Theorem nnz 12660

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 29-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12300	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		3mix2 1331	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
3		elz 12641	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ℝcr 11183  0cc0 11184  -cneg 11521  ℕcn 12293  ℤcz 12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-neg 11523  df-nn 12294  df-z 12640

This theorem is referenced by:  nnssz  12661  elnnz1  12669  znegcl  12678  nnleltp1  12698  nnltp1le  12699  nnlem1lt  12709  nnltlem1  12710  nnm1ge0  12711  prime  12724  nneo  12727  zeo  12729  btwnz  12746  eluz2b2  12986  qaddcl  13030  qreccl  13034  elpqb  13041  elfz1end  13614  fznatpl1  13638  fznn  13652  elfz1b  13653  elfzo0  13757  elfzo0z  13758  elfzo1  13766  fzo1fzo0n0  13767  elfzom1p1elfzo  13796  ubmelm1fzo  13813  quoremz  13906  intfracq  13910  fznnfl  13913  zmodcl  13942  zmodfz  13944  zmodfzo  13945  zmodid2  13950  zmodidfzo  13951  modfzo0difsn  13994  expnnval  14115  mulexpz  14153  nnesq  14276  expnlbnd  14282  expnlbnd2  14283  digit2  14285  faclbnd  14339  bc0k  14360  bcval5  14367  fz1isolem  14510  seqcoll  14513  ccatval21sw  14633  lswccatn0lsw  14639  cshwidxmod  14851  cshwidxn  14857  absexpz  15354  climuni  15598  isercoll  15716  climcnds  15899  arisum  15908  trireciplem  15910  expcnv  15912  pwdif  15916  geo2sum  15921  geo2lim  15923  0.999...  15929  geoihalfsum  15930  rpnnen2lem6  16267  rpnnen2lem9  16270  rpnnen2lem10  16271  dvdsval3  16306  nndivdvds  16311  modmulconst  16336  dvdsle  16358  dvdsssfz1  16366  fzm1ndvds  16370  dvdsfac  16374  mulmoddvds  16378  oexpneg  16393  nnoddm1d2  16434  pwp1fsum  16439  divalg2  16453  divalgmod  16454  modremain  16456  ndvdsadd  16458  nndvdslegcd  16551  divgcdz  16557  divgcdnn  16561  divgcdnnr  16562  modgcd  16579  gcdmultiple  16583  gcddiv  16598  gcdzeq  16599  gcdeq  16600  rpmulgcd  16604  rplpwr  16605  rprpwr  16606  nn0rppwr  16608  sqgcd  16609  nn0expgcd  16611  dvdssqlem  16613  dvdssq  16614  eucalginv  16631  lcmgcdlem  16653  lcmgcdnn  16658  lcmass  16661  lcmftp  16683  lcmfunsnlem2lem1  16685  coprmgcdb  16696  qredeq  16704  qredeu  16705  coprmprod  16708  coprmproddvdslem  16709  coprmproddvds  16710  cncongr1  16714  cncongr2  16715  1idssfct  16727  isprm2lem  16728  isprm3  16730  prmind2  16732  ge2nprmge4  16748  divgcdodd  16757  isprm6  16761  ncoprmlnprm  16775  divnumden  16795  divdenle  16796  nn0gcdsq  16799  phicl2  16815  phiprmpw  16823  eulerthlem2  16829  hashgcdlem  16835  hashgcdeq  16836  phisum  16837  nnoddn2prm  16858  pythagtriplem3  16865  pythagtriplem4  16866  pythagtriplem6  16868  pythagtriplem7  16869  pythagtriplem8  16870  pythagtriplem9  16871  pythagtriplem11  16872  pythagtriplem13  16874  pythagtriplem15  16876  pythagtriplem19  16880  pythagtrip  16881  iserodd  16882  pclem  16885  pccl  16896  pcdiv  16899  pcqcl  16903  pcdvds  16911  pcndvds  16913  pcndvds2  16915  pcelnn  16917  pcz  16928  pcmpt  16939  fldivp1  16944  pcfac  16946  infpnlem1  16957  prmunb  16961  prmreclem1  16963  1arith  16974  ram0  17069  prmdvdsprmo  17089  prmgaplem4  17101  prmgaplem6  17103  prmgaplem7  17104  cshwshashlem2  17144  setsstruct2  17221  mulgnn  19115  mulgaddcom  19138  mulginvcom  19139  mulgmodid  19153  ghmmulg  19268  dfod2  19606  gexdvds  19626  gexnnod  19630  gexex  19895  mulgass2  20332  qsssubdrg  21467  prmirredlem  21506  znidomb  21603  znrrg  21607  chfacfisf  22881  chfacfisfcpmat  22882  chfacfscmul0  22885  chfacfpmmul0  22889  cayhamlem1  22893  cpmadugsumlemF  22903  lmmo  23409  1stckgenlem  23582  imasdsf1olem  24404  clmmulg  25153  cmetcaulem  25341  ovolunlem1a  25550  ovolicc2lem4  25574  mbfi1fseqlem6  25775  dvexp3  26036  dgreq0  26325  elqaalem2  26380  aaliou3lem1  26402  aaliou3lem2  26403  aaliou3lem3  26404  aaliou3lem9  26410  pserdvlem2  26490  logtayl2  26722  root1eq1  26816  root1cj  26817  zrtdvds  26820  logbgcd1irr  26855  atantayl2  26999  birthdaylem2  27013  birthdaylem3  27014  emcllem5  27061  basellem2  27143  basellem3  27144  basellem5  27146  issqf  27197  sgmnncl  27208  prmorcht  27239  mumullem1  27240  mumullem2  27241  sqff1o  27243  dvdsflsumcom  27249  muinv  27254  vmalelog  27267  chtublem  27273  vmasum  27278  logfac2  27279  logfaclbnd  27284  bclbnd  27342  bposlem5  27350  lgsval4a  27381  lgssq2  27400  lgsdchr  27417  gausslemma2dlem0c  27420  gausslemma2dlem0e  27422  gausslemma2dlem1a  27427  gausslemma2dlem5  27433  lgsquadlem1  27442  lgsquadlem2  27443  lgsquad3  27449  2lgslem1a1  27451  2lgslem3  27466  2lgsoddprm  27478  2sqnn  27501  2sqreunnltlem  27512  rplogsumlem1  27546  rplogsumlem2  27547  dchrisumlem2  27552  dchrmusumlema  27555  dchrmusum2  27556  dchrvmasumiflem1  27563  dchrvmaeq0  27566  dchrisum0flblem2  27571  dchrisum0re  27575  dchrisum0lema  27576  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem2a  27579  logdivbnd  27618  pntrsumbnd2  27629  ostth2lem1  27680  ostth2lem3  27697  ostth3  27700  axlowdimlem13  28987  crctcshwlkn0lem4  29846  crctcshwlkn0lem5  29847  crctcshwlkn0lem7  29849  wlkiswwlksupgr2  29910  clwwisshclwwslem  30046  clwwlkinwwlk  30072  clwwlkel  30078  clwwlkf  30079  wwlksubclwwlk  30090  clwwlkvbij  30145  eucrctshift  30275  eucrct2eupth  30277  numclwlk2lem2f  30409  bcm1n  32800  pnfinf  33163  1fldgenq  33289  isarchiofld  33312  rearchi  33339  submat1n  33751  lmatfvlem  33761  esumcvg  34050  oddpwdc  34319  fibp1  34366  chtvalz  34606  nnltp1ne  35078  erdszelem7  35165  climuzcnv  35639  elfzm12  35643  bcprod  35700  nn0prpwlem  36288  knoppndvlem1  36478  knoppndvlem2  36479  knoppndvlem7  36484  knoppndvlem18  36495  poimirlem13  37593  poimirlem14  37594  mblfinlem2  37618  fzmul  37701  incsequz  37708  geomcau  37719  heibor1lem  37769  bfplem2  37783  lcmfunnnd  41969  posbezout  42057  unitscyglem4  42155  metakunt16  42177  metakunt26  42187  dvdsexpnn  42320  dvdsexpnn0  42321  fimgmcyc  42489  fzsplit1nn0  42710  irrapxlem1  42778  pellexlem5  42789  rmynn  42913  jm2.24nn  42916  jm2.17c  42919  congrep  42930  congabseq  42931  acongrep  42937  acongeq  42940  jm2.18  42945  jm2.23  42953  jm2.20nn  42954  jm2.26lem3  42958  jm2.26  42959  jm2.15nn0  42960  jm2.16nn0  42961  jm2.27dlem2  42967  rmydioph  42971  jm3.1  42977  expdiophlem1  42978  expdioph  42980  idomodle  43152  proot1ex  43157  nznngen  44285  sumnnodd  45551  stoweidlem7  45928  stoweidlem17  45938  wallispilem4  45989  stirlinglem2  45996  stirlinglem3  45997  stirlinglem4  45998  stirlinglem12  46006  stirlinglem13  46007  stirlinglem14  46008  stirlinglem15  46009  stirlingr  46011  dirkertrigeqlem1  46019  fouriersw  46152  ovnsubaddlem1  46491  subsubelfzo0  47241  2ffzoeq  47242  iccpartres  47292  iccpartipre  47295  iccpartltu  47299  iccelpart  47307  odz2prm2pw  47437  fmtnoprmfac2lem1  47440  2pwp1prm  47463  lighneallem2  47480  lighneallem4  47484  lighneal  47485  proththd  47488  nneoALTV  47546  divgcdoddALTV  47556  fpprmod  47601  fppr2odd  47605  dfwppr  47612  fpprwppr  47613  fpprwpprb  47614  gbowge7  47637  gbege6  47639  altgsumbc  48077  altgsumbcALT  48078  pw2m1lepw2m1  48249  nnpw2even  48263  nnlog2ge0lt1  48300  logbpw2m1  48301  blenpw2m1  48313  nnpw2blenfzo  48315  nnpw2pmod  48317  nnpw2p  48320  blengt1fldiv2p1  48327  dignn0fr  48335  dignn0flhalflem1  48349  dignn0flhalflem2  48350  nn0sumshdiglemA  48353  nn0sumshdiglemB  48354