Home | Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 126 of 470) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | Metamath Proof Explorer
(1-29658) |
Hilbert Space Explorer
(29659-31181) |
Users' Mathboxes
(31182-46997) |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | nnm1ge0 12501 | A positive integer decreased by 1 is greater than or equal to 0. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.) |
โข (๐ โ โ โ 0 โค (๐ โ 1)) | ||
Theorem | nn0ge0div 12502 | Division of a nonnegative integer by a positive number is not negative. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.) |
โข ((๐พ โ โ0 โง ๐ฟ โ โ) โ 0 โค (๐พ / ๐ฟ)) | ||
Theorem | zdiv 12503* | Two ways to express "๐ divides ๐. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โค) โ (โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = ๐ โ (๐ / ๐) โ โค)) | ||
Theorem | zdivadd 12504 | Property of divisibility: if ๐ท divides ๐ด and ๐ต then it divides ๐ด + ๐ต. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.) |
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง ((๐ด / ๐ท) โ โค โง (๐ต / ๐ท) โ โค)) โ ((๐ด + ๐ต) / ๐ท) โ โค) | ||
Theorem | zdivmul 12505 | Property of divisibility: if ๐ท divides ๐ด then it divides ๐ต ยท ๐ด. (Contributed by NM, 3-Oct-2008.) |
โข (((๐ท โ โ โง ๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โง (๐ด / ๐ท) โ โค) โ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ท) โ โค) | ||
Theorem | zextle 12506* | An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง โ๐ โ โค (๐ โค ๐ โ ๐ โค ๐)) โ ๐ = ๐) | ||
Theorem | zextlt 12507* | An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.) |
โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง โ๐ โ โค (๐ < ๐ โ ๐ < ๐)) โ ๐ = ๐) | ||
Theorem | recnz 12508 | The reciprocal of a number greater than 1 is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง 1 < ๐ด) โ ยฌ (1 / ๐ด) โ โค) | ||
Theorem | btwnnz 12509 | A number between an integer and its successor is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ด < ๐ต โง ๐ต < (๐ด + 1)) โ ยฌ ๐ต โ โค) | ||
Theorem | gtndiv 12510 | A larger number does not divide a smaller positive integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต < ๐ด) โ ยฌ (๐ต / ๐ด) โ โค) | ||
Theorem | halfnz 12511 | One-half is not an integer. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) |
โข ยฌ (1 / 2) โ โค | ||
Theorem | 3halfnz 12512 | Three halves is not an integer. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) |
โข ยฌ (3 / 2) โ โค | ||
Theorem | suprzcl 12513* | The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ด โ โ โง โ๐ฅ โ โ โ๐ฆ โ ๐ด ๐ฆ โค ๐ฅ) โ sup(๐ด, โ, < ) โ ๐ด) | ||
Theorem | prime 12514* | Two ways to express "๐ด is a prime number (or 1)". See also isprm 16483. (Contributed by NM, 4-May-2005.) |
โข (๐ด โ โ โ (โ๐ฅ โ โ ((๐ด / ๐ฅ) โ โ โ (๐ฅ = 1 โจ ๐ฅ = ๐ด)) โ โ๐ฅ โ โ ((1 < ๐ฅ โง ๐ฅ โค ๐ด โง (๐ด / ๐ฅ) โ โ) โ ๐ฅ = ๐ด))) | ||
Theorem | msqznn 12515 | The square of a nonzero integer is a positive integer. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ด โ 0) โ (๐ด ยท ๐ด) โ โ) | ||
Theorem | zneo 12516 | No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (2 ยท ๐ด) โ ((2 ยท ๐ต) + 1)) | ||
Theorem | nneo 12517 | A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.) |
โข (๐ โ โ โ ((๐ / 2) โ โ โ ยฌ ((๐ + 1) / 2) โ โ)) | ||
Theorem | nneoi 12518 | A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) |
โข ๐ โ โ โ โข ((๐ / 2) โ โ โ ยฌ ((๐ + 1) / 2) โ โ) | ||
Theorem | zeo 12519 | An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) |
โข (๐ โ โค โ ((๐ / 2) โ โค โจ ((๐ + 1) / 2) โ โค)) | ||
Theorem | zeo2 12520 | An integer is even or odd but not both. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) |
โข (๐ โ โค โ ((๐ / 2) โ โค โ ยฌ ((๐ + 1) / 2) โ โค)) | ||
Theorem | peano2uz2 12521* | Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ {๐ฅ โ โค โฃ ๐ด โค ๐ฅ}) โ (๐ต + 1) โ {๐ฅ โ โค โฃ ๐ด โค ๐ฅ}) | ||
Theorem | peano5uzi 12522* | Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.) |
โข ๐ โ โค โ โข ((๐ โ ๐ด โง โ๐ฅ โ ๐ด (๐ฅ + 1) โ ๐ด) โ {๐ โ โค โฃ ๐ โค ๐} โ ๐ด) | ||
Theorem | peano5uzti 12523* | Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.) |
โข (๐ โ โค โ ((๐ โ ๐ด โง โ๐ฅ โ ๐ด (๐ฅ + 1) โ ๐ด) โ {๐ โ โค โฃ ๐ โค ๐} โ ๐ด)) | ||
Theorem | dfuzi 12524* | An expression for the upper integers that start at ๐ that is analogous to dfnn2 12099 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.) |
โข ๐ โ โค โ โข {๐ง โ โค โฃ ๐ โค ๐ง} = โฉ {๐ฅ โฃ (๐ โ ๐ฅ โง โ๐ฆ โ ๐ฅ (๐ฆ + 1) โ ๐ฅ)} | ||
Theorem | uzind 12525* | Induction on the upper integers that start at ๐. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.) |
โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ โค โ ๐) & โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โค ๐) โ (๐ โ ๐)) โ โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โค ๐) โ ๐) | ||
Theorem | uzind2 12526* | Induction on the upper integers that start after an integer ๐. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 25-Jul-2005.) |
โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ โค โ ๐) & โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ < ๐) โ (๐ โ ๐)) โ โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ < ๐) โ ๐) | ||
Theorem | uzind3 12527* | Induction on the upper integers that start at an integer ๐. The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 26-Jul-2005.) |
โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = (๐ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ โค โ ๐) & โข ((๐ โ โค โง ๐ โ {๐ โ โค โฃ ๐ โค ๐}) โ (๐ โ ๐)) โ โข ((๐ โ โค โง ๐ โ {๐ โ โค โฃ ๐ โค ๐}) โ ๐) | ||
Theorem | nn0ind 12528* | Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 13-May-2004.) |
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข (๐ฆ โ โ0 โ (๐ โ ๐)) โ โข (๐ด โ โ0 โ ๐) | ||
Theorem | nn0indALT 12529* | Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The last four hypotheses give us the substitution instances we need; the first two are the basis and the induction step. Either nn0ind 12528 or nn0indALT 12529 may be used; see comment for nnind 12104. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) |
โข (๐ฆ โ โ0 โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) โ โข (๐ด โ โ0 โ ๐) | ||
Theorem | nn0indd 12530* | Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers, a deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.) |
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ ๐) & โข (((๐ โง ๐ฆ โ โ0) โง ๐) โ ๐) โ โข ((๐ โง ๐ด โ โ0) โ ๐) | ||
Theorem | fzind 12531* | Induction on the integers from ๐ to ๐ inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) |
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐พ โ (๐ โ ๐)) & โข ((๐ โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โค ๐) โ ๐) & โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐ฆ โ โค โง ๐ โค ๐ฆ โง ๐ฆ < ๐)) โ (๐ โ ๐)) โ โข (((๐ โ โค โง ๐ โ โค) โง (๐พ โ โค โง ๐ โค ๐พ โง ๐พ โค ๐)) โ ๐) | ||
Theorem | fnn0ind 12532* | Induction on the integers from 0 to ๐ inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) |
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐พ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ โ0 โ ๐) & โข ((๐ โ โ0 โง ๐ฆ โ โ0 โง ๐ฆ < ๐) โ (๐ โ ๐)) โ โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โ0 โง ๐พ โค ๐) โ ๐) | ||
Theorem | nn0ind-raph 12533* | Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. Raph Levien remarks: "This seems a bit painful. I wonder if an explicit substitution version would be easier." (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.) |
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข (๐ฆ โ โ0 โ (๐ โ ๐)) โ โข (๐ด โ โ0 โ ๐) | ||
Theorem | zindd 12534* | Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) |
โข (๐ฅ = 0 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = -๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ ๐) & โข (๐ โ (๐ฆ โ โ0 โ (๐ โ ๐))) & โข (๐ โ (๐ฆ โ โ โ (๐ โ ๐))) โ โข (๐ โ (๐ด โ โค โ ๐)) | ||
Theorem | fzindd 12535* | Induction on the integers from M to N inclusive, a deduction version. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ + 1) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ โ ๐) & โข ((๐ โง (๐ฆ โ โค โง ๐ โค ๐ฆ โง ๐ฆ < ๐) โง ๐) โ ๐) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ ๐ โค ๐) โ โข ((๐ โง (๐ด โ โค โง ๐ โค ๐ด โง ๐ด โค ๐)) โ ๐) | ||
Theorem | btwnz 12536* | Any real number can be sandwiched between two integers. Exercise 2 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 10-Nov-2004.) |
โข (๐ด โ โ โ (โ๐ฅ โ โค ๐ฅ < ๐ด โง โ๐ฆ โ โค ๐ด < ๐ฆ)) | ||
Theorem | nn0zd 12537 | A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ0) โ โข (๐ โ ๐ด โ โค) | ||
Theorem | nnzd 12538 | A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) โ โข (๐ โ ๐ด โ โค) | ||
Theorem | zred 12539 | An integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) โ โข (๐ โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | zcnd 12540 | An integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) โ โข (๐ โ ๐ด โ โ) | ||
Theorem | znegcld 12541 | Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) โ โข (๐ โ -๐ด โ โค) | ||
Theorem | peano2zd 12542 | Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) โ โข (๐ โ (๐ด + 1) โ โค) | ||
Theorem | zaddcld 12543 | Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) โ โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โค) | ||
Theorem | zsubcld 12544 | Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) โ โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) โ โค) | ||
Theorem | zmulcld 12545 | Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โค) & โข (๐ โ ๐ต โ โค) โ โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) โ โค) | ||
Theorem | znnn0nn 12546 | The negative of a negative integer, is a natural number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
โข ((๐ โ โค โง ยฌ ๐ โ โ0) โ -๐ โ โ) | ||
Theorem | zadd2cl 12547 | Increasing an integer by 2 results in an integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.) |
โข (๐ โ โค โ (๐ + 2) โ โค) | ||
Theorem | zriotaneg 12548* | The negative of the unique integer such that ๐. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.) |
โข (๐ฅ = -๐ฆ โ (๐ โ ๐)) โ โข (โ!๐ฅ โ โค ๐ โ (โฉ๐ฅ โ โค ๐) = -(โฉ๐ฆ โ โค ๐)) | ||
Theorem | suprfinzcl 12549 | The supremum of a nonempty finite set of integers is a member of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ด โ โ โง ๐ด โ Fin) โ sup(๐ด, โ, < ) โ ๐ด) | ||
Syntax | cdc 12550 | Constant used for decimal constructor. |
class ;๐ด๐ต | ||
Definition | df-dec 12551 | Define the "decimal constructor", which is used to build up "decimal integers" or "numeric terms" in base 10. For example, (;;;1000 + ;;;2000) = ;;;3000 1kp2ke3k 29188. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.) |
โข ;๐ด๐ต = (((9 + 1) ยท ๐ด) + ๐ต) | ||
Theorem | 9p1e10 12552 | 9 + 1 = 10. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2015.) (Revised by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.) (Revised by AV, 1-Aug-2021.) |
โข (9 + 1) = ;10 | ||
Theorem | dfdec10 12553 | Version of the definition of the "decimal constructor" using ;10 instead of the symbol 10. Of course, this statement cannot be used as definition, because it uses the "decimal constructor". (Contributed by AV, 1-Aug-2021.) |
โข ;๐ด๐ต = ((;10 ยท ๐ด) + ๐ต) | ||
Theorem | decex 12554 | A decimal number is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข ;๐ด๐ต โ V | ||
Theorem | deceq1 12555 | Equality theorem for the decimal constructor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข (๐ด = ๐ต โ ;๐ด๐ถ = ;๐ต๐ถ) | ||
Theorem | deceq2 12556 | Equality theorem for the decimal constructor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข (๐ด = ๐ต โ ;๐ถ๐ด = ;๐ถ๐ต) | ||
Theorem | deceq1i 12557 | Equality theorem for the decimal constructor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) |
โข ๐ด = ๐ต โ โข ;๐ด๐ถ = ;๐ต๐ถ | ||
Theorem | deceq2i 12558 | Equality theorem for the decimal constructor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) |
โข ๐ด = ๐ต โ โข ;๐ถ๐ด = ;๐ถ๐ต | ||
Theorem | deceq12i 12559 | Equality theorem for the decimal constructor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) |
โข ๐ด = ๐ต & โข ๐ถ = ๐ท โ โข ;๐ด๐ถ = ;๐ต๐ท | ||
Theorem | numnncl 12560 | Closure for a numeral (with units place). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ โ โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) โ โ | ||
Theorem | num0u 12561 | Add a zero in the units place. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ด โ โ0 โ โข (๐ ยท ๐ด) = ((๐ ยท ๐ด) + 0) | ||
Theorem | num0h 12562 | Add a zero in the higher places. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ด โ โ0 โ โข ๐ด = ((๐ ยท 0) + ๐ด) | ||
Theorem | numcl 12563 | Closure for a decimal integer (with units place). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 โ โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) โ โ0 | ||
Theorem | numsuc 12564 | The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข (๐ต + 1) = ๐ถ & โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) โ โข (๐ + 1) = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) | ||
Theorem | deccl 12565 | Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 โ โข ;๐ด๐ต โ โ0 | ||
Theorem | 10nn 12566 | 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข ;10 โ โ | ||
Theorem | 10pos 12567 | The number 10 is positive. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) |
โข 0 < ;10 | ||
Theorem | 10nn0 12568 | 10 is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข ;10 โ โ0 | ||
Theorem | 10re 12569 | The number 10 is real. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 8-Oct-2022.) |
โข ;10 โ โ | ||
Theorem | decnncl 12570 | Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ โ โข ;๐ด๐ต โ โ | ||
Theorem | dec0u 12571 | Add a zero in the units place. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 โ โข (;10 ยท ๐ด) = ;๐ด0 | ||
Theorem | dec0h 12572 | Add a zero in the higher places. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 โ โข ๐ด = ;0๐ด | ||
Theorem | numnncl2 12573 | Closure for a decimal integer (zero units place). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.) |
โข ๐ โ โ & โข ๐ด โ โ โ โข ((๐ ยท ๐ด) + 0) โ โ | ||
Theorem | decnncl2 12574 | Closure for a decimal integer (zero units place). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ โ โข ;๐ด0 โ โ | ||
Theorem | numlt 12575 | Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ & โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ & โข ๐ต < ๐ถ โ โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) < ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) | ||
Theorem | numltc 12576 | Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ & โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ถ < ๐ & โข ๐ด < ๐ต โ โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท) | ||
Theorem | le9lt10 12577 | A "decimal digit" (i.e. a nonnegative integer less than or equal to 9) is less then 10. (Contributed by AV, 8-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ด โค 9 โ โข ๐ด < ;10 | ||
Theorem | declt 12578 | Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ & โข ๐ต < ๐ถ โ โข ;๐ด๐ต < ;๐ด๐ถ | ||
Theorem | decltc 12579 | Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ถ < ;10 & โข ๐ด < ๐ต โ โข ;๐ด๐ถ < ;๐ต๐ท | ||
Theorem | declth 12580 | Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by AV, 8-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ถ โค 9 & โข ๐ด < ๐ต โ โข ;๐ด๐ถ < ;๐ต๐ท | ||
Theorem | decsuc 12581 | The successor of a decimal integer (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข (๐ต + 1) = ๐ถ & โข ๐ = ;๐ด๐ต โ โข (๐ + 1) = ;๐ด๐ถ | ||
Theorem | 3declth 12582 | Comparing two decimal integers with three "digits" (unequal higher places). (Contributed by AV, 8-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ธ โ โ0 & โข ๐น โ โ0 & โข ๐ด < ๐ต & โข ๐ถ โค 9 & โข ๐ธ โค 9 โ โข ;;๐ด๐ถ๐ธ < ;;๐ต๐ท๐น | ||
Theorem | 3decltc 12583 | Comparing two decimal integers with three "digits" (unequal higher places). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ธ โ โ0 & โข ๐น โ โ0 & โข ๐ด < ๐ต & โข ๐ถ < ;10 & โข ๐ธ < ;10 โ โข ;;๐ด๐ถ๐ธ < ;;๐ต๐ท๐น | ||
Theorem | decle 12584 | Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ต โค ๐ถ โ โข ;๐ด๐ต โค ;๐ด๐ถ | ||
Theorem | decleh 12585 | Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ถ โค 9 & โข ๐ด < ๐ต โ โข ;๐ด๐ถ โค ;๐ต๐ท | ||
Theorem | declei 12586 | Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) |
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ถ โค 9 โ โข ๐ถ โค ;๐ด๐ต | ||
Theorem | numlti 12587 | Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ & โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ถ < ๐ โ โข ๐ถ < ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) | ||
Theorem | declti 12588 | Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ถ < ;10 โ โข ๐ถ < ;๐ด๐ต | ||
Theorem | decltdi 12589 | Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by AV, 8-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ถ โค 9 โ โข ๐ถ < ;๐ด๐ต | ||
Theorem | numsucc 12590 | The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ = (๐ + 1) & โข ๐ด โ โ0 & โข (๐ด + 1) = ๐ต & โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐) โ โข (๐ + 1) = ((๐ ยท ๐ต) + 0) | ||
Theorem | decsucc 12591 | The successor of a decimal integer (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข ๐ด โ โ0 & โข (๐ด + 1) = ๐ต & โข ๐ = ;๐ด9 โ โข (๐ + 1) = ;๐ต0 | ||
Theorem | 1e0p1 12592 | The successor of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข 1 = (0 + 1) | ||
Theorem | dec10p 12593 | Ten plus an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.) |
โข (;10 + ๐ด) = ;1๐ด | ||
Theorem | numma 12594 | Perform a multiply-add of two decimal integers ๐ and ๐ against a fixed multiplicand ๐ (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) & โข ๐ = ((๐ ยท ๐ถ) + ๐ท) & โข ๐ โ โ0 & โข ((๐ด ยท ๐) + ๐ถ) = ๐ธ & โข ((๐ต ยท ๐) + ๐ท) = ๐น โ โข ((๐ ยท ๐) + ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐น) | ||
Theorem | nummac 12595 | Perform a multiply-add of two decimal integers ๐ and ๐ against a fixed multiplicand ๐ (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) & โข ๐ = ((๐ ยท ๐ถ) + ๐ท) & โข ๐ โ โ0 & โข ๐น โ โ0 & โข ๐บ โ โ0 & โข ((๐ด ยท ๐) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ & โข ((๐ต ยท ๐) + ๐ท) = ((๐ ยท ๐บ) + ๐น) โ โข ((๐ ยท ๐) + ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐น) | ||
Theorem | numma2c 12596 | Perform a multiply-add of two decimal integers ๐ and ๐ against a fixed multiplicand ๐ (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) & โข ๐ = ((๐ ยท ๐ถ) + ๐ท) & โข ๐ โ โ0 & โข ๐น โ โ0 & โข ๐บ โ โ0 & โข ((๐ ยท ๐ด) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ & โข ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท) = ((๐ ยท ๐บ) + ๐น) โ โข ((๐ ยท ๐) + ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐น) | ||
Theorem | numadd 12597 | Add two decimal integers ๐ and ๐ (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) & โข ๐ = ((๐ ยท ๐ถ) + ๐ท) & โข (๐ด + ๐ถ) = ๐ธ & โข (๐ต + ๐ท) = ๐น โ โข (๐ + ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐น) | ||
Theorem | numaddc 12598 | Add two decimal integers ๐ and ๐ (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ถ โ โ0 & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) & โข ๐ = ((๐ ยท ๐ถ) + ๐ท) & โข ๐น โ โ0 & โข ((๐ด + ๐ถ) + 1) = ๐ธ & โข (๐ต + ๐ท) = ((๐ ยท 1) + ๐น) โ โข (๐ + ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐น) | ||
Theorem | nummul1c 12599 | The product of a decimal integer with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ โ โ0 & โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ธ โ โ0 & โข ((๐ด ยท ๐) + ๐ธ) = ๐ถ & โข (๐ต ยท ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐ท) โ โข (๐ ยท ๐) = ((๐ ยท ๐ถ) + ๐ท) | ||
Theorem | nummul2c 12600 | The product of a decimal integer with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ๐ โ โ0 & โข ๐ โ โ0 & โข ๐ด โ โ0 & โข ๐ต โ โ0 & โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) & โข ๐ท โ โ0 & โข ๐ธ โ โ0 & โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ธ) = ๐ถ & โข (๐ ยท ๐ต) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐ท) โ โข (๐ ยท ๐) = ((๐ ยท ๐ถ) + ๐ท) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |