MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addmodlteq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addmodlteq 13911
Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. A much shorter proof exists if the "divides" relation โˆฅ can be used, see addmodlteqALT 16268. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
addmodlteq ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘) โ†” ๐ผ = ๐ฝ))

Proof of Theorem addmodlteq
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 13632 . . . . . . . 8 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
21zred 12666 . . . . . . 7 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
323ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
4 simp3 1139 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ค)
54zred 12666 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„)
6 elfzo0 13673 . . . . . . . . 9 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†” (๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ < ๐‘))
76simp2bi 1147 . . . . . . . 8 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
87nnrpd 13014 . . . . . . 7 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
983ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
10 modaddmod 13875 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘))
113, 5, 9, 10syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘))
1211eqcomd 2739 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘) = (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘))
13 elfzoelz 13632 . . . . . . . 8 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
1413zred 12666 . . . . . . 7 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
15143ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
16 modaddmod 13875 . . . . . 6 ((๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘))
1715, 5, 9, 16syl3anc 1372 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘))
1817eqcomd 2739 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘) = (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘))
1912, 18eqeq12d 2749 . . 3 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘) โ†” (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) = (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)))
20 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . 12 (๐ผ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
21 nnrp 12985 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
2220, 21anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+))
23223adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ < ๐‘) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+))
24 modcl 13838 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ผ mod ๐‘) โˆˆ โ„)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ < ๐‘) โ†’ (๐ผ mod ๐‘) โˆˆ โ„)
266, 25sylbi 216 . . . . . . . 8 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐ผ mod ๐‘) โˆˆ โ„)
27263ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ผ mod ๐‘) โˆˆ โ„)
2827, 5readdcld 11243 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆˆ โ„)
29 modcl 13838 . . . . . . 7 ((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆˆ โ„)
3029recnd 11242 . . . . . 6 ((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3128, 9, 30syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
32 elfzo0 13673 . . . . . . . . 9 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†” (๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘))
33 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . 12 (๐ฝ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
3433, 21anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+))
35343adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+))
36 modcl 13838 . . . . . . . . . 10 ((๐ฝ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ฝ mod ๐‘) โˆˆ โ„)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ (๐ฝ mod ๐‘) โˆˆ โ„)
3832, 37sylbi 216 . . . . . . . 8 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐ฝ mod ๐‘) โˆˆ โ„)
39383ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ฝ mod ๐‘) โˆˆ โ„)
4039, 5readdcld 11243 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆˆ โ„)
41 modcl 13838 . . . . . . 7 ((((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆˆ โ„)
4241recnd 11242 . . . . . 6 ((((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4340, 9, 42syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
4431, 43subeq0ad 11581 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) = 0 โ†” (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) = (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)))
45 oveq1 7416 . . . . 5 (((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) = 0 โ†’ (((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) mod ๐‘) = (0 mod ๐‘))
46 modsubmodmod 13895 . . . . . . . . 9 ((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) mod ๐‘) = ((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆ’ ((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†)) mod ๐‘))
4728, 40, 9, 46syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) mod ๐‘) = ((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆ’ ((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†)) mod ๐‘))
4826recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐ผ mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
49483ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ผ mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5038recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐ฝ mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
51503ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ฝ mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
524zcnd 12667 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
5349, 51, 52pnpcan2d 11609 . . . . . . . . 9 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆ’ ((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†)) = ((๐ผ mod ๐‘) โˆ’ (๐ฝ mod ๐‘)))
5453oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) โˆ’ ((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†)) mod ๐‘) = (((๐ผ mod ๐‘) โˆ’ (๐ฝ mod ๐‘)) mod ๐‘))
5547, 54eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) mod ๐‘) = (((๐ผ mod ๐‘) โˆ’ (๐ฝ mod ๐‘)) mod ๐‘))
5632simp2bi 1147 . . . . . . . . . 10 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5756nnrpd 13014 . . . . . . . . 9 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
58 0mod 13867 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ (0 mod ๐‘) = 0)
5957, 58syl 17 . . . . . . . 8 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (0 mod ๐‘) = 0)
60593ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 mod ๐‘) = 0)
6155, 60eqeq12d 2749 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) mod ๐‘) = (0 mod ๐‘) โ†” (((๐ผ mod ๐‘) โˆ’ (๐ฝ mod ๐‘)) mod ๐‘) = 0))
62 zmodidfzoimp 13866 . . . . . . . . . . 11 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐ผ mod ๐‘) = ๐ผ)
63623ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ผ mod ๐‘) = ๐ผ)
64 zmodidfzoimp 13866 . . . . . . . . . . 11 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐ฝ mod ๐‘) = ๐ฝ)
65643ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ฝ mod ๐‘) = ๐ฝ)
6663, 65oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ผ mod ๐‘) โˆ’ (๐ฝ mod ๐‘)) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ))
6766oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ mod ๐‘) โˆ’ (๐ฝ mod ๐‘)) mod ๐‘) = ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) mod ๐‘))
6867eqeq1d 2735 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ผ mod ๐‘) โˆ’ (๐ฝ mod ๐‘)) mod ๐‘) = 0 โ†” ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) mod ๐‘) = 0))
69 zsubcl 12604 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆˆ โ„ค)
701, 13, 69syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆˆ โ„ค)
7170zred 12666 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆˆ โ„)
728adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
73 mod0 13841 . . . . . . . . . 10 (((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) mod ๐‘) = 0 โ†” ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
7471, 72, 73syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) mod ๐‘) = 0 โ†” ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
75 zdiv 12632 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†” ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
767, 70, 75syl2an2r 684 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†” ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
77 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐‘ ยท 0))
78 elfzoel2 13631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
7978zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
8079mul01d 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐‘ ยท 0) = 0)
8180adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘ ยท 0) = 0)
8281adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท 0) = 0)
8377, 82sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘˜ = 0 โˆง ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘˜) = 0)
8483eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ = 0 โˆง ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†” 0 = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ)))
85 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†” (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) = 0)
861zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
8713zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
88 subeq0 11486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ผ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) = 0 โ†” ๐ผ = ๐ฝ))
8986, 87, 88syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) = 0 โ†” ๐ผ = ๐ฝ))
9089biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) = 0 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
9185, 90biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (0 = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
9291adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
9392adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ = 0 โˆง ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (0 = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
9484, 93sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ = 0 โˆง ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
9594ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 0 โ†’ (((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
96 subfzo0 13754 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘))
9796adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘))
98 elz 12560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ = 0 โˆจ ๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ -๐‘˜ โˆˆ โ„•)))
99 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ = 0 โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
10099a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))
1011002a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))))
102 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†” (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘))
103 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
104103mulridd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
105104adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
106105eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ = (๐‘ ยท 1))
107106breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐‘˜) < (๐‘ ยท 1)))
108 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
109108adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
110 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
11121adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
112109, 110, 111ltmul2d 13058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ < 1 โ†” (๐‘ ยท ๐‘˜) < (๐‘ ยท 1)))
113 nnge1 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘˜)
114 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
115114, 108lenltd 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โ‰ค ๐‘˜ โ†” ยฌ ๐‘˜ < 1))
116 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (ยฌ ๐‘˜ < 1 โ†’ (๐‘˜ < 1 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
117115, 116syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (๐‘˜ < 1 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
118113, 117mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ < 1 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
119118adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ < 1 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
120112, 119sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) < (๐‘ ยท 1) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
121107, 120sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
122121ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
1231223ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐ฝ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ฝ < ๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
12432, 123sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
125124adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
126125com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
127126a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ ยท ๐‘˜) < ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))
128102, 127syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
129128com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
130129com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘ โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
131130adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
132131com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
133132a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))))
134 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ (-๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜) โ†” -๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ)))
135 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
136 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
137 remulcl 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
138135, 136, 137syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
139135adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
140138, 139possumd 11839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (0 < ((๐‘ ยท ๐‘˜) + ๐‘) โ†” -๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜)))
141103adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
142141mulridd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
143142eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘ = (๐‘ ยท 1))
144143oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) + ๐‘) = ((๐‘ ยท ๐‘˜) + (๐‘ ยท 1)))
145 recn 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
146145adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
147146adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
148 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
149141, 147, 148adddid 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘˜ + 1)) = ((๐‘ ยท ๐‘˜) + (๐‘ ยท 1)))
150144, 149eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) + ๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘˜ + 1)))
151150breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (0 < ((๐‘ ยท ๐‘˜) + ๐‘) โ†” 0 < (๐‘ ยท (๐‘˜ + 1))))
152 peano2re 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
153152adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
154153adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
155139, 154remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
156 0red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
157 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
158157nn0ge0d 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
159 nnge1 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค -๐‘˜)
160 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
161 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
162160, 161addcomd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ + 1) = (1 + ๐‘˜))
163161, 160subnegd 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 โˆ’ -๐‘˜) = (1 + ๐‘˜))
164162, 163eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ + 1) = (1 โˆ’ -๐‘˜))
165145, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘˜ + 1) = (1 โˆ’ -๐‘˜))
166165adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((1 โ‰ค -๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘˜ + 1) = (1 โˆ’ -๐‘˜))
167 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
168 renegcl 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ -๐‘˜ โˆˆ โ„)
169167, 168suble0d 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ ((1 โˆ’ -๐‘˜) โ‰ค 0 โ†” 1 โ‰ค -๐‘˜))
170169biimparc 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((1 โ‰ค -๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ -๐‘˜) โ‰ค 0)
171166, 170eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((1 โ‰ค -๐‘˜ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘˜ + 1) โ‰ค 0)
172159, 171sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘˜ + 1) โ‰ค 0)
173158, 172anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ โˆง (๐‘˜ + 1) โ‰ค 0))
174173olcd 873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โˆจ (0 โ‰ค ๐‘ โˆง (๐‘˜ + 1) โ‰ค 0)))
175 mulle0b 12085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘˜ + 1)) โ‰ค 0 โ†” ((๐‘ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โˆจ (0 โ‰ค ๐‘ โˆง (๐‘˜ + 1) โ‰ค 0))))
176135, 153, 175syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘˜ + 1)) โ‰ค 0 โ†” ((๐‘ โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (๐‘˜ + 1)) โˆจ (0 โ‰ค ๐‘ โˆง (๐‘˜ + 1) โ‰ค 0))))
177174, 176mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘˜ + 1)) โ‰ค 0)
178155, 156, 177lensymd 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ ยฌ 0 < (๐‘ ยท (๐‘˜ + 1)))
179178pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (0 < (๐‘ ยท (๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
180151, 179sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (0 < ((๐‘ ยท ๐‘˜) + ๐‘) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
181140, 180sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (-๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
182181a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ (-๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
183182ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ (-๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))
1841833ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ < ๐‘) โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ (-๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))
1856, 184sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ (-๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))
186185adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ (-๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))
187186com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-๐‘ < (๐‘ ยท ๐‘˜) โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))
188134, 187syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ (-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
189188com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
190189com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
191190adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
192191com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
193192ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))))
194101, 133, 1933jaoi 1428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘˜ = 0 โˆจ ๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ -๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))))
195194impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ = 0 โˆจ ๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ -๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
19698, 195sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))))
197196impcom 409 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-๐‘ < (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โˆง (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) < ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))))
19897, 197mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
199198com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ (((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ)))
20095, 199pm2.61i 182 . . . . . . . . . . 11 (((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
201200rexlimdva 3156 . . . . . . . . . 10 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐‘˜) = (๐ผ โˆ’ ๐ฝ) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
20276, 201sylbird 260 . . . . . . . . 9 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) / ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
20374, 202sylbid 239 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) mod ๐‘) = 0 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
2042033adant3 1133 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ โˆ’ ๐ฝ) mod ๐‘) = 0 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
20568, 204sylbid 239 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ผ mod ๐‘) โˆ’ (๐ฝ mod ๐‘)) mod ๐‘) = 0 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
20661, 205sylbid 239 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) mod ๐‘) = (0 mod ๐‘) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
20745, 206syl5 34 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โˆ’ (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘)) = 0 โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
20844, 207sylbird 260 . . 3 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ผ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) = (((๐ฝ mod ๐‘) + ๐‘†) mod ๐‘) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
20919, 208sylbid 239 . 2 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘) โ†’ ๐ผ = ๐ฝ))
210 oveq1 7416 . . 3 (๐ผ = ๐ฝ โ†’ (๐ผ + ๐‘†) = (๐ฝ + ๐‘†))
211210oveq1d 7424 . 2 (๐ผ = ๐ฝ โ†’ ((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘))
212209, 211impbid1 224 1 ((๐ผ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐ฝ โˆˆ (0..^๐‘) โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ผ + ๐‘†) mod ๐‘) = ((๐ฝ + ๐‘†) mod ๐‘) โ†” ๐ผ = ๐ฝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆจ w3o 1087   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974  ..^cfzo 13627   mod cmo 13834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835
This theorem is referenced by:  cshf1  14760
  Copyright terms: Public domain W3C validator