Theorem nnz 12631

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 29-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12270	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		3mix2 1330	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
3		elz 12612	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1085   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ℝcr 11151  0cc0 11152  -cneg 11490  ℕcn 12263  ℤcz 12610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-neg 11492  df-nn 12264  df-z 12611

This theorem is referenced by:  nnssz  12632  elnnz1  12640  znegcl  12649  nnleltp1  12670  nnltp1le  12671  nnlem1lt  12681  nnltlem1  12682  nnm1ge0  12683  prime  12696  nneo  12699  zeo  12701  btwnz  12718  eluz2b2  12960  qaddcl  13004  qreccl  13008  elpqb  13015  elfz1end  13590  fznatpl1  13614  fznn  13628  elfz1b  13629  elfzo0  13736  elfzo0z  13737  elfzo1  13748  fzo1fzo0n0  13750  elfzom1p1elfzo  13780  ubmelm1fzo  13798  quoremz  13891  intfracq  13895  fznnfl  13898  zmodcl  13927  zmodfz  13929  zmodfzo  13930  zmodid2  13935  zmodidfzo  13936  modfzo0difsn  13980  expnnval  14101  mulexpz  14139  nnesq  14262  expnlbnd  14268  expnlbnd2  14269  digit2  14271  faclbnd  14325  bc0k  14346  bcval5  14353  fz1isolem  14496  seqcoll  14499  ccatval21sw  14619  lswccatn0lsw  14625  cshwidxmod  14837  cshwidxn  14843  absexpz  15340  climuni  15584  isercoll  15700  climcnds  15883  arisum  15892  trireciplem  15894  expcnv  15896  pwdif  15900  geo2sum  15905  geo2lim  15907  0.999...  15913  geoihalfsum  15914  rpnnen2lem6  16251  rpnnen2lem9  16254  rpnnen2lem10  16255  dvdsval3  16290  nndivdvds  16295  modmulconst  16321  dvdsle  16343  dvdsssfz1  16351  fzm1ndvds  16355  dvdsfac  16359  mulmoddvds  16363  oexpneg  16378  nnoddm1d2  16419  pwp1fsum  16424  divalg2  16438  divalgmod  16439  modremain  16441  ndvdsadd  16443  nndvdslegcd  16538  divgcdz  16544  divgcdnn  16548  divgcdnnr  16549  modgcd  16565  gcdmultiple  16569  gcddiv  16584  gcdzeq  16585  gcdeq  16586  rpmulgcd  16590  rplpwr  16591  rprpwr  16592  nn0rppwr  16594  sqgcd  16595  nn0expgcd  16597  dvdssqlem  16599  dvdssq  16600  eucalginv  16617  lcmgcdlem  16639  lcmgcdnn  16644  lcmass  16647  lcmftp  16669  lcmfunsnlem2lem1  16671  coprmgcdb  16682  qredeq  16690  qredeu  16691  coprmprod  16694  coprmproddvdslem  16695  coprmproddvds  16696  cncongr1  16700  cncongr2  16701  1idssfct  16713  isprm2lem  16714  isprm3  16716  prmind2  16718  ge2nprmge4  16734  divgcdodd  16743  isprm6  16747  ncoprmlnprm  16761  divnumden  16781  divdenle  16782  nn0gcdsq  16785  phicl2  16801  phiprmpw  16809  eulerthlem2  16815  hashgcdlem  16821  hashgcdeq  16822  phisum  16823  nnoddn2prm  16844  pythagtriplem3  16851  pythagtriplem4  16852  pythagtriplem6  16854  pythagtriplem7  16855  pythagtriplem8  16856  pythagtriplem9  16857  pythagtriplem11  16858  pythagtriplem13  16860  pythagtriplem15  16862  pythagtriplem19  16866  pythagtrip  16867  iserodd  16868  pclem  16871  pccl  16882  pcdiv  16885  pcqcl  16889  pcdvds  16897  pcndvds  16899  pcndvds2  16901  pcelnn  16903  pcz  16914  pcmpt  16925  fldivp1  16930  pcfac  16932  infpnlem1  16943  prmunb  16947  prmreclem1  16949  1arith  16960  ram0  17055  prmdvdsprmo  17075  prmgaplem4  17087  prmgaplem6  17089  prmgaplem7  17090  cshwshashlem2  17130  setsstruct2  17207  mulgnn  19105  mulgaddcom  19128  mulginvcom  19129  mulgmodid  19143  ghmmulg  19258  dfod2  19596  gexdvds  19616  gexnnod  19620  gexex  19885  mulgass2  20322  qsssubdrg  21461  prmirredlem  21500  znidomb  21597  znrrg  21601  chfacfisf  22875  chfacfisfcpmat  22876  chfacfscmul0  22879  chfacfpmmul0  22883  cayhamlem1  22887  cpmadugsumlemF  22897  lmmo  23403  1stckgenlem  23576  imasdsf1olem  24398  clmmulg  25147  cmetcaulem  25335  ovolunlem1a  25544  ovolicc2lem4  25568  mbfi1fseqlem6  25769  dvexp3  26030  dgreq0  26319  elqaalem2  26376  aaliou3lem1  26398  aaliou3lem2  26399  aaliou3lem3  26400  aaliou3lem9  26406  pserdvlem2  26486  logtayl2  26718  root1eq1  26812  root1cj  26813  zrtdvds  26816  logbgcd1irr  26851  atantayl2  26995  birthdaylem2  27009  birthdaylem3  27010  emcllem5  27057  basellem2  27139  basellem3  27140  basellem5  27142  issqf  27193  sgmnncl  27204  prmorcht  27235  mumullem1  27236  mumullem2  27237  sqff1o  27239  dvdsflsumcom  27245  muinv  27250  vmalelog  27263  chtublem  27269  vmasum  27274  logfac2  27275  logfaclbnd  27280  bclbnd  27338  bposlem5  27346  lgsval4a  27377  lgssq2  27396  lgsdchr  27413  gausslemma2dlem0c  27416  gausslemma2dlem0e  27418  gausslemma2dlem1a  27423  gausslemma2dlem5  27429  lgsquadlem1  27438  lgsquadlem2  27439  lgsquad3  27445  2lgslem1a1  27447  2lgslem3  27462  2lgsoddprm  27474  2sqnn  27497  2sqreunnltlem  27508  rplogsumlem1  27542  rplogsumlem2  27543  dchrisumlem2  27548  dchrmusumlema  27551  dchrmusum2  27552  dchrvmasumiflem1  27559  dchrvmaeq0  27562  dchrisum0flblem2  27567  dchrisum0re  27571  dchrisum0lema  27572  dchrisum0lem1b  27573  dchrisum0lem2a  27575  logdivbnd  27614  pntrsumbnd2  27625  ostth2lem1  27676  ostth2lem3  27693  ostth3  27696  axlowdimlem13  28983  crctcshwlkn0lem4  29842  crctcshwlkn0lem5  29843  crctcshwlkn0lem7  29845  wlkiswwlksupgr2  29906  clwwisshclwwslem  30042  clwwlkinwwlk  30068  clwwlkel  30074  clwwlkf  30075  wwlksubclwwlk  30086  clwwlkvbij  30141  eucrctshift  30271  eucrct2eupth  30273  numclwlk2lem2f  30405  bcm1n  32802  pnfinf  33172  1fldgenq  33303  isarchiofld  33326  rearchi  33353  submat1n  33765  lmatfvlem  33775  esumcvg  34066  oddpwdc  34335  fibp1  34382  chtvalz  34622  nnltp1ne  35094  erdszelem7  35181  climuzcnv  35655  elfzm12  35659  bcprod  35717  nn0prpwlem  36304  knoppndvlem1  36494  knoppndvlem2  36495  knoppndvlem7  36500  knoppndvlem18  36511  poimirlem13  37619  poimirlem14  37620  mblfinlem2  37644  fzmul  37727  incsequz  37734  geomcau  37745  heibor1lem  37795  bfplem2  37809  lcmfunnnd  41993  posbezout  42081  unitscyglem4  42179  metakunt16  42201  metakunt26  42211  dvdsexpnn  42346  dvdsexpnn0  42347  fimgmcyc  42520  fzsplit1nn0  42741  irrapxlem1  42809  pellexlem5  42820  rmynn  42944  jm2.24nn  42947  jm2.17c  42950  congrep  42961  congabseq  42962  acongrep  42968  acongeq  42971  jm2.18  42976  jm2.23  42984  jm2.20nn  42985  jm2.26lem3  42989  jm2.26  42990  jm2.15nn0  42991  jm2.16nn0  42992  jm2.27dlem2  42998  rmydioph  43002  jm3.1  43008  expdiophlem1  43009  expdioph  43011  idomodle  43179  proot1ex  43184  nznngen  44311  sumnnodd  45585  stoweidlem7  45962  stoweidlem17  45972  wallispilem4  46023  stirlinglem2  46030  stirlinglem3  46031  stirlinglem4  46032  stirlinglem12  46040  stirlinglem13  46041  stirlinglem14  46042  stirlinglem15  46043  stirlingr  46045  dirkertrigeqlem1  46053  fouriersw  46186  ovnsubaddlem1  46525  subsubelfzo0  47275  2ffzoeq  47276  difltmodne  47281  addmodne  47283  submodlt  47289  iccpartres  47342  iccpartipre  47345  iccpartltu  47349  iccelpart  47357  odz2prm2pw  47487  fmtnoprmfac2lem1  47490  2pwp1prm  47513  lighneallem2  47530  lighneallem4  47534  lighneal  47535  proththd  47538  nneoALTV  47596  divgcdoddALTV  47606  fpprmod  47651  fppr2odd  47655  dfwppr  47662  fpprwppr  47663  fpprwpprb  47664  gbowge7  47687  gbege6  47689  ceilhalfelfzo1  47950  2tceilhalfelfzo1  47952  altgsumbc  48196  altgsumbcALT  48197  pw2m1lepw2m1  48365  nnpw2even  48378  nnlog2ge0lt1  48415  logbpw2m1  48416  blenpw2m1  48428  nnpw2blenfzo  48430  nnpw2pmod  48432  nnpw2p  48435  blengt1fldiv2p1  48442  dignn0fr  48450  dignn0flhalflem1  48464  dignn0flhalflem2  48465  nn0sumshdiglemA  48468  nn0sumshdiglemB  48469