MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostthlem1 26775
Description: Lemma for ostth 26787. If two absolute values agree on the positive integers greater than one, then they agree for all rational numbers and thus are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
ostthlem1.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostthlem1.2 (𝜑𝐺𝐴)
ostthlem1.3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
Assertion
Ref Expression
ostthlem1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝑄,𝑛   𝑛,𝐹

Proof of Theorem ostthlem1
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ostthlem1.1 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
2 qabsabv.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3 qrng.q . . . . 5 𝑄 = (ℂflds ℚ)
43qrngbas 26767 . . . 4 ℚ = (Base‘𝑄)
52, 4abvf 20083 . . 3 (𝐹𝐴𝐹:ℚ⟶ℝ)
6 ffn 6600 . . 3 (𝐹:ℚ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℚ)
71, 5, 63syl 18 . 2 (𝜑𝐹 Fn ℚ)
8 ostthlem1.2 . . 3 (𝜑𝐺𝐴)
92, 4abvf 20083 . . 3 (𝐺𝐴𝐺:ℚ⟶ℝ)
10 ffn 6600 . . 3 (𝐺:ℚ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℚ)
118, 9, 103syl 18 . 2 (𝜑𝐺 Fn ℚ)
12 elq 12690 . . . 4 (𝑦 ∈ ℚ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛))
133qdrng 26768 . . . . . . . . . 10 𝑄 ∈ DivRing
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑄 ∈ DivRing)
151adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐹𝐴)
16 zq 12694 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℚ)
1716ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℚ)
18 nnq 12702 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
1918ad2antll 726 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℚ)
20 nnne0 12007 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
2120ad2antll 726 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ≠ 0)
223qrng0 26769 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑄)
23 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (/r𝑄) = (/r𝑄)
242, 4, 22, 23abvdiv 20097 . . . . . . . . 9 (((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (𝐹‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = ((𝐹𝑘) / (𝐹𝑛)))
2514, 15, 17, 19, 21, 24syl23anc 1376 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = ((𝐹𝑘) / (𝐹𝑛)))
268adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐺𝐴)
272, 4, 22, 23abvdiv 20097 . . . . . . . . . 10 (((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐺𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (𝐺‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = ((𝐺𝑘) / (𝐺𝑛)))
2814, 26, 17, 19, 21, 27syl23anc 1376 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = ((𝐺𝑘) / (𝐺𝑛)))
292, 22abv0 20091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
301, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
312, 22abv0 20091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺𝐴 → (𝐺‘0) = 0)
328, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
3330, 32eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
34 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
35 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (𝐺𝑘) = (𝐺‘0))
3634, 35eqeq12d 2754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → ((𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) ↔ (𝐹‘0) = (𝐺‘0)))
3733, 36syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
3938imp 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
40 elnn1uz2 12665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘2)))
413qrng1 26770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 = (1r𝑄)
422, 41abv1 20093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) → (𝐹‘1) = 1)
4313, 1, 42sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹‘1) = 1)
442, 41abv1 20093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐺𝐴) → (𝐺‘1) = 1)
4513, 8, 44sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
4643, 45eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
47 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 1 → (𝐹𝑛) = (𝐹‘1))
48 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 1 → (𝐺𝑛) = (𝐺‘1))
4947, 48eqeq12d 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 1 → ((𝐹𝑛) = (𝐺𝑛) ↔ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
5046, 49syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑛 = 1 → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛)))
5150imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 = 1) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
52 ostthlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
5351, 52jaodan 955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘2))) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
5440, 53sylan2b 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
5554ralrimiva 3103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
57 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
58 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
5957, 58eqeq12d 2754 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) = (𝐺𝑛) ↔ (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
6059rspccva 3560 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
6156, 60sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
62 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑘) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)))
63 fveq2 6774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑘) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘)))
6462, 63eqeq12d 2754 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = ((invg𝑄)‘𝑘) → ((𝐹𝑛) = (𝐺𝑛) ↔ (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘))))
6555ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
6616adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℚ)
673qrngneg 26771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℚ → ((invg𝑄)‘𝑘) = -𝑘)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → ((invg𝑄)‘𝑘) = -𝑘)
6968eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (((invg𝑄)‘𝑘) ∈ ℕ ↔ -𝑘 ∈ ℕ))
7069biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((invg𝑄)‘𝑘) ∈ ℕ)
7164, 65, 70rspcdva 3562 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘)))
721ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹𝐴)
7316ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℚ)
74 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (invg𝑄) = (invg𝑄)
752, 4, 74abvneg 20094 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐴𝑘 ∈ ℚ) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐹𝑘))
7672, 73, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐹𝑘))
778ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐺𝐴)
782, 4, 74abvneg 20094 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝐴𝑘 ∈ ℚ) → (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐺𝑘))
7977, 73, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘((invg𝑄)‘𝑘)) = (𝐺𝑘))
8071, 76, 793eqtr3d 2786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
81 elz 12321 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ)))
8281simprbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
8382adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
8439, 61, 80, 83mpjao3dan 1430 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
8584adantrr 714 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
8654adantrl 713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
8785, 86oveq12d 7293 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑘) / (𝐹𝑛)) = ((𝐺𝑘) / (𝐺𝑛)))
8828, 87eqtr4d 2781 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = ((𝐹𝑘) / (𝐹𝑛)))
8925, 88eqtr4d 2781 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = (𝐺‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)))
903qrngdiv 26772 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑘(/r𝑄)𝑛) = (𝑘 / 𝑛))
9117, 19, 21, 90syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑘(/r𝑄)𝑛) = (𝑘 / 𝑛))
9291fveq2d 6778 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)))
9391fveq2d 6778 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r𝑄)𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
9489, 92, 933eqtr3d 2786 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
95 fveq2 6774 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)))
96 fveq2 6774 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐺𝑦) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
9795, 96eqeq12d 2754 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → ((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛))))
9894, 97syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)))
9998rexlimdvva 3223 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)))
10012, 99syl5bi 241 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℚ → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)))
101100imp 407 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℚ) → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))
1027, 11, 101eqfnfvd 6912 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 844  w3o 1085   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065   Fn wfn 6428  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872  -cneg 11206   / cdiv 11632  cn 11973  2c2 12028  cz 12319  cuz 12582  cq 12688  s cress 16941  invgcminusg 18578  /rcdvr 19924  DivRingcdr 19991  AbsValcabv 20076  fldccnfld 20597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-ico 13085  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-abv 20077  df-cnfld 20598
This theorem is referenced by:  ostthlem2  26776  ostth2  26785
  Copyright terms: Public domain W3C validator