Theorem ostthlem1 27565

Description: Lemma for ostth 27577. If two absolute values agree on the positive integers greater than one, then they agree for all rational numbers and thus are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
ostthlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostthlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
ostthlem1.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))

Assertion

Ref	Expression
ostthlem1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝑄,𝑛   𝑛,𝐹

Proof of Theorem ostthlem1

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostthlem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		qabsabv.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		qrng.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
4	3	qrngbas 27557	. . . 4 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
5	2, 4	abvf 20730	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:ℚ⟶ℝ)
6		ffn 6651	. . 3 ⊢ (𝐹:ℚ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℚ)
7	1, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℚ)
8		ostthlem1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
9	2, 4	abvf 20730	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐴 → 𝐺:ℚ⟶ℝ)
10		ffn 6651	. . 3 ⊢ (𝐺:ℚ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℚ)
11	8, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℚ)
12		elq 12848	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛))
13	3	qdrng 27558	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑄 ∈ DivRing)
15	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
16		zq 12852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℚ)
17	16	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℚ)
18		nnq 12860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
19	18	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℚ)
20		nnne0 12159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
21	20	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ≠ 0)
22	3	qrng0 27559	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
23		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (/r‘𝑄) = (/r‘𝑄)
24	2, 4, 22, 23	abvdiv 20744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (𝐹‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐹‘𝑛)))
25	14, 15, 17, 19, 21, 24	syl23anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐹‘𝑛)))
26	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ 𝐴)
27	2, 4, 22, 23	abvdiv 20744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐺‘𝑘) / (𝐺‘𝑛)))
28	14, 26, 17, 19, 21, 27	syl23anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐺‘𝑘) / (𝐺‘𝑛)))
29	2, 22	abv0 20738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
30	1, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
31	2, 22	abv0 20738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐴 → (𝐺‘0) = 0)
32	8, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
33	30, 32	eqtr4d 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
34		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
35		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘0))
36	34, 35	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘0) = (𝐺‘0)))
37	33, 36	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
39	38	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
40		elnn1uz2 12823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
41	3	qrng1 27560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
42	2, 41	abv1 20740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐹‘1) = 1)
43	13, 1, 42	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 1)
44	2, 41	abv1 20740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝐺‘1) = 1)
45	13, 8, 44	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
46	43, 45	eqtr4d 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
47		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
48		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘1))
49	47, 48	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛) ↔ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
50	46, 49	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛)))
51	50	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
52		ostthlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
53	51, 52	jaodan 959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
54	40, 53	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
55	54	ralrimiva 3124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
57		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
58		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
59	57, 58	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
60	59	rspccva 3571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
61	56, 60	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
62		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = ((invg‘𝑄)‘𝑘) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)))
63		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = ((invg‘𝑄)‘𝑘) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘)))
64	62, 63	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = ((invg‘𝑄)‘𝑘) → ((𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛) ↔ (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘))))
65	55	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
66	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℚ)
67	3	qrngneg 27561	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℚ → ((invg‘𝑄)‘𝑘) = -𝑘)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((invg‘𝑄)‘𝑘) = -𝑘)
69	68	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((invg‘𝑄)‘𝑘) ∈ ℕ ↔ -𝑘 ∈ ℕ))
70	69	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((invg‘𝑄)‘𝑘) ∈ ℕ)
71	64, 65, 70	rspcdva 3573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘)))
72	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ 𝐴)
73	16	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℚ)
74		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (invg‘𝑄) = (invg‘𝑄)
75	2, 4, 74	abvneg 20741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℚ) → (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
76	72, 73, 75	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
77	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐴)
78	2, 4, 74	abvneg 20741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℚ) → (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
79	77, 73, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
80	71, 76, 79	3eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
81		elz 12470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ)))
82	81	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
84	39, 61, 80, 83	mpjao3dan 1434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
85	84	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
86	54	adantrl 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
87	85, 86	oveq12d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑘) / (𝐹‘𝑛)) = ((𝐺‘𝑘) / (𝐺‘𝑛)))
88	28, 87	eqtr4d 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐹‘𝑛)))
89	25, 88	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)))
90	3	qrngdiv 27562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑘(/r‘𝑄)𝑛) = (𝑘 / 𝑛))
91	17, 19, 21, 90	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑘(/r‘𝑄)𝑛) = (𝑘 / 𝑛))
92	91	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)))
93	91	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
94	89, 92, 93	3eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
95		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)))
96		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
97	95, 96	eqeq12d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛))))
98	94, 97	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
99	98	rexlimdvva 3189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
100	12, 99	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℚ → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
101	100	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
102	7, 11, 101	eqfnfvd 6967	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007  -cneg 11345   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ℚcq 12846   ↾_s cress 17141  inv_gcminusg 18847  /_rcdvr 20318  DivRingcdr 20644  AbsValcabv 20723  ℂ_fldccnfld 21291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-ico 13251  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-drng 20646  df-abv 20724  df-cnfld 21292

This theorem is referenced by:  ostthlem2  27566  ostth2  27575