185180, 184mpbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝑃 gcd 𝑝) = 1)
186185adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 gcd 𝑝) = 1)
187169adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
188174adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
189 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
190 rppwr 15900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1))
191187, 188, 189, 190syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1))
192186, 191mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1)
193192adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1)
194193eqeq1d 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ↔ 1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))))
1952ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝐹𝐴)
196172adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
197 nnq 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃𝑘) ∈ ℕ → (𝑃𝑘) ∈ ℚ)
198196, 197syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑃𝑘) ∈ ℚ)
199 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑎 ∈ ℤ)
200 zq 12346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℚ)
201199, 200syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑎 ∈ ℚ)
202 qmulcl 12358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ)
203198, 201, 202syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ)
204176adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
205 nnq 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑝𝑘) ∈ ℕ → (𝑝𝑘) ∈ ℚ)
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑝𝑘) ∈ ℚ)
207 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℤ)
208 zq 12346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℚ)
209207, 208syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℚ)
210 qmulcl 12358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑝𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ)
211206, 209, 210syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ)
212 qaddcl 12356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ ∧ ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ)
213203, 211, 212syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ)
21411, 13abvcl 19587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝐴 ∧ (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
215195, 213, 214syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
21611, 13abvcl 19587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) ∈ ℝ)
217195, 203, 216syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) ∈ ℝ)
21811, 13abvcl 19587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℝ)
219195, 211, 218syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℝ)
220217, 219readdcld 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
221 rpexpcl 13440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ+)
222144, 161, 221syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ+)
223222rpred 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ)
224223adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ)
225 remulcl 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑘) ∈ ℝ) → (2 · (𝑆𝑘)) ∈ ℝ)
226132, 224, 225sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (2 · (𝑆𝑘)) ∈ ℝ)
227 qex 12352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℚ ∈ V
228 cnfldadd 20542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 + = (+g‘ℂfld)
22912, 228ressplusg 16604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (ℚ ∈ V → + = (+g𝑄))
230227, 229ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 + = (+g𝑄)
23111, 13, 230abvtri 19593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ ∧ ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))))
232195, 203, 211, 231syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))))
233 cnfldmul 20543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 · = (.r‘ℂfld)
23412, 233ressmulr 16617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
235227, 234ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 · = (.r𝑄)
23611, 13, 235abvmul 19592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) = ((𝐹‘(𝑃𝑘)) · (𝐹𝑎)))
237195, 198, 201, 236syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) = ((𝐹‘(𝑃𝑘)) · (𝐹𝑎)))
23810ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑃 ∈ ℚ)
239170ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24012, 11qabvexp 26194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑃𝑘)) = ((𝐹𝑃)↑𝑘))
241195, 238, 239, 240syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(𝑃𝑘)) = ((𝐹𝑃)↑𝑘))
242241oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘(𝑃𝑘)) · (𝐹𝑎)) = (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)))
243237, 242eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) = (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)))
244195, 238, 14syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
245244, 239reexpcld 13519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ∈ ℝ)
24611, 13abvcl 19587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
247195, 201, 246syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
248245, 247remulcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ∈ ℝ)
249 elz 11975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ)))
250249simprbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ))
251250adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ))
25211, 17abv0 19594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
2532, 252syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
254 0le1 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ≤ 1
255253, 254eqbrtrdi 5096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ 1)
256255adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘0) ≤ 1)
257 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑎 = 0 → (𝐹𝑎) = (𝐹‘0))
258257breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑎 = 0 → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (𝐹‘0) ≤ 1))
259256, 258syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 = 0 → (𝐹𝑎) ≤ 1))
260 ostth3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
261 nnq 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
26211, 13abvcl 19587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
2632, 261, 262syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
264 1re 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1 ∈ ℝ
265 lenlt 10711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑛)))
266263, 264, 265sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑛)))
267266ralbidva 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)))
268260, 267mpbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1)
269 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑛 = 𝑎 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑎))
270269breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛 = 𝑎 → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐹𝑎) ≤ 1))
271270rspccv 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
272268, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
273272adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
2742adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → 𝐹𝐴)
275200ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℚ)
276 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (invg𝑄) = (invg𝑄)
27711, 13, 276abvneg 19597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐹𝐴𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) = (𝐹𝑎))
278274, 275, 277syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) = (𝐹𝑎))
279 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑎) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)))
280279breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑎) → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) ≤ 1))
281268adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1)
28212qrngneg 26191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑎 ∈ ℚ → ((invg𝑄)‘𝑎) = -𝑎)
283275, 282syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ((invg𝑄)‘𝑎) = -𝑎)
284 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → -𝑎 ∈ ℕ)
285283, 284eqeltrd 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ((invg𝑄)‘𝑎) ∈ ℕ)
286280, 281, 285rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) ≤ 1)
287278, 286eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑎) ≤ 1)
288287expr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (-𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
289259, 273, 2883jaod 1422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝐹𝑎) ≤ 1))
290251, 289mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹𝑎) ≤ 1)
291290ralrimiva 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1)
292291ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1)
293 rsp 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1 → (𝑎 ∈ ℤ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
294292, 199, 293sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑎) ≤ 1)
295264a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℝ)
296161ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑘 ∈ ℤ)
29719ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < (𝐹𝑃))
298 expgt0 13454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐹𝑃)) → 0 < ((𝐹𝑃)↑𝑘))
299244, 296, 297, 298syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < ((𝐹𝑃)↑𝑘))
300 lemul2 11485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑎) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝑃)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐹𝑃)↑𝑘))) → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1)))
301247, 295, 245, 299, 300syl112anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1)))
302294, 301mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1))
303245recnd 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ∈ ℂ)
304303mulid1d 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1) = ((𝐹𝑃)↑𝑘))
305302, 304breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ ((𝐹𝑃)↑𝑘))
306144rpred 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℝ)
307306adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑆 ∈ ℝ)
308142adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ+)
309308rpge0d 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 ≤ (𝐹𝑃))
310174adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ∈ ℕ)
311310, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ∈ ℚ)
312195, 311, 136syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ)
313 max1 12570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑝) ∈ ℝ) → (𝐹𝑃) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
314244, 312, 313syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
315314, 134breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ≤ 𝑆)
316 leexp1a 13531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑃) ∧ (𝐹𝑃) ≤ 𝑆)) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
317244, 307, 239, 309, 315, 316syl32anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
318248, 245, 224, 305, 317letrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (𝑆𝑘))
319243, 318eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) ≤ (𝑆𝑘))
32011, 13, 235abvmul 19592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) = ((𝐹‘(𝑝𝑘)) · (𝐹𝑏)))
321195, 206, 209, 320syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) = ((𝐹‘(𝑝𝑘)) · (𝐹𝑏)))
32212, 11qabvexp 26194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑝𝑘)) = ((𝐹𝑝)↑𝑘))
323195, 311, 239, 322syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(𝑝𝑘)) = ((𝐹𝑝)↑𝑘))
324323oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘(𝑝𝑘)) · (𝐹𝑏)) = (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)))
325321, 324eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) = (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)))
326312, 239reexpcld 13519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ∈ ℝ)
32711, 13abvcl 19587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑏 ∈ ℚ) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
328195, 209, 327syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
329326, 328remulcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ∈ ℝ)
330 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
331330breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (𝐹𝑏) ≤ 1))
332331, 292, 207rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑏) ≤ 1)
333310nnne0d 11679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ≠ 0)
334195, 311, 333, 138syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < (𝐹𝑝))
335 expgt0 13454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐹𝑝)) → 0 < ((𝐹𝑝)↑𝑘))
336312, 296, 334, 335syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < ((𝐹𝑝)↑𝑘))
337 lemul2 11485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝑝)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐹𝑝)↑𝑘))) → ((𝐹𝑏) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1)))
338328, 295, 326, 336, 337syl112anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑏) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1)))
339332, 338mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1))
340326recnd 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ∈ ℂ)
341340mulid1d 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1) = ((𝐹𝑝)↑𝑘))
342339, 341breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ ((𝐹𝑝)↑𝑘))
343141adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ+)
344343rpge0d 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 ≤ (𝐹𝑝))
345 max2 12572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑝) ∈ ℝ) → (𝐹𝑝) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
346244, 312, 345syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
347346, 134breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ≤ 𝑆)
348 leexp1a 13531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑝) ≤ 𝑆)) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
349312, 307, 239, 344, 347, 348syl32anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
350329, 326, 224, 342, 349letrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (𝑆𝑘))
351325, 350eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) ≤ (𝑆𝑘))
352217, 219, 224, 224, 319, 351le2addd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝑆𝑘) + (𝑆𝑘)))
353222rpcnd 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℂ)
3543532timesd 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘) + (𝑆𝑘)))
355354adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (2 · (𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘) + (𝑆𝑘)))
356352, 355breqtrrd 5085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
357215, 220, 226, 232, 356letrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
358 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) = (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))))
359358breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → ((𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘)) ↔ (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
360357, 359syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
361194, 360sylbid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
362361anassrs 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
363362rexlimdvva 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
364179, 363mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
365168, 364eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
366222rpregt0d 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑘)))
367 ledivmul2 11511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑘))) → ((1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
368264, 132, 366, 367mp3an12i 1458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
369365, 368mpbird 259 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2)
370163, 369eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2)
371 reexpcl 13438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 / 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ)
372145, 170, 371syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ)
373 lenlt 10711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2 ↔ ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘)))
374372, 132, 373sylancl 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2 ↔ ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘)))
375370, 374mpbid 234 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
376375pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘) → ¬ (𝐹𝑝) < 1))
377376rexlimdva 3282 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘) → ¬ (𝐹𝑝) < 1))
378156, 377mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ¬ (𝐹𝑝) < 1)
379378expr 459 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐹𝑝) < 1 → ¬ (𝐹𝑝) < 1))
380379pm2.01d 192 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ¬ (𝐹𝑝) < 1)
381 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑝 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑝))
382381breq2d 5069 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑝 → (1 < (𝐹𝑛) ↔ 1 < (𝐹𝑝)))
383382notbid 320 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑝 → (¬ 1 < (𝐹𝑛) ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑝)))
384260ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
385383, 384, 100rspcdva 3623 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ¬ 1 < (𝐹𝑝))
386 lttri3 10716 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑝) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑝) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑝) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑝))))
387137, 264, 386sylancl 588 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐹𝑝) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑝) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑝))))
388380, 385, 387mpbir2and 711 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) = 1)
389109, 131, 3883eqtr4d 2864 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅) = (𝐹𝑝))
390107, 389eqtr2d 2855 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝))
391390ex 415 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑝 → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
39298, 391pm2.61dne 3101 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝))
39312, 11, 2, 47, 392ostthlem2 26196 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)))
394 oveq2 7156 . . . 4 (𝑎 = 𝑅 → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎) = (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))
395394mpteq2dv 5153 . . 3 (𝑎 = 𝑅 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)))
396395rspceeqv 3636 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ+𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
39744, 393, 396syl2anc 586 1 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3o 1080   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wral 3136  wrex 3137  Vcvv 3493  ifcif 4465   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668  -cneg 10863   / cdiv 11289  cn 11630  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  cq 12340  +crp 12381  cexp 13421  expce 15407  cdvds 15599   gcd cgcd 15835  cprime 16007   pCnt cpc 16165  s cress 16476  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  invgcminusg 18096  AbsValcabv 19579  fldccnfld 20537  logclog 25130  𝑐ccxp 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-bc 13655  df-hash 13683  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-gcd 15836  df-prm 16008  df-pc 16166  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-subrg 19525  df-abv 19580  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lp 21736  df-perf 21737  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-haus 21915  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-limc 24456  df-dv 24457  df-log 25132  df-cxp 25133
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