ostth3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem ostth3 27958

Description: - Lemma for ostth 27959: p-adic case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂ_fld ↾_s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j	⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostth3.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
ostth3.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
ostth3.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) < 1)
ostth3.5	⊢ 𝑅 = -((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃))
ostth3.6	⊢ 𝑆 = if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃))

**Assertion**
Ref	Expression
ostth3	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑎)))

Distinct variable groups: 𝑛,𝑝,𝑦 𝑛,𝐾 𝑥,𝑛,𝑎,𝑝,𝑞,𝑦,𝜑 𝐽,𝑎,𝑝,𝑦 𝑆,𝑎 𝐴,𝑎,𝑛,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦 𝑄,𝑛,𝑥,𝑦 𝐹,𝑎,𝑛,𝑝,𝑞,𝑦 𝑃,𝑎,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦 𝑅,𝑎,𝑝,𝑞,𝑦 𝑥,𝐹 Allowed substitution hints: 𝑃(𝑛) 𝑄(𝑞, 𝑝, 𝑎) 𝑅(𝑥, 𝑛) 𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑛, 𝑞, 𝑝) 𝐽(𝑥, 𝑛, 𝑞) 𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑞, 𝑝, 𝑎)

Proof of Theorem ostth3 Dummy variables 𝑘 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth3.5	. . . 4 ⊢ 𝑅 = -((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃))
2		ostth.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
3		ostth3.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4		prmuz2 16864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
6		eluz2b2 13041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
7	5, 6	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
8	7	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
9		nnq 13082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
11		qabsabv.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
12		qrng.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑄 = (ℂ_fld ↾_s ℚ)
13	12	qrngbas 27939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
14	11, 13	abvcl 21066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
15	2, 10, 14	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
16	8	nnne0d 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
17	12	qrng0 27941	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0_g‘𝑄)
18	11, 13, 17	abvgt0 21070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0) → 0 < (𝐹‘𝑃))
19	2, 10, 16, 18	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐹‘𝑃))
20	15, 19	elrpd 13154	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ⁺)
21	20	relogcld 26944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ)
22	8	nnred 12343	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
23	7	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
24	22, 23	rplogcld 26950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℝ⁺)
25	21, 24	rerpdivcld 13188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
26	25	renegcld 11736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
27	1, 26	eqeltrid 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
28		ostth3.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) < 1)
29		1rp 13117	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
30		logltb 26921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ∈ ℝ⁺) → ((𝐹‘𝑃) < 1 ↔ (log‘(𝐹‘𝑃)) < (log‘1)))
31	20, 29, 30	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) < 1 ↔ (log‘(𝐹‘𝑃)) < (log‘1)))
32	28, 31	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑃)) < (log‘1))
33		log1 26906	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘1) = 0
34	32, 33	breqtrdi 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑃)) < 0)
35	24	rpcnd 13159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℂ)
36	35	mul01d 11502	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑃) · 0) = 0)
37	34, 36	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑃)) < ((log‘𝑃) · 0))
38		0red 11304	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
39	21, 38, 24	ltdivmuld 13208	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0 ↔ (log‘(𝐹‘𝑃)) < ((log‘𝑃) · 0)))
40	37, 39	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0)
41	25	lt0neg1d 11878	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0 ↔ 0 < -((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃))))
42	40, 41	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < -((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)))
43	42, 1	breqtrrdi 5147	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑅)
44	27, 43	elrpd 13154	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
45		padic.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
46	12, 11, 45	padicabvcxp 27952	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
47	3, 44, 46	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
48		fveq2 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑃 → ((𝐽‘𝑃)‘𝑦) = ((𝐽‘𝑃)‘𝑃))
49	48	oveq1d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑃 → (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅) = (((𝐽‘𝑃)‘𝑃)↑_𝑐𝑅))
50		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))
51		ovex 7451	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽‘𝑃)‘𝑃)↑_𝑐𝑅) ∈ V
52	49, 50, 51	fvmpt 6991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℚ → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑃) = (((𝐽‘𝑃)‘𝑃)↑_𝑐𝑅))
53	10, 52	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑃) = (((𝐽‘𝑃)‘𝑃)↑_𝑐𝑅))
54	45	padicval 27937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑃) = if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))))
55	3, 10, 54	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝑃)‘𝑃) = if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))))
56	16	neneqd 2961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 = 0)
57	56	iffalsed 4493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)))
58	8	nncnd 12344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
59	58	exp1d 14277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
60	59	oveq2d 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = (𝑃 pCnt 𝑃))
61		1z 12719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
62		pcid 17044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
63	3, 61, 62	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
64	60, 63	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑃) = 1)
65	64	negeqd 11544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(𝑃 pCnt 𝑃) = -1)
66	65	oveq2d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃↑-1))
67		neg1z 12725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℤ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
69	58, 16, 68	cxpexpzd 27032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑_𝑐-1) = (𝑃↑-1))
70	66, 69	eqtr4d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃↑_𝑐-1))
71	55, 57, 70	3eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘𝑃)‘𝑃) = (𝑃↑_𝑐-1))
72	71	oveq1d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐽‘𝑃)‘𝑃)↑_𝑐𝑅) = ((𝑃↑_𝑐-1)↑_𝑐𝑅))
73	27	recnd 11330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
74	73	mulm1d 11761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝑅) = -𝑅)
75	1	negeqi 11543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -𝑅 = --((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃))
76	25	recnd 11330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℂ)
77	76	negnegd 11653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → --((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) = ((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)))
78	75, 77	eqtrid 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝑅 = ((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)))
79	74, 78	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝑅) = ((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)))
80	79	oveq2d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑_𝑐(-1 · 𝑅)) = (𝑃↑_𝑐((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃))))
81	8	nnrpd 13155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
82		neg1rr 12299	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℝ
83	82	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
84	81, 83, 73	cxpmuld 27058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑_𝑐(-1 · 𝑅)) = ((𝑃↑_𝑐-1)↑_𝑐𝑅))
85	58, 16, 76	cxpefd 27033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑_𝑐((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃))) = (exp‘(((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃))))
86	21	recnd 11330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐹‘𝑃)) ∈ ℂ)
87	24	rpne0d 13162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑃) ≠ 0)
88	86, 35, 87	divcan1d 12087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃)) = (log‘(𝐹‘𝑃)))
89	88	fveq2d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃))) = (exp‘(log‘(𝐹‘𝑃))))
90	20	reeflogd 26945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹‘𝑃))) = (𝐹‘𝑃))
91	85, 89, 90	3eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑_𝑐((log‘(𝐹‘𝑃)) / (log‘𝑃))) = (𝐹‘𝑃))
92	80, 84, 91	3eqtr3d 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑_𝑐-1)↑_𝑐𝑅) = (𝐹‘𝑃))
93	53, 72, 92	3eqtrrd 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑃))
94		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 𝑝 → (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑝))
95		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 𝑝 → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝))
96	94, 95	eqeq12d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 𝑝 → ((𝐹‘𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑃) ↔ (𝐹‘𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝)))
97	93, 96	syl5ibcom 248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 = 𝑝 → (𝐹‘𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝)))
98	97	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 = 𝑝 → (𝐹‘𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝)))
99		prmnn 16842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
100	99	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → 𝑝 ∈ ℕ)
101		nnq 13082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℚ)
102	100, 101	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → 𝑝 ∈ ℚ)
103		fveq2 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑝 → ((𝐽‘𝑃)‘𝑦) = ((𝐽‘𝑃)‘𝑝))
104	103	oveq1d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑝 → (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅) = (((𝐽‘𝑃)‘𝑝)↑_𝑐𝑅))
105		ovex 7451	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽‘𝑃)‘𝑝)↑_𝑐𝑅) ∈ V
106	104, 50, 105	fvmpt 6991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℚ → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝) = (((𝐽‘𝑃)‘𝑝)↑_𝑐𝑅))
107	102, 106	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝) = (((𝐽‘𝑃)‘𝑝)↑_𝑐𝑅))
108	73	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → 𝑅 ∈ ℂ)
109	108	1cxpd 27028	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (1↑_𝑐𝑅) = 1)
110	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → 𝑃 ∈ ℙ)
111	45	padicval 27937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑝) = if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))))
112	110, 102, 111	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑝) = if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))))
113	100	nnne0d 12381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → 𝑝 ≠ 0)
114	113	neneqd 2961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ¬ 𝑝 = 0)
115	114	iffalsed 4493	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)))
116		pceq0 17042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑝))
117	3, 99, 116	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑝))
118		dvdsprm 16872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝑝 ↔ 𝑃 = 𝑝))
119	5, 118	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝑝 ↔ 𝑃 = 𝑝))
120	119	necon3bbid 2993	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑝 ↔ 𝑃 ≠ 𝑝))
121	117, 120	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ 𝑃 ≠ 𝑝))
122	121	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (𝑃 pCnt 𝑝) = 0)
123	122	negeqd 11544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → -(𝑃 pCnt 𝑝) = -0)
124		neg0 11597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -0 = 0
125	123, 124	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → -(𝑃 pCnt 𝑝) = 0)
126	125	oveq2d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)) = (𝑃↑0))
127	58	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → 𝑃 ∈ ℂ)
128	127	exp0d 14276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (𝑃↑0) = 1)
129	126, 128	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)) = 1)
130	112, 115, 129	3eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ((𝐽‘𝑃)‘𝑝) = 1)
131	130	oveq1d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (((𝐽‘𝑃)‘𝑝)↑_𝑐𝑅) = (1↑_𝑐𝑅))
132		2re 12410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 2 ∈ ℝ)
134		ostth3.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃))
135	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → 𝐹 ∈ 𝐴)
136	11, 13	abvcl 21066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑝) ∈ ℝ)
137	135, 102, 136	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (𝐹‘𝑝) ∈ ℝ)
138	11, 13, 17	abvgt0 21070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ≠ 0) → 0 < (𝐹‘𝑝))
139	135, 102, 113, 138	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → 0 < (𝐹‘𝑝))
140	137, 139	elrpd 13154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (𝐹‘𝑝) ∈ ℝ⁺)
141	140	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹‘𝑝) ∈ ℝ⁺)
142	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ⁺)
143	141, 142	ifcld 4529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ⁺)
144	134, 143	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℝ⁺)
145	144	rprecred 13168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (1 / 𝑆) ∈ ℝ)
146		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹‘𝑝) < 1)
147	28	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝐹‘𝑃) < 1)
148		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑝) = if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)) → ((𝐹‘𝑝) < 1 ↔ if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)) < 1))
149		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)) → ((𝐹‘𝑃) < 1 ↔ if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)) < 1))
150	148, 149	ifboth 4522	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑝) < 1 ∧ (𝐹‘𝑃) < 1) → if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)) < 1)
151	146, 147, 150	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)) < 1)
152	134, 151	eqbrtrid 5140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑆 < 1)
153	144	reclt1d 13170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝑆 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑆)))
154	152, 153	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 1 < (1 / 𝑆))
155		expnbnd 14369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑆) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝑆)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
156	133, 145, 154, 155	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
157	144	rpcnd 13159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℂ)
158	157	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℂ)
159	144	rpne0d 13162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑆 ≠ 0)
160	159	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ≠ 0)
161		nnz 12707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
162	161	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
163	158, 160, 162	exprecd 14290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) = (1 / (𝑆↑𝑘)))
164	2	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ 𝐴)
165		ax-1ne0 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ≠ 0
166	12	qrng1 27942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 = (1_r‘𝑄)
167	11, 166, 17	abv1z 21074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
168	164, 165, 167	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) = 1)
169	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
170		nnnn0 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ₀)
171		nnexpcl 14210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
172	169, 170, 171	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
173	172	nnzd 12712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℤ)
174	99	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℕ)
175		nnexpcl 14210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℕ)
176	174, 170, 175	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℕ)
177	176	nnzd 12712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℤ)
178		bezout 16709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃↑𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)))
179	173, 177, 178	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)))
180		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑃 ≠ 𝑝)
181	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
182		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℙ)
183		prmrp 16881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑝))
184	181, 182, 183	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑝))
185	180, 184	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (𝑃 gcd 𝑝) = 1)
186	185	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 gcd 𝑝) = 1)
187	169	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
188	174	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
189		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
190		rppwr 16727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = 1))
191	187, 188, 189, 190	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = 1))
192	186, 191	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = 1)
193	192	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = 1)
194	193	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) ↔ 1 = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏))))
195	2	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
196	172	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℕ)
197		nnq 13082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃↑𝑘) ∈ ℕ → (𝑃↑𝑘) ∈ ℚ)
198	196, 197	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑃↑𝑘) ∈ ℚ)
199		simprrl 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑎 ∈ ℤ)
200		zq 13074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℚ)
201	199, 200	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑎 ∈ ℚ)
202		qmulcl 13088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃↑𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → ((𝑃↑𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ)
203	198, 201, 202	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑃↑𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ)
204	176	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℕ)
205		nnq 13082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑝↑𝑘) ∈ ℕ → (𝑝↑𝑘) ∈ ℚ)
206	204, 205	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑝↑𝑘) ∈ ℚ)
207		simprrr 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℤ)
208		zq 13074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℚ)
209	207, 208	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℚ)
210		qmulcl 13088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑝↑𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → ((𝑝↑𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ)
211	206, 209, 210	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑝↑𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ)
212		qaddcl 13086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃↑𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ ∧ ((𝑝↑𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ)
213	203, 211, 212	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ)
214	11, 13	abvcl 21066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ) → (𝐹‘(((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
215	195, 213, 214	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
216	11, 13	abvcl 21066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃↑𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) ∈ ℝ)
217	195, 203, 216	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) ∈ ℝ)
218	11, 13	abvcl 21066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑝↑𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) ∈ ℝ)
219	195, 211, 218	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) ∈ ℝ)
220	217, 219	readdcld 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
221		rpexpcl 14216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆↑𝑘) ∈ ℝ⁺)
222	144, 161, 221	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆↑𝑘) ∈ ℝ⁺)
223	222	rpred 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆↑𝑘) ∈ ℝ)
224	223	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑆↑𝑘) ∈ ℝ)
225		remulcl 11278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑆↑𝑘) ∈ ℝ) → (2 · (𝑆↑𝑘)) ∈ ℝ)
226	132, 224, 225	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (2 · (𝑆↑𝑘)) ∈ ℝ)
227		qex 13081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ℚ ∈ V
228		cnfldadd 21677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ + = (+_g‘ℂ_fld)
229	12, 228	ressplusg 17455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (ℚ ∈ V → + = (+_g‘𝑄))
230	227, 229	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ + = (+_g‘𝑄)
231	11, 13, 230	abvtri 21072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃↑𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ ∧ ((𝑝↑𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (𝐹‘(((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏))))
232	195, 203, 211, 231	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏))))
233		cnfldmul 21679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ · = (._r‘ℂ_fld)
234	12, 233	ressmulr 17471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (ℚ ∈ V → · = (._r‘𝑄))
235	227, 234	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ · = (._r‘𝑄)
236	11, 13, 235	abvmul 21071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃↑𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) = ((𝐹‘(𝑃↑𝑘)) · (𝐹‘𝑎)))
237	195, 198, 201, 236	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) = ((𝐹‘(𝑃↑𝑘)) · (𝐹‘𝑎)))
238	10	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑃 ∈ ℚ)
239	170	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
240	12, 11	qabvexp 27946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐹‘(𝑃↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑃)↑𝑘))
241	195, 238, 239, 240	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(𝑃↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑃)↑𝑘))
242	241	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘(𝑃↑𝑘)) · (𝐹‘𝑎)) = (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · (𝐹‘𝑎)))
243	237, 242	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) = (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · (𝐹‘𝑎)))
244	195, 238, 14	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ)
245	244, 239	reexpcld 14299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘𝑃)↑𝑘) ∈ ℝ)
246	11, 13	abvcl 21066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
247	195, 201, 246	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑎) ∈ ℝ)
248	245, 247	remulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · (𝐹‘𝑎)) ∈ ℝ)
249		elz 12688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ)))
250	249	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ))
251	250	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ))
252	11, 17	abv0 21073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
253	2, 252	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
254		0le1 11832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ 0 ≤ 1
255	253, 254	eqbrtrdi 5144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ 1)
256	255	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘0) ≤ 1)
257		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘0))
258	257	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐹‘𝑎) ≤ 1 ↔ (𝐹‘0) ≤ 1))
259	256, 258	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 = 0 → (𝐹‘𝑎) ≤ 1))
260		ostth3.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
261		nnq 13082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
262	11, 13	abvcl 21066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
263	2, 261, 262	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ)
264		1re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ 1 ∈ ℝ
265		lenlt 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝐹‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑛) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)))
266	263, 264, 265	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑛) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)))
267	266	ralbidva 3184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛)))
268	260, 267	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ≤ 1)
269		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑎))
270	269	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑛 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐹‘𝑎) ≤ 1))
271	270	rspccv 3574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ≤ 1 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑎) ≤ 1))
272	268, 271	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑎) ≤ 1))
273	272	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑎) ≤ 1))
274	2	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
275	200	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℚ)
276		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (inv_g‘𝑄) = (inv_g‘𝑄)
277	11, 13, 276	abvneg 21076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹‘((inv_g‘𝑄)‘𝑎)) = (𝐹‘𝑎))
278	274, 275, 277	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((inv_g‘𝑄)‘𝑎)) = (𝐹‘𝑎))
279		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑛 = ((inv_g‘𝑄)‘𝑎) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘((inv_g‘𝑄)‘𝑎)))
280	279	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑛 = ((inv_g‘𝑄)‘𝑎) → ((𝐹‘𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐹‘((inv_g‘𝑄)‘𝑎)) ≤ 1))
281	268	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) ≤ 1)
282	12	qrngneg 27943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → ((inv_g‘𝑄)‘𝑎) = -𝑎)
283	275, 282	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ((inv_g‘𝑄)‘𝑎) = -𝑎)
284		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → -𝑎 ∈ ℕ)
285	283, 284	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ((inv_g‘𝑄)‘𝑎) ∈ ℕ)
286	280, 281, 285	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((inv_g‘𝑄)‘𝑎)) ≤ 1)
287	278, 286	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑎) ≤ 1)
288	287	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (-𝑎 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑎) ≤ 1))
289	259, 273, 288	3jaod 1456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑎) ≤ 1))
290	251, 289	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑎) ≤ 1)
291	290	ralrimiva 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹‘𝑎) ≤ 1)
292	291	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹‘𝑎) ≤ 1)
293		rsp 3251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹‘𝑎) ≤ 1 → (𝑎 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑎) ≤ 1))
294	292, 199, 293	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑎) ≤ 1)
295	264	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℝ)
296	161	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑘 ∈ ℤ)
297	19	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < (𝐹‘𝑃))
298		expgt0 14231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐹‘𝑃)) → 0 < ((𝐹‘𝑃)↑𝑘))
299	244, 296, 297, 298	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < ((𝐹‘𝑃)↑𝑘))
300		lemul2 12163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐹‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐹‘𝑃)↑𝑘))) → ((𝐹‘𝑎) ≤ 1 ↔ (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · (𝐹‘𝑎)) ≤ (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · 1)))
301	247, 295, 245, 299, 300	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘𝑎) ≤ 1 ↔ (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · (𝐹‘𝑎)) ≤ (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · 1)))
302	294, 301	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · (𝐹‘𝑎)) ≤ (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · 1))
303	245	recnd 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘𝑃)↑𝑘) ∈ ℂ)
304	303	mulridd 11319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · 1) = ((𝐹‘𝑃)↑𝑘))
305	302, 304	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · (𝐹‘𝑎)) ≤ ((𝐹‘𝑃)↑𝑘))
306	144	rpred 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℝ)
307	306	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑆 ∈ ℝ)
308	142	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑃) ∈ ℝ⁺)
309	308	rpge0d 13161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑃))
310	174	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ∈ ℕ)
311	310, 101	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ∈ ℚ)
312	195, 311, 136	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑝) ∈ ℝ)
313		max1 13308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑝) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑃) ≤ if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)))
314	244, 312, 313	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑃) ≤ if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)))
315	314, 134	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑆)
316		leexp1a 14311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (0 ≤ (𝐹‘𝑃) ∧ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑃)↑𝑘) ≤ (𝑆↑𝑘))
317	244, 307, 239, 309, 315, 316	syl32anc 1405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘𝑃)↑𝑘) ≤ (𝑆↑𝑘))
318	248, 245, 224, 305, 317	letrd 11460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑃)↑𝑘) · (𝐹‘𝑎)) ≤ (𝑆↑𝑘))
319	243, 318	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) ≤ (𝑆↑𝑘))
320	11, 13, 235	abvmul 21071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝↑𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) = ((𝐹‘(𝑝↑𝑘)) · (𝐹‘𝑏)))
321	195, 206, 209, 320	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) = ((𝐹‘(𝑝↑𝑘)) · (𝐹‘𝑏)))
322	12, 11	qabvexp 27946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐹‘(𝑝↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑝)↑𝑘))
323	195, 311, 239, 322	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(𝑝↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑝)↑𝑘))
324	323	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘(𝑝↑𝑘)) · (𝐹‘𝑏)) = (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · (𝐹‘𝑏)))
325	321, 324	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) = (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · (𝐹‘𝑏)))
326	312, 239	reexpcld 14299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘𝑝)↑𝑘) ∈ ℝ)
327	11, 13	abvcl 21066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
328	195, 209, 327	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑏) ∈ ℝ)
329	326, 328	remulcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · (𝐹‘𝑏)) ∈ ℝ)
330		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
331	330	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑎) ≤ 1 ↔ (𝐹‘𝑏) ≤ 1))
332	331, 292, 207	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑏) ≤ 1)
333	310	nnne0d 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ≠ 0)
334	195, 311, 333, 138	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < (𝐹‘𝑝))
335		expgt0 14231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐹‘𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐹‘𝑝)) → 0 < ((𝐹‘𝑝)↑𝑘))
336	312, 296, 334, 335	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < ((𝐹‘𝑝)↑𝑘))
337		lemul2 12163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐹‘𝑝)↑𝑘))) → ((𝐹‘𝑏) ≤ 1 ↔ (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · (𝐹‘𝑏)) ≤ (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · 1)))
338	328, 295, 326, 336, 337	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘𝑏) ≤ 1 ↔ (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · (𝐹‘𝑏)) ≤ (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · 1)))
339	332, 338	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · (𝐹‘𝑏)) ≤ (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · 1))
340	326	recnd 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘𝑝)↑𝑘) ∈ ℂ)
341	340	mulridd 11319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · 1) = ((𝐹‘𝑝)↑𝑘))
342	339, 341	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · (𝐹‘𝑏)) ≤ ((𝐹‘𝑝)↑𝑘))
343	141	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑝) ∈ ℝ⁺)
344	343	rpge0d 13161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 ≤ (𝐹‘𝑝))
345		max2 13310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑝) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑝) ≤ if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)))
346	244, 312, 345	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑝) ≤ if((𝐹‘𝑃) ≤ (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑝), (𝐹‘𝑃)))
347	346, 134	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘𝑝) ≤ 𝑆)
348		leexp1a 14311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐹‘𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) ∧ (0 ≤ (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑝) ≤ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑝)↑𝑘) ≤ (𝑆↑𝑘))
349	312, 307, 239, 344, 347, 348	syl32anc 1405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘𝑝)↑𝑘) ≤ (𝑆↑𝑘))
350	329, 326, 224, 342, 349	letrd 11460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹‘𝑝)↑𝑘) · (𝐹‘𝑏)) ≤ (𝑆↑𝑘))
351	325, 350	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) ≤ (𝑆↑𝑘))
352	217, 219, 224, 224, 319, 351	le2addd 11928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝑆↑𝑘) + (𝑆↑𝑘)))
353	222	rpcnd 13159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆↑𝑘) ∈ ℂ)
354	353	2timesd 12582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑆↑𝑘)) = ((𝑆↑𝑘) + (𝑆↑𝑘)))
355	354	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (2 · (𝑆↑𝑘)) = ((𝑆↑𝑘) + (𝑆↑𝑘)))
356	352, 355	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃↑𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘)))
357	215, 220, 226, 232, 356	letrd 11460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘)))
358		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) = (𝐹‘(((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏))))
359	358	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) → ((𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘)) ↔ (𝐹‘(((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘))))
360	357, 359	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (1 = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘))))
361	194, 360	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘))))
362	361	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘))))
363	362	rexlimdvva 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃↑𝑘) gcd (𝑝↑𝑘)) = (((𝑃↑𝑘) · 𝑎) + ((𝑝↑𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘))))
364	179, 363	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆↑𝑘)))
365	168, 364	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (2 · (𝑆↑𝑘)))
366	222	rpregt0d 13163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆↑𝑘)))
367		ledivmul2 12189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆↑𝑘))) → ((1 / (𝑆↑𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆↑𝑘))))
368	264, 132, 366, 367	mp3an12i 1494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (𝑆↑𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆↑𝑘))))
369	365, 368	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑆↑𝑘)) ≤ 2)
370	163, 369	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2)
371		reexpcl 14214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 / 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ)
372	145, 170, 371	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ)
373		lenlt 11381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2 ↔ ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘)))
374	372, 132, 373	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2 ↔ ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘)))
375	370, 374	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
376	375	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘) → ¬ (𝐹‘𝑝) < 1))
377	376	rexlimdva 3164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → (∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘) → ¬ (𝐹‘𝑝) < 1))
378	156, 377	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃 ≠ 𝑝 ∧ (𝐹‘𝑝) < 1)) → ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)
379	378	expr 462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ((𝐹‘𝑝) < 1 → ¬ (𝐹‘𝑝) < 1))
380	379	pm2.01d 192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ¬ (𝐹‘𝑝) < 1)
381		fveq2 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑝))
382	381	breq2d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (1 < (𝐹‘𝑛) ↔ 1 < (𝐹‘𝑝)))
383	382	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (¬ 1 < (𝐹‘𝑛) ↔ ¬ 1 < (𝐹‘𝑝)))
384	260	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹‘𝑛))
385	383, 384, 100	rspcdva 3578	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ¬ 1 < (𝐹‘𝑝))
386		lttri3 11386	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑝) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑝) = 1 ↔ (¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹‘𝑝))))
387	137, 264, 386	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → ((𝐹‘𝑝) = 1 ↔ (¬ (𝐹‘𝑝) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹‘𝑝))))
388	380, 385, 387	mpbir2and 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (𝐹‘𝑝) = 1)
389	109, 131, 388	3eqtr4d 2806	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (((𝐽‘𝑃)‘𝑝)↑_𝑐𝑅) = (𝐹‘𝑝))
390	107, 389	eqtr2d 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑝) → (𝐹‘𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝))
391	390	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 ≠ 𝑝 → (𝐹‘𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝)))
392	98, 391	pm2.61dne 3042	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))‘𝑝))
393	12, 11, 2, 47, 392	ostthlem2 27948	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅)))
394		oveq2 7426	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑅 → (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑎) = (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))
395	394	mpteq2dv 5199	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑅 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅)))
396	395	rspceeqv 3599	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑅))) → ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑎)))
397	44, 393, 396	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽‘𝑃)‘𝑦)↑_𝑐𝑎)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ w3o 1102 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2956 ∀wral 3077 ∃wrex 3087 Vcvv 3451 ifcif 4482 class class class wbr 5103 ↦ cmpt 5186 ‘cfv 6537 (class class class)co 7418 ℂcc 11191 ℝcr 11192 0cc0 11193 1c1 11194 + caddc 11196 · cmul 11198 < clt 11336 ≤ cle 11337 -cneg 11535 / cdiv 11966 ℕcn 12328 2c2 12390 ℕ₀cn0 12599 ℤcz 12686 ℤ_≥cuz 12958 ℚcq 13068 ℝ⁺crp 13113 ↑cexp 14197 expce 16220 ∥ cdvds 16415 gcd cgcd 16657 ℙcprime 16839 pCnt cpc 17007 ↾_s cress 17401 +_gcplusg 17421 ._rcmulr 17422 inv_gcminusg 19138 AbsValcabv 21058 ℂ_fldccnfld 21671 logclog 26875 ↑_𝑐ccxp 26876

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7749 ax-inf2 9635 ax-cnex 11249 ax-resscn 11250 ax-1cn 11251 ax-icn 11252 ax-addcl 11253 ax-addrcl 11254 ax-mulcl 11255 ax-mulrcl 11256 ax-mulcom 11257 ax-addass 11258 ax-mulass 11259 ax-distr 11260 ax-i2m1 11261 ax-1ne0 11262 ax-1rid 11263 ax-rnegex 11264 ax-rrecex 11265 ax-cnre 11266 ax-pre-lttri 11267 ax-pre-lttrn 11268 ax-pre-ltadd 11269 ax-pre-mulgt0 11270 ax-pre-sup 11271 ax-addf 11272 ax-mulf 11273

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7375 df-ov 7421 df-oprab 7422 df-mpo 7423 df-of 7691 df-om 7876 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-supp 8171 df-tpos 8236 df-frecs 8292 df-wrecs 8323 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8469 df-2o 8470 df-er 8710 df-map 8842 df-pm 8843 df-ixp 8919 df-en 8967 df-dom 8968 df-sdom 8969 df-fin 8970 df-fsupp 9347 df-fi 9396 df-sup 9427 df-inf 9428 df-oi 9497 df-card 10013 df-pnf 11338 df-mnf 11339 df-xr 11340 df-ltxr 11341 df-le 11342 df-sub 11536 df-neg 11537 df-div 11967 df-nn 12329 df-2 12398 df-3 12399 df-4 12400 df-5 12401 df-6 12402 df-7 12403 df-8 12404 df-9 12405 df-n0 12600 df-z 12687 df-dec 12808 df-uz 12959 df-q 13069 df-rp 13114 df-xneg 13234 df-xadd 13235 df-xmul 13236 df-ioo 13473 df-ioc 13474 df-ico 13475 df-icc 13476 df-fz 13633 df-fzo 13782 df-fl 13925 df-mod 14003 df-seq 14138 df-exp 14198 df-fac 14411 df-bc 14440 df-hash 14468 df-shft 15213 df-cj 15259 df-re 15260 df-im 15261 df-sqrt 15395 df-abs 15396 df-limsup 15631 df-clim 15648 df-rlim 15649 df-sum 15847 df-ef 16226 df-sin 16228 df-cos 16229 df-pi 16231 df-dvds 16416 df-gcd 16658 df-prm 16840 df-pc 17008 df-struct 17318 df-sets 17335 df-slot 17353 df-ndx 17365 df-base 17381 df-ress 17402 df-plusg 17434 df-mulr 17435 df-starv 17436 df-sca 17437 df-vsca 17438 df-ip 17439 df-tset 17440 df-ple 17441 df-ds 17443 df-unif 17444 df-hom 17445 df-cco 17446 df-rest 17586 df-topn 17587 df-0g 17605 df-gsum 17606 df-topgen 17607 df-pt 17608 df-prds 17611 df-xrs 17667 df-qtop 17672 df-imas 17673 df-xps 17675 df-mre 17749 df-mrc 17750 df-acs 17752 df-mgm 18809 df-sgrp 18901 df-mnd 18917 df-submnd 18972 df-grp 19140 df-minusg 19141 df-mulg 19271 df-subg 19326 df-cntz 19524 df-cmn 19989 df-abl 19990 df-mgp 20354 df-rng 20368 df-ur 20401 df-ring 20454 df-cring 20455 df-oppr 20560 df-dvdsr 20580 df-unit 20581 df-invr 20611 df-dvr 20624 df-subrng 20791 df-subrg 20815 df-drng 20975 df-abv 21059 df-psmet 21663 df-xmet 21664 df-met 21665 df-bl 21666 df-mopn 21667 df-fbas 21668 df-fg 21669 df-cnfld 21672 df-top 23205 df-topon 23222 df-topsp 23244 df-bases 23257 df-cld 23330 df-ntr 23331 df-cls 23332 df-nei 23409 df-lp 23447 df-perf 23448 df-cn 23538 df-cnp 23539 df-haus 23626 df-tx 23874 df-hmeo 24067 df-fil 24158 df-fm 24250 df-flim 24251 df-flf 24252 df-xms 24632 df-ms 24633 df-tms 24634 df-cncf 25192 df-limc 26179 df-dv 26180 df-log 26877 df-cxp 26878

This theorem is used by: ostth 27959

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