MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elznn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elznn0 11990
Description: Integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elznn0 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))

Proof of Theorem elznn0
StepHypRef Expression
1 elz 11977 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 elnn0 11893 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
32a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
4 elnn0 11893 . . . . . 6 (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 = 0))
5 recn 10621 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
6 0cn 10627 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
7 negcon1 10932 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (-𝑁 = 0 ↔ -0 = 𝑁))
85, 6, 7sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 = 0 ↔ -0 = 𝑁))
9 neg0 10926 . . . . . . . . . 10 -0 = 0
109eqeq1i 2831 . . . . . . . . 9 (-0 = 𝑁 ↔ 0 = 𝑁)
11 eqcom 2833 . . . . . . . . 9 (0 = 𝑁𝑁 = 0)
1210, 11bitri 276 . . . . . . . 8 (-0 = 𝑁𝑁 = 0)
138, 12syl6bb 288 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
1413orbi2d 911 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((-𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 = 0) ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
154, 14syl5bb 284 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
163, 15orbi12d 914 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
17 3orass 1084 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 = 0 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
18 orcom 866 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ∨ 𝑁 = 0))
19 orordir 925 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
2017, 18, 193bitrri 299 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
2116, 20syl6rbb 289 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
2221pm5.32i 575 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
231, 22bitri 276 1 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  wo 843  w3o 1080   = wceq 1530  wcel 2107  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  -cneg 10865  cn 11632  0cn0 11891  cz 11975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866  df-neg 10867  df-n0 11892  df-z 11976
This theorem is referenced by:  elz2  11993  zmulcl  12025  expnegz  13458  expaddzlem  13467  odd2np1  15685  mulgz  18200  mulgdirlem  18203  mulgdir  18204  mulgass  18209  mulgdi  18883  cxpmul2z  25206  2sqnn0  25947  rexzrexnn0  39285  pell1234qrdich  39342  pell14qrexpcl  39348  pell14qrdich  39350  rmxnn  39432  jm2.19lem4  39473
  Copyright terms: Public domain W3C validator