Theorem elznn0nn 12485

Description: Integer property expressed in terms nonnegative integers and positive integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elznn0nn	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))

Proof of Theorem elznn0nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 12473	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		andi 1009	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ)) ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
3		df-3or 1087	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) ∨ -𝑁 ∈ ℕ))
4	3	anbi2i 623	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ) ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
5		nn0re 12393	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	5	pm4.71ri 560	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
7		elnn0 12386	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
8		orcom 870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ))
9	7, 8	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ))
10	9	anbi2i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ)))
11	6, 10	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ)))
12	11	orbi1i 913	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ)) ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
13	2, 4, 12	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
14	1, 13	bitri 275	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ℝcr 11008  0cc0 11009  -cneg 11348  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472

This theorem is referenced by:  zindd  12577  expcl2lem  13980  mulexpz  14009  expaddz  14013  expmulz  14015  absexpz  15212  bitsfzo  16346  pcid  16785  mulgsubcl  18967  mulgneg  18971  ghmmulg  19107  prmirred  21381  tgpmulg  23978  dvexp3  25880  2sqnn0  27347  ipasslem3  30777  reelznn0nn  42444  ztprmneprm  48341