MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addmodlteq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addmodlteq 13907
Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. A much shorter proof exists if the "divides" relation โˆฅ can be used, see addmodlteqALT 16264. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
addmodlteq ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘) โ†” ๐ผ = ๐ฝ))

Proof of Theorem addmodlteq
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 13628 . . . . . . . 8 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
21zred 12662 . . . . . . 7 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
323ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
4 simp3 1138 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ค)
54zred 12662 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„)
6 elfzo0 13669 . . . . . . . . 9 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†” (๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ < ๐‘))
76simp2bi 1146 . . . . . . . 8 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
87nnrpd 13010 . . . . . . 7 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
983ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
10 modaddmod 13871 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘))
113, 5, 9, 10syl3anc 1371 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘))
1211eqcomd 2738 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘) = (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘))
13 elfzoelz 13628 . . . . . . . 8 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
1413zred 12662 . . . . . . 7 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
15143ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
16 modaddmod 13871 . . . . . 6 ((๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘))
1715, 5, 9, 16syl3anc 1371 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘))
1817eqcomd 2738 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘) = (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘))
1912, 18eqeq12d 2748 . . 3 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘) โ†” (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) = (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)))
20 nn0re 12477 . . . . . . . . . . . 12 (๐ผ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
21 nnrp 12981 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
2220, 21anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+))
23223adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ < ๐‘) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+))
24 modcl 13834 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ผ mod ๐‘) โˆˆ โ„)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ < ๐‘) โ†’ (๐ผ mod ๐‘) โˆˆ โ„)
266, 25sylbi 216 . . . . . . . 8 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐ผ mod ๐‘) โˆˆ โ„)
27263ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ผ mod ๐‘) โˆˆ โ„)
2827, 5readdcld 11239 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆˆ โ„)
29 modcl 13834 . . . . . . 7 ((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆˆ โ„)
3029recnd 11238 . . . . . 6 ((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3128, 9, 30syl2anc 584 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
32 elfzo0 13669 . . . . . . . . 9 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†” (๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘))
33 nn0re 12477 . . . . . . . . . . . 12 (๐ฝ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
3433, 21anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+))
35343adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+))
36 modcl 13834 . . . . . . . . . 10 ((๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ฝ mod ๐‘) โˆˆ โ„)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ (๐ฝ mod ๐‘) โˆˆ โ„)
3832, 37sylbi 216 . . . . . . . 8 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐ฝ mod ๐‘) โˆˆ โ„)
39383ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ฝ mod ๐‘) โˆˆ โ„)
4039, 5readdcld 11239 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆˆ โ„)
41 modcl 13834 . . . . . . 7 ((((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆˆ โ„)
4241recnd 11238 . . . . . 6 ((((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4340, 9, 42syl2anc 584 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4431, 43subeq0ad 11577 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) = 0 โ†” (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) = (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)))
45 oveq1 7412 . . . . 5 (((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) = 0 โ†’ (((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) mod ๐‘) = (0 mod ๐‘))
46 modsubmodmod 13891 . . . . . . . . 9 ((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) mod ๐‘) = ((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆ’ ((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†)) mod ๐‘))
4728, 40, 9, 46syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) mod ๐‘) = ((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆ’ ((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†)) mod ๐‘))
4826recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐ผ mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
49483ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ผ mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5038recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐ฝ mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
51503ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ฝ mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
524zcnd 12663 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
5349, 51, 52pnpcan2d 11605 . . . . . . . . 9 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆ’ ((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†)) = ((๐ผ mod ๐‘) โˆ’ (๐ฝ mod ๐‘)))
5453oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆ’ ((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†)) mod ๐‘) = (((๐ผ mod ๐‘) โˆ’ (๐ฝ mod ๐‘)) mod ๐‘))
5547, 54eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) mod ๐‘) = (((๐ผ mod ๐‘) โˆ’ (๐ฝ mod ๐‘)) mod ๐‘))
5632simp2bi 1146 . . . . . . . . . 10 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5756nnrpd 13010 . . . . . . . . 9 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
58 0mod 13863 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ (0 mod ๐‘) = 0)
5957, 58syl 17 . . . . . . . 8 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (0 mod ๐‘) = 0)
60593ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 mod ๐‘) = 0)
6155, 60eqeq12d 2748 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) mod ๐‘) = (0 mod ๐‘) โ†” (((๐ผ mod ๐‘) โˆ’ (๐ฝ mod ๐‘)) mod ๐‘) = 0))
62 zmodidfzoimp 13862 . . . . . . . . . . 11 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐ผ mod ๐‘) = ๐ผ)
63623ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ผ mod ๐‘) = ๐ผ)
64 zmodidfzoimp 13862 . . . . . . . . . . 11 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐ฝ mod ๐‘) = ๐ฝ)
65643ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ฝ mod ๐‘) = ๐ฝ)
6663, 65oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ผ mod ๐‘) โˆ’ (๐ฝ mod ๐‘)) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ))
6766oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ mod ๐‘) โˆ’ (๐ฝ mod ๐‘)) mod ๐‘) = ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) mod ๐‘))
6867eqeq1d 2734 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ผ mod ๐‘) โˆ’ (๐ฝ mod ๐‘)) mod ๐‘) = 0 โ†” ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) mod ๐‘) = 0))
69 zsubcl 12600 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆˆ โ„ค)
701, 13, 69syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆˆ โ„ค)
7170zred 12662 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆˆ โ„)
728adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
73 mod0 13837 . . . . . . . . . 10 (((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) mod ๐‘) = 0 โ†” ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
7471, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) mod ๐‘) = 0 โ†” ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
75 zdiv 12628 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†” ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
767, 70, 75syl2an2r 683 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†” ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
77 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐‘ ยท 0))
78 elfzoel2 13627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
7978zcnd 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
8079mul01d 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐‘ ยท 0) = 0)
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘ ยท 0) = 0)
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท 0) = 0)
8377, 82sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘˜ = 0 โˆง ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘˜) = 0)
8483eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ = 0 โˆง ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†” 0 = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ)))
85 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†” (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) = 0)
861zcnd 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
8713zcnd 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
88 subeq0 11482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ผ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) = 0 โ†” ๐ผ = ๐ฝ))
8986, 87, 88syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) = 0 โ†” ๐ผ = ๐ฝ))
9089biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) = 0 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
9185, 90biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (0 = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
9392adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ = 0 โˆง ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (0 = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
9484, 93sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ = 0 โˆง ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
9594ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 0 โ†’ (((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
96 subfzo0 13750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘))
9796adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘))
98 elz 12556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ = 0 โˆจ ๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ -๐‘˜ โˆˆ โ„•)))
99 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ = 0 โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
10099a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))
1011002a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))))
102 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†” (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘))
103 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
104103mulridd 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
106105eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ = (๐‘ ยท 1))
107106breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐‘˜) < (๐‘ ยท 1)))
108 nnre 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
109108adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
110 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
11121adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
112109, 110, 111ltmul2d 13054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ < 1 โ†” (๐‘ ยท ๐‘˜) < (๐‘ ยท 1)))
113 nnge1 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘˜)
114 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
115114, 108lenltd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โ‰ค ๐‘˜ โ†” ยฌ ๐‘˜ < 1))
116 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (ยฌ ๐‘˜ < 1 โ†’ (๐‘˜ < 1 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
117115, 116syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (๐‘˜ < 1 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
118113, 117mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ < 1 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
119118adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ < 1 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
120112, 119sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) < (๐‘ ยท 1) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
121107, 120sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
122121ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
1231223ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
12432, 123sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
125124adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
126125com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
127126a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))
128102, 127syl6bir 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
129128com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
130129com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
131130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
132131com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
133132a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))))
134 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ (-๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜) โ†” -๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ)))
135 nnre 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
136 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
137 remulcl 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
138135, 136, 137syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
139135adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
140138, 139possumd 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (0 < ((๐‘ ยท ๐‘˜) + ๐‘) โ†” -๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜)))
141103adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
142141mulridd 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
143142eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ = (๐‘ ยท 1))
144143oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) + ๐‘) = ((๐‘ ยท ๐‘˜) + (๐‘ ยท 1)))
145 recn 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
146145adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
147146adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
148 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
149141, 147, 148adddid 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐‘ ยท ๐‘˜) + (๐‘ ยท 1)))
150144, 149eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) + ๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘˜ + 1)))
151150breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (0 < ((๐‘ ยท ๐‘˜) + ๐‘) โ†” 0 < (๐‘ ยท (๐‘˜ + 1))))
152 peano2re 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
153152adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
154153adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
155139, 154remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
156 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
157 nnnn0 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
158157nn0ge0d 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
159 nnge1 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค -๐‘˜)
160 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
161 1cnd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
162160, 161addcomd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ + 1) = (1 + ๐‘˜))
163161, 160subnegd 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ -๐‘˜) = (1 + ๐‘˜))
164162, 163eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ + 1) = (1 โˆ’ -๐‘˜))
165145, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘˜ + 1) = (1 โˆ’ -๐‘˜))
166165adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((1 โ‰ค -๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘˜ + 1) = (1 โˆ’ -๐‘˜))
167 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
168 renegcl 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ -๐‘˜ โˆˆ โ„)
169167, 168suble0d 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ ((1 โˆ’ -๐‘˜) โ‰ค 0 โ†” 1 โ‰ค -๐‘˜))
170169biimparc 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((1 โ‰ค -๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ -๐‘˜) โ‰ค 0)
171166, 170eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((1 โ‰ค -๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘˜ + 1) โ‰ค 0)
172159, 171sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘˜ + 1) โ‰ค 0)
173158, 172anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ โˆง (๐‘˜ + 1) โ‰ค 0))
174173olcd 872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โˆจ (0 โ‰ค ๐‘ โˆง (๐‘˜ + 1) โ‰ค 0)))
175 mulle0b 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘˜ + 1)) โ‰ค 0 โ†” ((๐‘ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โˆจ (0 โ‰ค ๐‘ โˆง (๐‘˜ + 1) โ‰ค 0))))
176135, 153, 175syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘˜ + 1)) โ‰ค 0 โ†” ((๐‘ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โˆจ (0 โ‰ค ๐‘ โˆง (๐‘˜ + 1) โ‰ค 0))))
177174, 176mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘˜ + 1)) โ‰ค 0)
178155, 156, 177lensymd 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ยฌ 0 < (๐‘ ยท (๐‘˜ + 1)))
179178pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (0 < (๐‘ ยท (๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
180151, 179sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (0 < ((๐‘ ยท ๐‘˜) + ๐‘) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
181140, 180sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (-๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
182181a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ (-๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
183182ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ (-๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))
1841833ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ < ๐‘) โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ (-๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))
1856, 184sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ (-๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))
186185adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ (-๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))
187186com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜) โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))
188134, 187syl6bir 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ (-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
189188com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
190189com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
191190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
192191com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
193192ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))))
194101, 133, 1933jaoi 1427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘˜ = 0 โˆจ ๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ -๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))))
195194impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ = 0 โˆจ ๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ -๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
19698, 195sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
197196impcom 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))
19897, 197mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
199198com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ (((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
20095, 199pm2.61i 182 . . . . . . . . . . 11 (((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
201200rexlimdva 3155 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
20276, 201sylbird 259 . . . . . . . . 9 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
20374, 202sylbid 239 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) mod ๐‘) = 0 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
2042033adant3 1132 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) mod ๐‘) = 0 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
20568, 204sylbid 239 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ผ mod ๐‘) โˆ’ (๐ฝ mod ๐‘)) mod ๐‘) = 0 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
20661, 205sylbid 239 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) mod ๐‘) = (0 mod ๐‘) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
20745, 206syl5 34 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) = 0 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
20844, 207sylbird 259 . . 3 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) = (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
20919, 208sylbid 239 . 2 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
210 oveq1 7412 . . 3 (๐ผ = ๐ฝ โ†’ (๐ผ + ๐‘†) = (๐ฝ + ๐‘†))
211210oveq1d 7420 . 2 (๐ผ = ๐ฝ โ†’ ((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘))
212209, 211impbid1 224 1 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘) โ†” ๐ผ = ๐ฝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆจ w3o 1086   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„+crp 12970  ..^cfzo 13623   mod cmo 13830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831
This theorem is referenced by:  cshf1  14756
  Copyright terms: Public domain W3C validator