Theorem ostthlem1 27607

Description: Lemma for ostth 27619. If two absolute values agree on the positive integers greater than one, then they agree for all rational numbers and thus are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
ostthlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostthlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
ostthlem1.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))

Assertion

Ref	Expression
ostthlem1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝑄,𝑛   𝑛,𝐹

Proof of Theorem ostthlem1

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostthlem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		qabsabv.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		qrng.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
4	3	qrngbas 27599	. . . 4 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
5	2, 4	abvf 20786	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:ℚ⟶ℝ)
6		ffn 6663	. . 3 ⊢ (𝐹:ℚ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℚ)
7	1, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℚ)
8		ostthlem1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
9	2, 4	abvf 20786	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐴 → 𝐺:ℚ⟶ℝ)
10		ffn 6663	. . 3 ⊢ (𝐺:ℚ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℚ)
11	8, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℚ)
12		elq 12894	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛))
13	3	qdrng 27600	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑄 ∈ DivRing)
15	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
16		zq 12898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℚ)
17	16	ad2antrl 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℚ)
18		nnq 12906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
19	18	ad2antll 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℚ)
20		nnne0 12205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
21	20	ad2antll 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ≠ 0)
22	3	qrng0 27601	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
23		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (/r‘𝑄) = (/r‘𝑄)
24	2, 4, 22, 23	abvdiv 20800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (𝐹‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐹‘𝑛)))
25	14, 15, 17, 19, 21, 24	syl23anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐹‘𝑛)))
26	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ 𝐴)
27	2, 4, 22, 23	abvdiv 20800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐺‘𝑘) / (𝐺‘𝑛)))
28	14, 26, 17, 19, 21, 27	syl23anc 1380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐺‘𝑘) / (𝐺‘𝑛)))
29	2, 22	abv0 20794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
30	1, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
31	2, 22	abv0 20794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐴 → (𝐺‘0) = 0)
32	8, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
33	30, 32	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
34		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
35		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘0))
36	34, 35	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘0) = (𝐺‘0)))
37	33, 36	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
39	38	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
40		elnn1uz2 12869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
41	3	qrng1 27602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
42	2, 41	abv1 20796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐹‘1) = 1)
43	13, 1, 42	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 1)
44	2, 41	abv1 20796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝐺‘1) = 1)
45	13, 8, 44	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
46	43, 45	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
47		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
48		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘1))
49	47, 48	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛) ↔ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
50	46, 49	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛)))
51	50	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
52		ostthlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
53	51, 52	jaodan 960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
54	40, 53	sylan2b 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
55	54	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
57		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
58		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
59	57, 58	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
60	59	rspccva 3564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
61	56, 60	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
62		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = ((invg‘𝑄)‘𝑘) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)))
63		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = ((invg‘𝑄)‘𝑘) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘)))
64	62, 63	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = ((invg‘𝑄)‘𝑘) → ((𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛) ↔ (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘))))
65	55	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
66	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℚ)
67	3	qrngneg 27603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℚ → ((invg‘𝑄)‘𝑘) = -𝑘)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((invg‘𝑄)‘𝑘) = -𝑘)
69	68	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((invg‘𝑄)‘𝑘) ∈ ℕ ↔ -𝑘 ∈ ℕ))
70	69	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((invg‘𝑄)‘𝑘) ∈ ℕ)
71	64, 65, 70	rspcdva 3566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘)))
72	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ 𝐴)
73	16	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℚ)
74		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (invg‘𝑄) = (invg‘𝑄)
75	2, 4, 74	abvneg 20797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℚ) → (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
76	72, 73, 75	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
77	8	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐴)
78	2, 4, 74	abvneg 20797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℚ) → (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
79	77, 73, 78	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
80	71, 76, 79	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
81		elz 12520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ)))
82	81	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
84	39, 61, 80, 83	mpjao3dan 1435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
85	84	adantrr 718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
86	54	adantrl 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
87	85, 86	oveq12d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑘) / (𝐹‘𝑛)) = ((𝐺‘𝑘) / (𝐺‘𝑛)))
88	28, 87	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐹‘𝑛)))
89	25, 88	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)))
90	3	qrngdiv 27604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑘(/r‘𝑄)𝑛) = (𝑘 / 𝑛))
91	17, 19, 21, 90	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑘(/r‘𝑄)𝑛) = (𝑘 / 𝑛))
92	91	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)))
93	91	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
94	89, 92, 93	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
95		fveq2 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)))
96		fveq2 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
97	95, 96	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛))))
98	94, 97	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
99	98	rexlimdvva 3195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
100	12, 99	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℚ → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
101	100	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
102	7, 11, 101	eqfnfvd 6981	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033  -cneg 11372   / cdiv 11801  ℕcn 12168  2c2 12230  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  ℚcq 12892   ↾_s cress 17194  inv_gcminusg 18904  /_rcdvr 20374  DivRingcdr 20700  AbsValcabv 20779  ℂ_fldccnfld 21347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-ico 13298  df-fz 13456  df-seq 13958  df-exp 14018  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-subg 19093  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-drng 20702  df-abv 20780  df-cnfld 21348

This theorem is referenced by:  ostthlem2  27608  ostth2  27617