Theorem elznn0 12732

Description: Integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elznn0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))

Proof of Theorem elznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12719	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		elnn0 12632	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
4		elnn0 12632	. . . . . 6 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℕ0 ↔ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 = 0))
5		recn 11314	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
6		0cn 11322	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
7		negcon1 11634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ( -𝑁 = 0 ↔ -0 = 𝑁))
8	5, 6, 7	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ( -𝑁 = 0 ↔ -0 = 𝑁))
9		neg0 11628	. . . . . . . . . 10 ⊢ -0 = 0
10	9	eqeq1i 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -0 = 𝑁 ↔ 0 = 𝑁)
11		eqcom 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝑁 ↔ 𝑁 = 0)
12	10, 11	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ ( -0 = 𝑁 ↔ 𝑁 = 0)
13	8, 12	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ( -𝑁 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
14	13	orbi2d 929	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (( -𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 = 0) ↔ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
15	4, 14	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ( -𝑁 ∈ ℕ0 ↔ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
16	3, 15	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∨ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
17		3orass 1106	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 = 0 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
18		orcom 884	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ∨ 𝑁 = 0))
19		orordir 943	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∨ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
20	17, 18, 19	3bitrri 301	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∨ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
21	16, 20	bitr2di 291	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
22	21	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
23	1, 22	bitri 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224   -cneg 11566  ℕcn 12359  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-ltxr 11372  df-sub 11567  df-neg 11568  df-n0 12631  df-z 12718

This theorem is used by:  elz2  12735  zmulcl  12769  expnegz  14263  expaddzlem  14272  odd2np1  16537  mulgz  19338  mulgdirlem  19341  mulgdir  19342  mulgass  19347  mulgdi  20067  cxpmul2z  27046  2sqnn0  27792  zconstr  34463  zrhcntr  34678  rexzrexnn0  44002  pell1234qrdich  44059  pell14qrexpcl  44065  pell14qrdich  44067  rmxnn  44149  jm2.19lem4  44190