Theorem elznn0 12531

Description: Integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elznn0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))

Proof of Theorem elznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12518	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		elnn0 12431	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
4		elnn0 12431	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 = 0))
5		recn 11120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
6		0cn 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
7		negcon1 11438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (-𝑁 = 0 ↔ -0 = 𝑁))
8	5, 6, 7	sylancl 592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 = 0 ↔ -0 = 𝑁))
9		neg0 11432	. . . . . . . . . 10 ⊢ -0 = 0
10	9	eqeq1i 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (-0 = 𝑁 ↔ 0 = 𝑁)
11		eqcom 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝑁 ↔ 𝑁 = 0)
12	10, 11	bitri 276	. . . . . . . 8 ⊢ (-0 = 𝑁 ↔ 𝑁 = 0)
13	8, 12	bitrdi 288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
14	13	orbi2d 921	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 = 0) ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
15	4, 14	bitrid 284	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
16	3, 15	orbi12d 924	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
17		3orass 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 = 0 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
18		orcom 876	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ∨ 𝑁 = 0))
19		orordir 935	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
20	17, 18, 19	3bitrri 299	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
21	16, 20	bitr2di 289	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
22	21	pm5.32i 579	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
23	1, 22	bitri 276	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∨ w3o 1091   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  -cneg 11370  ℕcn 12166  ℕ₀cn0 12429  ℤcz 12516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-ltxr 11176  df-sub 11371  df-neg 11372  df-n0 12430  df-z 12517

This theorem is referenced by:  elz2  12534  zmulcl  12568  expnegz  14050  expaddzlem  14059  odd2np1  16302  mulgz  19070  mulgdirlem  19073  mulgdir  19074  mulgass  19079  mulgdi  19793  cxpmul2z  26674  2sqnn0  27420  zconstr  33957  zrhcntr  34172  rexzrexnn0  43258  pell1234qrdich  43315  pell14qrexpcl  43321  pell14qrdich  43323  rmxnn  43405  jm2.19lem4  43446