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Theorem ostth3 25541
Description: - Lemma for ostth 25542: p-adic case. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
ostth.k 𝐾 = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))
ostth.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostth3.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
ostth3.3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
ostth3.4 (𝜑 → (𝐹𝑃) < 1)
ostth3.5 𝑅 = -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))
ostth3.6 𝑆 = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃))
Assertion
Ref Expression
ostth3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑦   𝑛,𝐾   𝑥,𝑛,𝑎,𝑝,𝑞,𝑦,𝜑   𝐽,𝑎,𝑝,𝑦   𝑆,𝑎   𝐴,𝑎,𝑛,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝑄,𝑛,𝑥,𝑦   𝐹,𝑎,𝑛,𝑝,𝑞,𝑦   𝑃,𝑎,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝑅,𝑎,𝑝,𝑞,𝑦   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑛)   𝑄(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛,𝑞,𝑝)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem ostth3
Dummy variables 𝑘 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostth3.5 . . . 4 𝑅 = -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))
2 ostth.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐴)
3 ostth3.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4 prmuz2 15626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
6 eluz2b2 11980 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
75, 6sylib 209 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
87simpld 484 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
9 nnq 12020 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
11 qabsabv.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
12 qrng.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (ℂflds ℚ)
1312qrngbas 25522 . . . . . . . . . 10 ℚ = (Base‘𝑄)
1411, 13abvcl 19028 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑃 ∈ ℚ) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
152, 10, 14syl2anc 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
168nnne0d 11351 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ≠ 0)
1712qrng0 25524 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑄)
1811, 13, 17abvgt0 19032 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0) → 0 < (𝐹𝑃))
192, 10, 16, 18syl3anc 1483 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑃))
2015, 19elrpd 12083 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ ℝ+)
2120relogcld 24583 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) ∈ ℝ)
228nnred 11320 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
237simprd 485 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝑃)
2422, 23rplogcld 24589 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
2521, 24rerpdivcld 12117 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
2625renegcld 10742 . . . 4 (𝜑 → -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
271, 26syl5eqel 2889 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
28 ostth3.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑃) < 1)
29 1rp 12050 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
30 logltb 24560 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑃) < 1 ↔ (log‘(𝐹𝑃)) < (log‘1)))
3120, 29, 30sylancl 576 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑃) < 1 ↔ (log‘(𝐹𝑃)) < (log‘1)))
3228, 31mpbid 223 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) < (log‘1))
33 log1 24546 . . . . . . . 8 (log‘1) = 0
3432, 33syl6breq 4885 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) < 0)
3524rpcnd 12088 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℂ)
3635mul01d 10520 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝑃) · 0) = 0)
3734, 36breqtrrd 4872 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) < ((log‘𝑃) · 0))
38 0red 10328 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3921, 38, 24ltdivmuld 12137 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0 ↔ (log‘(𝐹𝑃)) < ((log‘𝑃) · 0)))
4037, 39mpbird 248 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0)
4125lt0neg1d 10882 . . . . 5 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) < 0 ↔ 0 < -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))))
4240, 41mpbid 223 . . . 4 (𝜑 → 0 < -((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
4342, 1syl6breqr 4886 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝑅)
4427, 43elrpd 12083 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
45 padic.j . . . . 5 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
4612, 11, 45padicabvcxp 25535 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
473, 44, 46syl2anc 575 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
48 fveq2 6408 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑃 → ((𝐽𝑃)‘𝑦) = ((𝐽𝑃)‘𝑃))
4948oveq1d 6889 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑃 → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅))
50 eqid 2806 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))
51 ovex 6906 . . . . . . . . 9 (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅) ∈ V
5249, 50, 51fvmpt 6503 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℚ → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) = (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅))
5310, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) = (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅))
5445padicval 25520 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑃) = if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))))
553, 10, 54syl2anc 575 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐽𝑃)‘𝑃) = if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))))
5616neneqd 2983 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑃 = 0)
5756iffalsed 4290 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑃 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃))) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)))
588nncnd 11321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
5958exp1d 13226 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃↑1) = 𝑃)
6059oveq2d 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = (𝑃 pCnt 𝑃))
61 1z 11673 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
62 pcid 15794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
633, 61, 62sylancl 576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃↑1)) = 1)
6460, 63eqtr3d 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑃) = 1)
6564negeqd 10560 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(𝑃 pCnt 𝑃) = -1)
6665oveq2d 6890 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃↑-1))
67 neg1z 11679 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℤ
6867a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
6958, 16, 68cxpexpzd 24671 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃𝑐-1) = (𝑃↑-1))
7066, 69eqtr4d 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑃)) = (𝑃𝑐-1))
7155, 57, 703eqtrd 2844 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐽𝑃)‘𝑃) = (𝑃𝑐-1))
7271oveq1d 6889 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐽𝑃)‘𝑃)↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-1)↑𝑐𝑅))
7327recnd 10353 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
7473mulm1d 10767 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-1 · 𝑅) = -𝑅)
751negeqi 10559 . . . . . . . . . . 11 -𝑅 = --((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))
7625recnd 10353 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) ∈ ℂ)
7776negnegd 10668 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → --((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) = ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
7875, 77syl5eq 2852 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝑅 = ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
7974, 78eqtrd 2840 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-1 · 𝑅) = ((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)))
8079oveq2d 6890 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑐(-1 · 𝑅)) = (𝑃𝑐((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))))
818nnrpd 12084 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
82 neg1rr 11407 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ
8382a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
8481, 83, 73cxpmuld 24694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑐(-1 · 𝑅)) = ((𝑃𝑐-1)↑𝑐𝑅))
8558, 16, 76cxpefd 24672 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃𝑐((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))) = (exp‘(((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃))))
8621recnd 10353 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘(𝐹𝑃)) ∈ ℂ)
8724rpne0d 12091 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘𝑃) ≠ 0)
8886, 35, 87divcan1d 11087 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃)) = (log‘(𝐹𝑃)))
8988fveq2d 6412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃)) · (log‘𝑃))) = (exp‘(log‘(𝐹𝑃))))
9020reeflogd 24584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(log‘(𝐹𝑃))) = (𝐹𝑃))
9185, 89, 903eqtrd 2844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑐((log‘(𝐹𝑃)) / (log‘𝑃))) = (𝐹𝑃))
9280, 84, 913eqtr3d 2848 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃𝑐-1)↑𝑐𝑅) = (𝐹𝑃))
9353, 72, 923eqtrrd 2845 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃))
94 fveq2 6408 . . . . . . 7 (𝑃 = 𝑝 → (𝐹𝑃) = (𝐹𝑝))
95 fveq2 6408 . . . . . . 7 (𝑃 = 𝑝 → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝))
9694, 95eqeq12d 2821 . . . . . 6 (𝑃 = 𝑝 → ((𝐹𝑃) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑃) ↔ (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
9793, 96syl5ibcom 236 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 = 𝑝 → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
9897adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃 = 𝑝 → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
99 prmnn 15606 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
10099ad2antlr 709 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑝 ∈ ℕ)
101 nnq 12020 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℚ)
102100, 101syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑝 ∈ ℚ)
103 fveq2 6408 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑝 → ((𝐽𝑃)‘𝑦) = ((𝐽𝑃)‘𝑝))
104103oveq1d 6889 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑝 → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅))
105 ovex 6906 . . . . . . . 8 (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅) ∈ V
106104, 50, 105fvmpt 6503 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℚ → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝) = (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅))
107102, 106syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝) = (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅))
10873ad2antrr 708 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑅 ∈ ℂ)
1091081cxpd 24667 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (1↑𝑐𝑅) = 1)
1103ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑃 ∈ ℙ)
11145padicval 25520 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑝) = if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))))
112110, 102, 111syl2anc 575 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐽𝑃)‘𝑝) = if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))))
113100nnne0d 11351 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑝 ≠ 0)
114113neneqd 2983 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ¬ 𝑝 = 0)
115114iffalsed 4290 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → if(𝑝 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝))) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)))
116 pceq0 15792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑝))
1173, 99, 116syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑝))
118 dvdsprm 15632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑝𝑃 = 𝑝))
1195, 118sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑝𝑃 = 𝑝))
120119necon3bbid 3015 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃𝑝𝑃𝑝))
121117, 120bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 pCnt 𝑝) = 0 ↔ 𝑃𝑝))
122121biimpar 465 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃 pCnt 𝑝) = 0)
123122negeqd 10560 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → -(𝑃 pCnt 𝑝) = -0)
124 neg0 10612 . . . . . . . . . . . 12 -0 = 0
125123, 124syl6eq 2856 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → -(𝑃 pCnt 𝑝) = 0)
126125oveq2d 6890 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)) = (𝑃↑0))
12758ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝑃 ∈ ℂ)
128127exp0d 13225 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃↑0) = 1)
129126, 128eqtrd 2840 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑝)) = 1)
130112, 115, 1293eqtrd 2844 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐽𝑃)‘𝑝) = 1)
131130oveq1d 6889 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅) = (1↑𝑐𝑅))
132 2re 11374 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 2 ∈ ℝ)
134 ostth3.6 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃))
1352ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 𝐹𝐴)
13611, 13abvcl 19028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐴𝑝 ∈ ℚ) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ)
137135, 102, 136syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ)
13811, 13, 17abvgt0 19032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐴𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑝 ≠ 0) → 0 < (𝐹𝑝))
139135, 102, 113, 138syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → 0 < (𝐹𝑝))
140137, 139elrpd 12083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ+)
141140adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ+)
14220ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ+)
143141, 142ifcld 4324 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) ∈ ℝ+)
144134, 143syl5eqel 2889 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℝ+)
145144rprecred 12097 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (1 / 𝑆) ∈ ℝ)
146 simprr 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑝) < 1)
14728ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝐹𝑃) < 1)
148 breq1 4847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑝) = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) → ((𝐹𝑝) < 1 ↔ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1))
149 breq1 4847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑃) = if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) → ((𝐹𝑃) < 1 ↔ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1))
150148, 149ifboth 4317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑝) < 1 ∧ (𝐹𝑃) < 1) → if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1)
151146, 147, 150syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)) < 1)
152134, 151syl5eqbr 4879 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 < 1)
153144reclt1d 12099 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝑆 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑆)))
154152, 153mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 1 < (1 / 𝑆))
155 expnbnd 13216 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑆) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝑆)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
156133, 145, 154, 155syl3anc 1483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
157144rpcnd 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℂ)
158157adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℂ)
159144rpne0d 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ≠ 0)
160159adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ≠ 0)
161 nnz 11665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
162161adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
163158, 160, 162exprecd 13239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) = (1 / (𝑆𝑘)))
1642ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹𝐴)
165 ax-1ne0 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≠ 0
16612qrng1 25525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 = (1r𝑄)
16711, 166, 17abv1z 19036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
168164, 165, 167sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) = 1)
1698ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
170 nnnn0 11566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
171 nnexpcl 13096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
172169, 170, 171syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
173172nnzd 11747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
17499ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℕ)
175 nnexpcl 13096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
176174, 170, 175syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
177176nnzd 11747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑝𝑘) ∈ ℤ)
178 bezout 15479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)))
179173, 177, 178syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)))
180 simprl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑃𝑝)
1813ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
182 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑝 ∈ ℙ)
183 prmrp 15641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑃𝑝))
184181, 182, 183syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 ↔ 𝑃𝑝))
185180, 184mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (𝑃 gcd 𝑝) = 1)
186185adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃 gcd 𝑝) = 1)
187169adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
188174adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
189 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
190 rppwr 15496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1))
191187, 188, 189, 190syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃 gcd 𝑝) = 1 → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1))
192186, 191mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1)
193192adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = 1)
194193eqeq1d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ↔ 1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))))
1952ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝐹𝐴)
196172adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
197 nnq 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃𝑘) ∈ ℕ → (𝑃𝑘) ∈ ℚ)
198196, 197syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑃𝑘) ∈ ℚ)
199 simprrl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑎 ∈ ℤ)
200 zq 12013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℚ)
201199, 200syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑎 ∈ ℚ)
202 qmulcl 12025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ)
203198, 201, 202syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ)
204176adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
205 nnq 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑝𝑘) ∈ ℕ → (𝑝𝑘) ∈ ℚ)
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑝𝑘) ∈ ℚ)
207 simprrr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℤ)
208 zq 12013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℚ)
209207, 208syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑏 ∈ ℚ)
210 qmulcl 12025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑝𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ)
211206, 209, 210syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ)
212 qaddcl 12023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ ∧ ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ)
213203, 211, 212syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ)
21411, 13abvcl 19028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝐴 ∧ (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℚ) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
215195, 213, 214syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
21611, 13abvcl 19028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) ∈ ℝ)
217195, 203, 216syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) ∈ ℝ)
21811, 13abvcl 19028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℝ)
219195, 211, 218syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) ∈ ℝ)
220217, 219readdcld 10354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))) ∈ ℝ)
221 rpexpcl 13102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑆 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ+)
222144, 161, 221syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ+)
223222rpred 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ)
224223adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝑆𝑘) ∈ ℝ)
225 remulcl 10306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑘) ∈ ℝ) → (2 · (𝑆𝑘)) ∈ ℝ)
226132, 224, 225sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (2 · (𝑆𝑘)) ∈ ℝ)
227 qex 12019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℚ ∈ V
228 cnfldadd 19959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 + = (+g‘ℂfld)
22912, 228ressplusg 16204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (ℚ ∈ V → + = (+g𝑄))
230227, 229ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 + = (+g𝑄)
23111, 13, 230abvtri 19034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝐴 ∧ ((𝑃𝑘) · 𝑎) ∈ ℚ ∧ ((𝑝𝑘) · 𝑏) ∈ ℚ) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))))
232195, 203, 211, 231syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))))
233 cnfldmul 19960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 · = (.r‘ℂfld)
23412, 233ressmulr 16217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
235227, 234ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 · = (.r𝑄)
23611, 13, 235abvmul 19033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) = ((𝐹‘(𝑃𝑘)) · (𝐹𝑎)))
237195, 198, 201, 236syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) = ((𝐹‘(𝑃𝑘)) · (𝐹𝑎)))
23810ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑃 ∈ ℚ)
239170ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24012, 11qabvexp 25529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑃𝑘)) = ((𝐹𝑃)↑𝑘))
241195, 238, 239, 240syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(𝑃𝑘)) = ((𝐹𝑃)↑𝑘))
242241oveq1d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘(𝑃𝑘)) · (𝐹𝑎)) = (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)))
243237, 242eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) = (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)))
244195, 238, 14syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ)
245244, 239reexpcld 13248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ∈ ℝ)
24611, 13abvcl 19028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
247195, 201, 246syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑎) ∈ ℝ)
248245, 247remulcld 10355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ∈ ℝ)
249 elz 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ)))
250249simprbi 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ))
251250adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ))
25211, 17abv0 19035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
2532, 252syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
254 0le1 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ≤ 1
255253, 254syl6eqbr 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ 1)
256255adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹‘0) ≤ 1)
257 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑎 = 0 → (𝐹𝑎) = (𝐹‘0))
258257breq1d 4854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑎 = 0 → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (𝐹‘0) ≤ 1))
259256, 258syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 = 0 → (𝐹𝑎) ≤ 1))
260 ostth3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
261 nnq 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
26211, 13abvcl 19028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝐹𝐴𝑛 ∈ ℚ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
2632, 261, 262syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
264 1re 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1 ∈ ℝ
265 lenlt 10401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑛)))
266263, 264, 265sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑛)))
267266ralbidva 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛)))
268260, 267mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1)
269 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑛 = 𝑎 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑎))
270269breq1d 4854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛 = 𝑎 → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐹𝑎) ≤ 1))
271270rspccv 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
272268, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑 → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
273272adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
2742adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → 𝐹𝐴)
275200ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℚ)
276 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (invg𝑄) = (invg𝑄)
27711, 13, 276abvneg 19038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐹𝐴𝑎 ∈ ℚ) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) = (𝐹𝑎))
278274, 275, 277syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) = (𝐹𝑎))
279 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑎) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)))
280279breq1d 4854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑎) → ((𝐹𝑛) ≤ 1 ↔ (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) ≤ 1))
281268adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ≤ 1)
28212qrngneg 25526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑎 ∈ ℚ → ((invg𝑄)‘𝑎) = -𝑎)
283275, 282syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ((invg𝑄)‘𝑎) = -𝑎)
284 simprr 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → -𝑎 ∈ ℕ)
285283, 284eqeltrd 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → ((invg𝑄)‘𝑎) ∈ ℕ)
286280, 281, 285rspcdva 3508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑎)) ≤ 1)
287278, 286eqbrtrrd 4868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ -𝑎 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑎) ≤ 1)
288287expr 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (-𝑎 ∈ ℕ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
289259, 273, 2883jaod 1546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 = 0 ∨ 𝑎 ∈ ℕ ∨ -𝑎 ∈ ℕ) → (𝐹𝑎) ≤ 1))
290251, 289mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝐹𝑎) ≤ 1)
291290ralrimiva 3154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1)
292291ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1)
293 rsp 3117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (∀𝑎 ∈ ℤ (𝐹𝑎) ≤ 1 → (𝑎 ∈ ℤ → (𝐹𝑎) ≤ 1))
294292, 199, 293sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑎) ≤ 1)
295264a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 1 ∈ ℝ)
296161ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑘 ∈ ℤ)
29719ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < (𝐹𝑃))
298 expgt0 13116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐹𝑃)) → 0 < ((𝐹𝑃)↑𝑘))
299244, 296, 297, 298syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < ((𝐹𝑃)↑𝑘))
300 lemul2 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑎) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝑃)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐹𝑃)↑𝑘))) → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1)))
301247, 295, 245, 299, 300syl112anc 1486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1)))
302294, 301mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1))
303245recnd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ∈ ℂ)
304303mulid1d 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · 1) = ((𝐹𝑃)↑𝑘))
305302, 304breqtrd 4870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ ((𝐹𝑃)↑𝑘))
306144rpred 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → 𝑆 ∈ ℝ)
307306adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑆 ∈ ℝ)
308142adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ∈ ℝ+)
309308rpge0d 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 ≤ (𝐹𝑃))
310174adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ∈ ℕ)
311310, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ∈ ℚ)
312195, 311, 136syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ)
313 max1 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑝) ∈ ℝ) → (𝐹𝑃) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
314244, 312, 313syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
315314, 134syl6breqr 4886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑃) ≤ 𝑆)
316 leexp1a 13142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑃) ∧ (𝐹𝑃) ≤ 𝑆)) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
317244, 307, 239, 309, 315, 316syl32anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑃)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
318248, 245, 224, 305, 317letrd 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑃)↑𝑘) · (𝐹𝑎)) ≤ (𝑆𝑘))
319243, 318eqbrtrd 4866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) ≤ (𝑆𝑘))
32011, 13, 235abvmul 19033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℚ ∧ 𝑏 ∈ ℚ) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) = ((𝐹‘(𝑝𝑘)) · (𝐹𝑏)))
321195, 206, 209, 320syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) = ((𝐹‘(𝑝𝑘)) · (𝐹𝑏)))
32212, 11qabvexp 25529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑝 ∈ ℚ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑝𝑘)) = ((𝐹𝑝)↑𝑘))
323195, 311, 239, 322syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(𝑝𝑘)) = ((𝐹𝑝)↑𝑘))
324323oveq1d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘(𝑝𝑘)) · (𝐹𝑏)) = (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)))
325321, 324eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) = (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)))
326312, 239reexpcld 13248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ∈ ℝ)
32711, 13abvcl 19028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝐴𝑏 ∈ ℚ) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
328195, 209, 327syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
329326, 328remulcld 10355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ∈ ℝ)
330 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
331330breq1d 4854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹𝑎) ≤ 1 ↔ (𝐹𝑏) ≤ 1))
332331, 292, 207rspcdva 3508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑏) ≤ 1)
333310nnne0d 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 𝑝 ≠ 0)
334195, 311, 333, 138syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < (𝐹𝑝))
335 expgt0 13116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐹𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐹𝑝)) → 0 < ((𝐹𝑝)↑𝑘))
336312, 296, 334, 335syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 < ((𝐹𝑝)↑𝑘))
337 lemul2 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝑝)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐹𝑝)↑𝑘))) → ((𝐹𝑏) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1)))
338328, 295, 326, 336, 337syl112anc 1486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑏) ≤ 1 ↔ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1)))
339332, 338mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1))
340326recnd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ∈ ℂ)
341340mulid1d 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · 1) = ((𝐹𝑝)↑𝑘))
342339, 341breqtrd 4870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ ((𝐹𝑝)↑𝑘))
343141adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ∈ ℝ+)
344343rpge0d 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → 0 ≤ (𝐹𝑝))
345 max2 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐹𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑝) ∈ ℝ) → (𝐹𝑝) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
346244, 312, 345syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ≤ if((𝐹𝑃) ≤ (𝐹𝑝), (𝐹𝑝), (𝐹𝑃)))
347346, 134syl6breqr 4886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹𝑝) ≤ 𝑆)
348 leexp1a 13142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑝) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑝) ≤ 𝑆)) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
349312, 307, 239, 344, 347, 348syl32anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹𝑝)↑𝑘) ≤ (𝑆𝑘))
350329, 326, 224, 342, 349letrd 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝐹𝑝)↑𝑘) · (𝐹𝑏)) ≤ (𝑆𝑘))
351325, 350eqbrtrd 4866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏)) ≤ (𝑆𝑘))
352217, 219, 224, 224, 319, 351le2addd 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ ((𝑆𝑘) + (𝑆𝑘)))
353222rpcnd 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) ∈ ℂ)
3543532timesd 11542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘) + (𝑆𝑘)))
355354adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (2 · (𝑆𝑘)) = ((𝑆𝑘) + (𝑆𝑘)))
356352, 355breqtrrd 4872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → ((𝐹‘((𝑃𝑘) · 𝑎)) + (𝐹‘((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
357215, 220, 226, 232, 356letrd 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
358 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) = (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))))
359358breq1d 4854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → ((𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘)) ↔ (𝐹‘(((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏))) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
360357, 359syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (1 = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
361194, 360sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))) → (((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
362361anassrs 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
363362rexlimdvva 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑃𝑘) gcd (𝑝𝑘)) = (((𝑃𝑘) · 𝑎) + ((𝑝𝑘) · 𝑏)) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
364179, 363mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
365168, 364eqbrtrrd 4868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘)))
366222rpregt0d 12092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑆𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑘)))
367 ledivmul2 11187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑘))) → ((1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
368264, 132, 367mp3an12 1568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆𝑘)) → ((1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
369366, 368syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2 ↔ 1 ≤ (2 · (𝑆𝑘))))
370365, 369mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (𝑆𝑘)) ≤ 2)
371163, 370eqbrtrd 4866 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2)
372 reexpcl 13100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 / 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ)
373145, 170, 372syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ)
374 lenlt 10401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((1 / 𝑆)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2 ↔ ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘)))
375373, 132, 374sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / 𝑆)↑𝑘) ≤ 2 ↔ ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘)))
376371, 375mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘))
377376pm2.21d 119 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘) → ¬ (𝐹𝑝) < 1))
378377rexlimdva 3219 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → (∃𝑘 ∈ ℕ 2 < ((1 / 𝑆)↑𝑘) → ¬ (𝐹𝑝) < 1))
379156, 378mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑃𝑝 ∧ (𝐹𝑝) < 1)) → ¬ (𝐹𝑝) < 1)
380379expr 446 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐹𝑝) < 1 → ¬ (𝐹𝑝) < 1))
381380pm2.01d 181 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ¬ (𝐹𝑝) < 1)
382 fveq2 6408 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑝 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑝))
383382breq2d 4856 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑝 → (1 < (𝐹𝑛) ↔ 1 < (𝐹𝑝)))
384383notbid 309 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑝 → (¬ 1 < (𝐹𝑛) ↔ ¬ 1 < (𝐹𝑝)))
385260ad2antrr 708 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ∀𝑛 ∈ ℕ ¬ 1 < (𝐹𝑛))
386384, 385, 100rspcdva 3508 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ¬ 1 < (𝐹𝑝))
387 lttri3 10406 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑝) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑝) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑝) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑝))))
388137, 264, 387sylancl 576 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → ((𝐹𝑝) = 1 ↔ (¬ (𝐹𝑝) < 1 ∧ ¬ 1 < (𝐹𝑝))))
389381, 386, 388mpbir2and 695 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) = 1)
390109, 131, 3893eqtr4d 2850 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (((𝐽𝑃)‘𝑝)↑𝑐𝑅) = (𝐹𝑝))
391107, 390eqtr2d 2841 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑃𝑝) → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝))
392391ex 399 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑃𝑝 → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝)))
39398, 392pm2.61dne 3064 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹𝑝) = ((𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))‘𝑝))
39412, 11, 2, 47, 393ostthlem2 25531 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)))
395 oveq2 6882 . . . 4 (𝑎 = 𝑅 → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎) = (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))
396395mpteq2dv 4939 . . 3 (𝑎 = 𝑅 → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)))
397396rspceeqv 3520 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ+𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅))) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
39844, 394, 397syl2anc 575 1 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑎)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3o 1099   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  Vcvv 3391  ifcif 4279   class class class wbr 4844  cmpt 4923  cfv 6101  (class class class)co 6874  cc 10219  cr 10220  0cc0 10221  1c1 10222   + caddc 10224   · cmul 10226   < clt 10359  cle 10360  -cneg 10552   / cdiv 10969  cn 11305  2c2 11356  0cn0 11559  cz 11643  cuz 11904  cq 12007  +crp 12046  cexp 13083  expce 15012  cdvds 15203   gcd cgcd 15435  cprime 15603   pCnt cpc 15758  s cress 16069  +gcplusg 16153  .rcmulr 16154  invgcminusg 17628  AbsValcabv 19020  fldccnfld 19954  logclog 24515  𝑐ccxp 24516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300  ax-mulf 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-tpos 7587  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-ixp 8146  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ioo 12397  df-ioc 12398  df-ico 12399  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-fl 12817  df-mod 12893  df-seq 13025  df-exp 13084  df-fac 13281  df-bc 13310  df-hash 13338  df-shft 14030  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-limsup 14425  df-clim 14442  df-rlim 14443  df-sum 14640  df-ef 15018  df-sin 15020  df-cos 15021  df-pi 15023  df-dvds 15204  df-gcd 15436  df-prm 15604  df-pc 15759  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-hom 16177  df-cco 16178  df-rest 16288  df-topn 16289  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-topgen 16309  df-pt 16310  df-prds 16313  df-xrs 16367  df-qtop 16372  df-imas 16373  df-xps 16375  df-mre 16451  df-mrc 16452  df-acs 16454  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-submnd 17541  df-grp 17630  df-minusg 17631  df-mulg 17746  df-subg 17793  df-cntz 17951  df-cmn 18396  df-mgp 18692  df-ur 18704  df-ring 18751  df-cring 18752  df-oppr 18825  df-dvdsr 18843  df-unit 18844  df-invr 18874  df-dvr 18885  df-drng 18953  df-subrg 18982  df-abv 19021  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23844  df-dv 23845  df-log 24517  df-cxp 24518
This theorem is referenced by:  ostth  25542
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