Theorem nnz 12579

Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 29-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12219	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		3mix2 1332	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
3		elz 12560	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ℝcr 11109  0cc0 11110  -cneg 11445  ℕcn 12212  ℤcz 12558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-neg 11447  df-nn 12213  df-z 12559

This theorem is referenced by:  nnssz  12580  elnnz1  12588  znegcl  12597  nnleltp1  12617  nnltp1le  12618  nnlem1lt  12628  nnltlem1  12629  nnm1ge0  12630  prime  12643  nneo  12646  zeo  12648  btwnz  12665  eluz2b2  12905  qaddcl  12949  qreccl  12953  elpqb  12960  elfz1end  13531  fznatpl1  13555  fznn  13569  elfz1b  13570  elfzo0  13673  elfzo0z  13674  elfzo1  13682  fzo1fzo0n0  13683  elfzom1p1elfzo  13712  ubmelm1fzo  13728  quoremz  13820  intfracq  13824  fznnfl  13827  zmodcl  13856  zmodfz  13858  zmodfzo  13859  zmodid2  13864  zmodidfzo  13865  modfzo0difsn  13908  expnnval  14030  mulexpz  14068  nnesq  14190  expnlbnd  14196  expnlbnd2  14197  digit2  14199  faclbnd  14250  bc0k  14271  bcval5  14278  fz1isolem  14422  seqcoll  14425  ccatval21sw  14535  lswccatn0lsw  14541  cshwidxmod  14753  cshwidxn  14759  absexpz  15252  climuni  15496  isercoll  15614  climcnds  15797  arisum  15806  trireciplem  15808  expcnv  15810  pwdif  15814  geo2sum  15819  geo2lim  15821  0.999...  15827  geoihalfsum  15828  rpnnen2lem6  16162  rpnnen2lem9  16165  rpnnen2lem10  16166  dvdsval3  16201  nndivdvds  16206  modmulconst  16231  dvdsle  16253  dvdsssfz1  16261  fzm1ndvds  16265  dvdsfac  16269  mulmoddvds  16273  oexpneg  16288  nnoddm1d2  16329  pwp1fsum  16334  divalg2  16348  divalgmod  16349  modremain  16351  ndvdsadd  16353  nndvdslegcd  16446  divgcdz  16452  divgcdnn  16456  divgcdnnr  16457  modgcd  16474  gcdmultiple  16478  gcddiv  16493  gcdzeq  16494  gcdeq  16495  rpmulgcd  16498  rplpwr  16499  rprpwr  16500  sqgcd  16502  dvdssqlem  16503  dvdssq  16504  eucalginv  16521  lcmgcdlem  16543  lcmgcdnn  16548  lcmass  16551  lcmftp  16573  lcmfunsnlem2lem1  16575  coprmgcdb  16586  qredeq  16594  qredeu  16595  coprmprod  16598  coprmproddvdslem  16599  coprmproddvds  16600  cncongr1  16604  cncongr2  16605  1idssfct  16617  isprm2lem  16618  isprm3  16620  prmind2  16622  ge2nprmge4  16638  divgcdodd  16647  isprm6  16651  ncoprmlnprm  16664  divnumden  16684  divdenle  16685  nn0gcdsq  16688  phicl2  16701  phiprmpw  16709  eulerthlem2  16715  hashgcdlem  16721  hashgcdeq  16722  phisum  16723  nnoddn2prm  16744  pythagtriplem3  16751  pythagtriplem4  16752  pythagtriplem6  16754  pythagtriplem7  16755  pythagtriplem8  16756  pythagtriplem9  16757  pythagtriplem11  16758  pythagtriplem13  16760  pythagtriplem15  16762  pythagtriplem19  16766  pythagtrip  16767  iserodd  16768  pclem  16771  pccl  16782  pcdiv  16785  pcqcl  16789  pcdvds  16797  pcndvds  16799  pcndvds2  16801  pcelnn  16803  pcz  16814  pcmpt  16825  fldivp1  16830  pcfac  16832  infpnlem1  16843  prmunb  16847  prmreclem1  16849  1arith  16860  ram0  16955  prmdvdsprmo  16975  prmgaplem4  16987  prmgaplem6  16989  prmgaplem7  16990  cshwshashlem2  17030  setsstruct2  17107  mulgnn  18958  mulgaddcom  18978  mulginvcom  18979  mulgmodid  18993  ghmmulg  19104  dfod2  19432  gexdvds  19452  gexnnod  19456  gexex  19721  mulgass2  20121  qsssubdrg  21004  prmirredlem  21042  znidomb  21117  znrrg  21121  chfacfisf  22356  chfacfisfcpmat  22357  chfacfscmul0  22360  chfacfpmmul0  22364  cayhamlem1  22368  cpmadugsumlemF  22378  lmmo  22884  1stckgenlem  23057  imasdsf1olem  23879  clmmulg  24617  cmetcaulem  24805  ovolunlem1a  25013  ovolicc2lem4  25037  mbfi1fseqlem6  25238  dvexp3  25495  dgreq0  25779  elqaalem2  25833  aaliou3lem1  25855  aaliou3lem2  25856  aaliou3lem3  25857  aaliou3lem9  25863  pserdvlem2  25940  logtayl2  26170  root1eq1  26263  root1cj  26264  logbgcd1irr  26299  atantayl2  26443  birthdaylem2  26457  birthdaylem3  26458  emcllem5  26504  basellem2  26586  basellem3  26587  basellem5  26589  issqf  26640  sgmnncl  26651  prmorcht  26682  mumullem1  26683  mumullem2  26684  sqff1o  26686  dvdsflsumcom  26692  muinv  26697  vmalelog  26708  chtublem  26714  vmasum  26719  logfac2  26720  logfaclbnd  26725  bclbnd  26783  bposlem5  26791  lgsval4a  26822  lgssq2  26841  lgsdchr  26858  gausslemma2dlem0c  26861  gausslemma2dlem0e  26863  gausslemma2dlem1a  26868  gausslemma2dlem5  26874  lgsquadlem1  26883  lgsquadlem2  26884  lgsquad3  26890  2lgslem1a1  26892  2lgslem3  26907  2lgsoddprm  26919  2sqnn  26942  2sqreunnltlem  26953  rplogsumlem1  26987  rplogsumlem2  26988  dchrisumlem2  26993  dchrmusumlema  26996  dchrmusum2  26997  dchrvmasumiflem1  27004  dchrvmaeq0  27007  dchrisum0flblem2  27012  dchrisum0re  27016  dchrisum0lema  27017  dchrisum0lem1b  27018  dchrisum0lem2a  27020  logdivbnd  27059  pntrsumbnd2  27070  ostth2lem1  27121  ostth2lem3  27138  ostth3  27141  axlowdimlem13  28212  crctcshwlkn0lem4  29067  crctcshwlkn0lem5  29068  crctcshwlkn0lem7  29070  wlkiswwlksupgr2  29131  clwwisshclwwslem  29267  clwwlkinwwlk  29293  clwwlkel  29299  clwwlkf  29300  wwlksubclwwlk  29311  clwwlkvbij  29366  eucrctshift  29496  eucrct2eupth  29498  numclwlk2lem2f  29630  bcm1n  32006  pnfinf  32329  1fldgenq  32412  isarchiofld  32435  rearchi  32461  submat1n  32785  lmatfvlem  32795  esumcvg  33084  oddpwdc  33353  fibp1  33400  chtvalz  33641  nnltp1ne  34100  erdszelem7  34188  climuzcnv  34656  elfzm12  34660  bcprod  34708  nn0prpwlem  35207  knoppndvlem1  35388  knoppndvlem2  35389  knoppndvlem7  35394  knoppndvlem18  35405  poimirlem13  36501  poimirlem14  36502  mblfinlem2  36526  fzmul  36609  incsequz  36616  geomcau  36627  heibor1lem  36677  bfplem2  36691  lcmfunnnd  40877  metakunt16  41000  metakunt26  41010  nn0rppwr  41224  nn0expgcd  41226  dvdsexpnn  41231  dvdsexpnn0  41232  zrtdvds  41236  fzsplit1nn0  41492  irrapxlem1  41560  pellexlem5  41571  rmynn  41695  jm2.24nn  41698  jm2.17c  41701  congrep  41712  congabseq  41713  acongrep  41719  acongeq  41722  jm2.18  41727  jm2.23  41735  jm2.20nn  41736  jm2.26lem3  41740  jm2.26  41741  jm2.15nn0  41742  jm2.16nn0  41743  jm2.27dlem2  41749  rmydioph  41753  jm3.1  41759  expdiophlem1  41760  expdioph  41762  idomodle  41938  proot1ex  41943  nznngen  43075  sumnnodd  44346  stoweidlem7  44723  stoweidlem17  44733  wallispilem4  44784  stirlinglem2  44791  stirlinglem3  44792  stirlinglem4  44793  stirlinglem12  44801  stirlinglem13  44802  stirlinglem14  44803  stirlinglem15  44804  stirlingr  44806  dirkertrigeqlem1  44814  fouriersw  44947  ovnsubaddlem1  45286  subsubelfzo0  46034  2ffzoeq  46036  iccpartres  46086  iccpartipre  46089  iccpartltu  46093  iccelpart  46101  odz2prm2pw  46231  fmtnoprmfac2lem1  46234  2pwp1prm  46257  lighneallem2  46274  lighneallem4  46278  lighneal  46279  proththd  46282  nneoALTV  46340  divgcdoddALTV  46350  fpprmod  46395  fppr2odd  46399  dfwppr  46406  fpprwppr  46407  fpprwpprb  46408  gbowge7  46431  gbege6  46433  altgsumbc  47028  altgsumbcALT  47029  pw2m1lepw2m1  47201  nnpw2even  47215  nnlog2ge0lt1  47252  logbpw2m1  47253  blenpw2m1  47265  nnpw2blenfzo  47267  nnpw2pmod  47269  nnpw2p  47272  blengt1fldiv2p1  47279  dignn0fr  47287  dignn0flhalflem1  47301  dignn0flhalflem2  47302  nn0sumshdiglemA  47305  nn0sumshdiglemB  47306