Theorem ostthlem1 27514

Description: Lemma for ostth 27526. If two absolute values agree on the positive integers greater than one, then they agree for all rational numbers and thus are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
ostthlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostthlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
ostthlem1.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))

Assertion

Ref	Expression
ostthlem1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝑄,𝑛   𝑛,𝐹

Proof of Theorem ostthlem1

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostthlem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		qabsabv.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		qrng.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
4	3	qrngbas 27506	. . . 4 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
5	2, 4	abvf 20700	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:ℚ⟶ℝ)
6		ffn 6670	. . 3 ⊢ (𝐹:ℚ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℚ)
7	1, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℚ)
8		ostthlem1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
9	2, 4	abvf 20700	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐴 → 𝐺:ℚ⟶ℝ)
10		ffn 6670	. . 3 ⊢ (𝐺:ℚ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℚ)
11	8, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℚ)
12		elq 12885	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛))
13	3	qdrng 27507	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑄 ∈ DivRing)
15	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
16		zq 12889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℚ)
17	16	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℚ)
18		nnq 12897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
19	18	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℚ)
20		nnne0 12196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
21	20	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ≠ 0)
22	3	qrng0 27508	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
23		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (/r‘𝑄) = (/r‘𝑄)
24	2, 4, 22, 23	abvdiv 20714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (𝐹‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐹‘𝑛)))
25	14, 15, 17, 19, 21, 24	syl23anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐹‘𝑛)))
26	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ 𝐴)
27	2, 4, 22, 23	abvdiv 20714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐺‘𝑘) / (𝐺‘𝑛)))
28	14, 26, 17, 19, 21, 27	syl23anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐺‘𝑘) / (𝐺‘𝑛)))
29	2, 22	abv0 20708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
30	1, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
31	2, 22	abv0 20708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐴 → (𝐺‘0) = 0)
32	8, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
33	30, 32	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
34		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
35		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘0))
36	34, 35	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘0) = (𝐺‘0)))
37	33, 36	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
39	38	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
40		elnn1uz2 12860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
41	3	qrng1 27509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
42	2, 41	abv1 20710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐹‘1) = 1)
43	13, 1, 42	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 1)
44	2, 41	abv1 20710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝐺‘1) = 1)
45	13, 8, 44	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
46	43, 45	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
47		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
48		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘1))
49	47, 48	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛) ↔ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
50	46, 49	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛)))
51	50	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
52		ostthlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
53	51, 52	jaodan 959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
54	40, 53	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
55	54	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
57		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
58		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
59	57, 58	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
60	59	rspccva 3584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
61	56, 60	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
62		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = ((invg‘𝑄)‘𝑘) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)))
63		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = ((invg‘𝑄)‘𝑘) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘)))
64	62, 63	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = ((invg‘𝑄)‘𝑘) → ((𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛) ↔ (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘))))
65	55	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
66	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℚ)
67	3	qrngneg 27510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℚ → ((invg‘𝑄)‘𝑘) = -𝑘)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((invg‘𝑄)‘𝑘) = -𝑘)
69	68	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((invg‘𝑄)‘𝑘) ∈ ℕ ↔ -𝑘 ∈ ℕ))
70	69	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((invg‘𝑄)‘𝑘) ∈ ℕ)
71	64, 65, 70	rspcdva 3586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘)))
72	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ 𝐴)
73	16	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℚ)
74		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (invg‘𝑄) = (invg‘𝑄)
75	2, 4, 74	abvneg 20711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℚ) → (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
76	72, 73, 75	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
77	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐴)
78	2, 4, 74	abvneg 20711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℚ) → (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
79	77, 73, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
80	71, 76, 79	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
81		elz 12507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ)))
82	81	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
84	39, 61, 80, 83	mpjao3dan 1434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
85	84	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
86	54	adantrl 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
87	85, 86	oveq12d 7387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑘) / (𝐹‘𝑛)) = ((𝐺‘𝑘) / (𝐺‘𝑛)))
88	28, 87	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐹‘𝑛)))
89	25, 88	eqtr4d 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)))
90	3	qrngdiv 27511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑘(/r‘𝑄)𝑛) = (𝑘 / 𝑛))
91	17, 19, 21, 90	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑘(/r‘𝑄)𝑛) = (𝑘 / 𝑛))
92	91	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)))
93	91	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
94	89, 92, 93	3eqtr3d 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
95		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)))
96		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
97	95, 96	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛))))
98	94, 97	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
99	98	rexlimdvva 3192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
100	12, 99	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℚ → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
101	100	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
102	7, 11, 101	eqfnfvd 6988	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045  -cneg 11382   / cdiv 11811  ℕcn 12162  2c2 12217  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ℚcq 12883   ↾_s cress 17176  inv_gcminusg 18842  /_rcdvr 20285  DivRingcdr 20614  AbsValcabv 20693  ℂ_fldccnfld 21240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-ico 13288  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-subg 19031  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-abv 20694  df-cnfld 21241

This theorem is referenced by:  ostthlem2  27515  ostth2  27524