Theorem ostthlem1 27545

Description: Lemma for ostth 27557. If two absolute values agree on the positive integers greater than one, then they agree for all rational numbers and thus are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
qabsabv.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
ostthlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ostthlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
ostthlem1.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))

Assertion

Ref	Expression
ostthlem1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝑄,𝑛   𝑛,𝐹

Proof of Theorem ostthlem1

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostthlem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		qabsabv.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3		qrng.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (ℂfld ↾s ℚ)
4	3	qrngbas 27537	. . . 4 ⊢ ℚ = (Base‘𝑄)
5	2, 4	abvf 20731	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:ℚ⟶ℝ)
6		ffn 6691	. . 3 ⊢ (𝐹:ℚ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℚ)
7	1, 5, 6	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℚ)
8		ostthlem1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐴)
9	2, 4	abvf 20731	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐴 → 𝐺:ℚ⟶ℝ)
10		ffn 6691	. . 3 ⊢ (𝐺:ℚ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℚ)
11	8, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℚ)
12		elq 12916	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛))
13	3	qdrng 27538	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 ∈ DivRing
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑄 ∈ DivRing)
15	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
16		zq 12920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℚ)
17	16	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℚ)
18		nnq 12928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℚ)
19	18	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℚ)
20		nnne0 12227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
21	20	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ≠ 0)
22	3	qrng0 27539	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑄)
23		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (/r‘𝑄) = (/r‘𝑄)
24	2, 4, 22, 23	abvdiv 20745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (𝐹‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐹‘𝑛)))
25	14, 15, 17, 19, 21, 24	syl23anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐹‘𝑛)))
26	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ 𝐴)
27	2, 4, 22, 23	abvdiv 20745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) ∧ (𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐺‘𝑘) / (𝐺‘𝑛)))
28	14, 26, 17, 19, 21, 27	syl23anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐺‘𝑘) / (𝐺‘𝑛)))
29	2, 22	abv0 20739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘0) = 0)
30	1, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 0)
31	2, 22	abv0 20739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐴 → (𝐺‘0) = 0)
32	8, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘0) = 0)
33	30, 32	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
34		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
35		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘0))
36	34, 35	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘0) = (𝐺‘0)))
37	33, 36	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
39	38	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
40		elnn1uz2 12891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)))
41	3	qrng1 27540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
42	2, 41	abv1 20741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐹‘1) = 1)
43	13, 1, 42	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = 1)
44	2, 41	abv1 20741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑄 ∈ DivRing ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝐺‘1) = 1)
45	13, 8, 44	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
46	43, 45	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
47		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘1))
48		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘1))
49	47, 48	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛) ↔ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
50	46, 49	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑛 = 1 → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛)))
51	50	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
52		ostthlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
53	51, 52	jaodan 959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
54	40, 53	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
55	54	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
57		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘))
58		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘))
59	57, 58	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛) ↔ (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
60	59	rspccva 3590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
61	56, 60	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
62		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = ((invg‘𝑄)‘𝑘) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)))
63		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = ((invg‘𝑄)‘𝑘) → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘)))
64	62, 63	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = ((invg‘𝑄)‘𝑘) → ((𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛) ↔ (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘))))
65	55	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
66	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℚ)
67	3	qrngneg 27541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℚ → ((invg‘𝑄)‘𝑘) = -𝑘)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((invg‘𝑄)‘𝑘) = -𝑘)
69	68	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((invg‘𝑄)‘𝑘) ∈ ℕ ↔ -𝑘 ∈ ℕ))
70	69	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → ((invg‘𝑄)‘𝑘) ∈ ℕ)
71	64, 65, 70	rspcdva 3592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘)))
72	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ 𝐴)
73	16	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℚ)
74		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (invg‘𝑄) = (invg‘𝑄)
75	2, 4, 74	abvneg 20742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℚ) → (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
76	72, 73, 75	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
77	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐴)
78	2, 4, 74	abvneg 20742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℚ) → (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
79	77, 73, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘((invg‘𝑄)‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
80	71, 76, 79	3eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
81		elz 12538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ)))
82	81	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ))
84	39, 61, 80, 83	mpjao3dan 1434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
85	84	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
86	54	adantrl 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑛) = (𝐺‘𝑛))
87	85, 86	oveq12d 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐹‘𝑘) / (𝐹‘𝑛)) = ((𝐺‘𝑘) / (𝐺‘𝑛)))
88	28, 87	eqtr4d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = ((𝐹‘𝑘) / (𝐹‘𝑛)))
89	25, 88	eqtr4d 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)))
90	3	qrngdiv 27542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ∈ ℚ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑘(/r‘𝑄)𝑛) = (𝑘 / 𝑛))
91	17, 19, 21, 90	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑘(/r‘𝑄)𝑛) = (𝑘 / 𝑛))
92	91	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)))
93	91	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐺‘(𝑘(/r‘𝑄)𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
94	89, 92, 93	3eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
95		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)))
96		fveq2 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛)))
97	95, 96	eqeq12d 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑘 / 𝑛)) = (𝐺‘(𝑘 / 𝑛))))
98	94, 97	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
99	98	rexlimdvva 3195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
100	12, 99	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℚ → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦)))
101	100	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
102	7, 11, 101	eqfnfvd 7009	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  -cneg 11413   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℚcq 12914   ↾_s cress 17207  inv_gcminusg 18873  /_rcdvr 20316  DivRingcdr 20645  AbsValcabv 20724  ℂ_fldccnfld 21271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-ico 13319  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-abv 20725  df-cnfld 21272

This theorem is referenced by:  ostthlem2  27546  ostth2  27555