Theorem nnz 12510

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 29-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12153	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		3mix2 1332	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
3		elz 12491	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ℝcr 11027  0cc0 11028  -cneg 11366  ℕcn 12146  ℤcz 12489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-neg 11368  df-nn 12147  df-z 12490

This theorem is referenced by:  nnssz  12511  elnnz1  12519  znegcl  12528  nnleltp1  12549  nnltp1le  12550  nnlem1lt  12560  nnltlem1  12561  nnm1ge0  12562  prime  12575  nneo  12578  zeo  12580  btwnz  12597  eluz2b2  12840  qaddcl  12884  qreccl  12888  elpqb  12895  elfz1end  13475  fznatpl1  13499  fznn  13513  elfz1b  13514  elfzo0  13621  elfzo0z  13622  elfzo1  13633  fzo1fzo0n0  13636  elfzom1p1elfzo  13666  ubmelm1fzo  13684  quoremz  13777  intfracq  13781  fznnfl  13784  zmodcl  13813  zmodfz  13815  zmodfzo  13816  zmodid2  13821  zmodidfzo  13822  modfzo0difsn  13868  expnnval  13989  mulexpz  14027  nnesq  14152  expnlbnd  14158  expnlbnd2  14159  digit2  14161  faclbnd  14215  bc0k  14236  bcval5  14243  fz1isolem  14386  seqcoll  14389  ccatval21sw  14510  lswccatn0lsw  14516  cshwidxmod  14727  cshwidxn  14733  absexpz  15230  climuni  15477  isercoll  15593  climcnds  15776  arisum  15785  trireciplem  15787  expcnv  15789  pwdif  15793  geo2sum  15798  geo2lim  15800  0.999...  15806  geoihalfsum  15807  rpnnen2lem6  16146  rpnnen2lem9  16149  rpnnen2lem10  16150  dvdsval3  16185  nndivdvds  16190  modmulconst  16217  dvdsle  16239  dvdsssfz1  16247  fzm1ndvds  16251  dvdsfac  16255  mulmoddvds  16259  oexpneg  16274  nnoddm1d2  16315  pwp1fsum  16320  divalg2  16334  divalgmod  16335  modremain  16337  ndvdsadd  16339  nndvdslegcd  16434  divgcdz  16440  divgcdnn  16444  divgcdnnr  16445  modgcd  16461  gcdmultiple  16465  gcddiv  16480  gcdzeq  16481  gcdeq  16482  rpmulgcd  16486  rplpwr  16487  rprpwr  16488  nn0rppwr  16490  sqgcd  16491  nn0expgcd  16493  dvdssqlem  16495  dvdssq  16496  eucalginv  16513  lcmgcdlem  16535  lcmgcdnn  16540  lcmass  16543  lcmftp  16565  lcmfunsnlem2lem1  16567  coprmgcdb  16578  qredeq  16586  qredeu  16587  coprmprod  16590  coprmproddvdslem  16591  coprmproddvds  16592  cncongr1  16596  cncongr2  16597  1idssfct  16609  isprm2lem  16610  isprm3  16612  prmind2  16614  ge2nprmge4  16630  divgcdodd  16639  isprm6  16643  ncoprmlnprm  16657  divnumden  16677  divdenle  16678  nn0gcdsq  16681  phicl2  16697  phiprmpw  16705  eulerthlem2  16711  hashgcdlem  16717  hashgcdeq  16719  phisum  16720  nnoddn2prm  16741  pythagtriplem3  16748  pythagtriplem4  16749  pythagtriplem6  16751  pythagtriplem7  16752  pythagtriplem8  16753  pythagtriplem9  16754  pythagtriplem11  16755  pythagtriplem13  16757  pythagtriplem15  16759  pythagtriplem19  16763  pythagtrip  16764  iserodd  16765  pclem  16768  pccl  16779  pcdiv  16782  pcqcl  16786  pcdvds  16794  pcndvds  16796  pcndvds2  16798  pcelnn  16800  pcz  16811  pcmpt  16822  fldivp1  16827  pcfac  16829  infpnlem1  16840  prmunb  16844  prmreclem1  16846  1arith  16857  ram0  16952  prmdvdsprmo  16972  prmgaplem4  16984  prmgaplem6  16986  prmgaplem7  16987  cshwshashlem2  17026  setsstruct2  17103  mulgnn  18972  mulgaddcom  18995  mulginvcom  18996  mulgmodid  19010  ghmmulg  19125  dfod2  19461  gexdvds  19481  gexnnod  19485  gexex  19750  mulgass2  20212  qsssubdrg  21351  prmirredlem  21397  znidomb  21486  znrrg  21490  chfacfisf  22757  chfacfisfcpmat  22758  chfacfscmul0  22761  chfacfpmmul0  22765  cayhamlem1  22769  cpmadugsumlemF  22779  lmmo  23283  1stckgenlem  23456  imasdsf1olem  24277  clmmulg  25017  cmetcaulem  25204  ovolunlem1a  25413  ovolicc2lem4  25437  mbfi1fseqlem6  25637  dvexp3  25898  dgreq0  26187  elqaalem2  26244  aaliou3lem1  26266  aaliou3lem2  26267  aaliou3lem3  26268  aaliou3lem9  26274  pserdvlem2  26354  logtayl2  26587  root1eq1  26681  root1cj  26682  zrtdvds  26685  logbgcd1irr  26720  atantayl2  26864  birthdaylem2  26878  birthdaylem3  26879  emcllem5  26926  basellem2  27008  basellem3  27009  basellem5  27011  issqf  27062  sgmnncl  27073  prmorcht  27104  mumullem1  27105  mumullem2  27106  sqff1o  27108  dvdsflsumcom  27114  muinv  27119  vmalelog  27132  chtublem  27138  vmasum  27143  logfac2  27144  logfaclbnd  27149  bclbnd  27207  bposlem5  27215  lgsval4a  27246  lgssq2  27265  lgsdchr  27282  gausslemma2dlem0c  27285  gausslemma2dlem0e  27287  gausslemma2dlem1a  27292  gausslemma2dlem5  27298  lgsquadlem1  27307  lgsquadlem2  27308  lgsquad3  27314  2lgslem1a1  27316  2lgslem3  27331  2lgsoddprm  27343  2sqnn  27366  2sqreunnltlem  27377  rplogsumlem1  27411  rplogsumlem2  27412  dchrisumlem2  27417  dchrmusumlema  27420  dchrmusum2  27421  dchrvmasumiflem1  27428  dchrvmaeq0  27431  dchrisum0flblem2  27436  dchrisum0re  27440  dchrisum0lema  27441  dchrisum0lem1b  27442  dchrisum0lem2a  27444  logdivbnd  27483  pntrsumbnd2  27494  ostth2lem1  27545  ostth2lem3  27562  ostth3  27565  axlowdimlem13  28917  crctcshwlkn0lem4  29776  crctcshwlkn0lem5  29777  crctcshwlkn0lem7  29779  wlkiswwlksupgr2  29840  clwwisshclwwslem  29976  clwwlkinwwlk  30002  clwwlkel  30008  clwwlkf  30009  wwlksubclwwlk  30020  clwwlkvbij  30075  eucrctshift  30205  eucrct2eupth  30207  numclwlk2lem2f  30339  bcm1n  32751  pnfinf  33135  isarchiofld  33151  1fldgenq  33271  rearchi  33293  submat1n  33771  lmatfvlem  33781  esumcvg  34052  oddpwdc  34321  fibp1  34368  chtvalz  34596  nnltp1ne  35083  erdszelem7  35169  climuzcnv  35643  elfzm12  35647  bcprod  35710  nn0prpwlem  36295  knoppndvlem1  36485  knoppndvlem2  36486  knoppndvlem7  36491  knoppndvlem18  36502  poimirlem13  37612  poimirlem14  37613  mblfinlem2  37637  fzmul  37720  incsequz  37727  geomcau  37738  heibor1lem  37788  bfplem2  37802  lcmfunnnd  41985  posbezout  42073  unitscyglem4  42171  dvdsexpnn  42306  dvdsexpnn0  42307  fimgmcyc  42507  fzsplit1nn0  42727  irrapxlem1  42795  pellexlem5  42806  rmynn  42929  jm2.24nn  42932  jm2.17c  42935  congrep  42946  congabseq  42947  acongrep  42953  acongeq  42956  jm2.18  42961  jm2.23  42969  jm2.20nn  42970  jm2.26lem3  42974  jm2.26  42975  jm2.15nn0  42976  jm2.16nn0  42977  jm2.27dlem2  42983  rmydioph  42987  jm3.1  42993  expdiophlem1  42994  expdioph  42996  idomodle  43164  proot1ex  43169  nznngen  44289  sumnnodd  45612  stoweidlem7  45989  stoweidlem17  45999  wallispilem4  46050  stirlinglem2  46057  stirlinglem3  46058  stirlinglem4  46059  stirlinglem12  46067  stirlinglem13  46068  stirlinglem14  46069  stirlinglem15  46070  stirlingr  46072  dirkertrigeqlem1  46080  fouriersw  46213  ovnsubaddlem1  46552  subsubelfzo0  47311  2ffzoeq  47312  ceilhalfelfzo1  47315  2tceilhalfelfzo1  47317  difltmodne  47327  addmodne  47329  submodlt  47335  iccpartres  47403  iccpartipre  47406  iccpartltu  47410  iccelpart  47418  odz2prm2pw  47548  fmtnoprmfac2lem1  47551  2pwp1prm  47574  lighneallem2  47591  lighneallem4  47595  lighneal  47596  proththd  47599  nneoALTV  47657  divgcdoddALTV  47667  fpprmod  47712  fppr2odd  47716  dfwppr  47723  fpprwppr  47724  fpprwpprb  47725  gbowge7  47748  gbege6  47750  gpg3kgrtriexlem2  48069  gpg3kgrtriexlem3  48070  gpg3kgrtriexlem5  48072  gpg3kgrtriexlem6  48073  altgsumbc  48337  altgsumbcALT  48338  pw2m1lepw2m1  48506  nnpw2even  48515  nnlog2ge0lt1  48552  logbpw2m1  48553  blenpw2m1  48565  nnpw2blenfzo  48567  nnpw2pmod  48569  nnpw2p  48572  blengt1fldiv2p1  48579  dignn0fr  48587  dignn0flhalflem1  48601  dignn0flhalflem2  48602  nn0sumshdiglemA  48605  nn0sumshdiglemB  48606