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Theorem addmodlteq 13309
Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. A much shorter proof exists if the "divides" relation can be used, see addmodlteqALT 15667. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
addmodlteq ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem addmodlteq
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 13033 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
21zred 12075 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
323ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℝ)
4 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℤ)
54zred 12075 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℝ)
6 elfzo0 13073 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
76simp2bi 1143 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
87nnrpd 12417 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
983ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
10 modaddmod 13273 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁))
113, 5, 9, 10syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁))
1211eqcomd 2804 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁))
13 elfzoelz 13033 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
1413zred 12075 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
15143ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℝ)
16 modaddmod 13273 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
1715, 5, 9, 16syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
1817eqcomd 2804 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁))
1912, 18eqeq12d 2814 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)))
20 nn0re 11894 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
21 nnrp 12388 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
2220, 21anim12i 615 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
23223adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
24 modcl 13236 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
266, 25sylbi 220 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
27263ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℝ)
2827, 5readdcld 10659 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ)
29 modcl 13236 . . . . . . 7 ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℝ)
3029recnd 10658 . . . . . 6 ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
3128, 9, 30syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
32 elfzo0 13073 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
33 nn0re 11894 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ ℝ)
3433, 21anim12i 615 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
35343adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
36 modcl 13236 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℝ)
3832, 37sylbi 220 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℝ)
39383ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℝ)
4039, 5readdcld 10659 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ)
41 modcl 13236 . . . . . . 7 ((((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℝ)
4241recnd 10658 . . . . . 6 ((((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
4340, 9, 42syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) ∈ ℂ)
4431, 43subeq0ad 10996 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 ↔ (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)))
45 oveq1 7142 . . . . 5 (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
46 modsubmodmod 13293 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁))
4728, 40, 9, 46syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁))
4826recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℂ)
49483ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) ∈ ℂ)
5038recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℂ)
51503ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) ∈ ℂ)
524zcnd 12076 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℂ)
5349, 51, 52pnpcan2d 11024 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) = ((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)))
5453oveq1d 7150 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) − ((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆)) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁))
5547, 54eqtrd 2833 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁))
5632simp2bi 1143 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
5756nnrpd 12417 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
58 0mod 13265 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
5957, 58syl 17 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
60593ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (0 mod 𝑁) = 0)
6155, 60eqeq12d 2814 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) ↔ (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0))
62 zmodidfzoimp 13264 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 mod 𝑁) = 𝐼)
63623ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐼 mod 𝑁) = 𝐼)
64 zmodidfzoimp 13264 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 mod 𝑁) = 𝐽)
65643ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝐽 mod 𝑁) = 𝐽)
6663, 65oveq12d 7153 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) = (𝐼𝐽))
6766oveq1d 7150 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝐼𝐽) mod 𝑁))
6867eqeq1d 2800 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0))
69 zsubcl 12012 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼𝐽) ∈ ℤ)
701, 13, 69syl2an 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐼𝐽) ∈ ℤ)
7170zred 12075 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐼𝐽) ∈ ℝ)
728adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
73 mod0 13239 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
7471, 72, 73syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0 ↔ ((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
75 zdiv 12040 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐼𝐽) ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) ↔ ((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
767, 70, 75syl2an2r 684 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) ↔ ((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ))
77 oveq2 7143 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (𝑁 · 𝑘) = (𝑁 · 0))
78 elfzoel2 13032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
7978zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
8079mul01d 10828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 · 0) = 0)
8180adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 · 0) = 0)
8281adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 · 0) = 0)
8377, 82sylan9eq 2853 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 = 0 ∧ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑘) = 0)
8483eqeq1d 2800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 = 0 ∧ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) ↔ 0 = (𝐼𝐽)))
85 eqcom 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 = (𝐼𝐽) ↔ (𝐼𝐽) = 0)
861zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → 𝐼 ∈ ℂ)
8713zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
88 subeq0 10901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → ((𝐼𝐽) = 0 ↔ 𝐼 = 𝐽))
8986, 87, 88syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐼𝐽) = 0 ↔ 𝐼 = 𝐽))
9089biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐼𝐽) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
9185, 90syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (0 = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
9291adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (0 = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
9392adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 = 0 ∧ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (0 = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
9484, 93sylbid 243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 = 0 ∧ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
9594ex 416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))
96 subfzo0 13154 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))
9796adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))
98 elz 11971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ)))
99 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 0 → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))
10099a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 0 → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))
1011002a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))))
102 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁 ↔ (𝐼𝐽) < 𝑁))
103 nncn 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
104103mulid1d 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
105104adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
106105eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 = (𝑁 · 1))
107106breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝑘) < (𝑁 · 1)))
108 nnre 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
109108adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
110 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
11121adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
112109, 110, 111ltmul2d 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 1 ↔ (𝑁 · 𝑘) < (𝑁 · 1)))
113 nnge1 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
114 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
115114, 108lenltd 10775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 1))
116 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 𝑘 < 1 → (𝑘 < 1 → 𝐼 = 𝐽))
117115, 116syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑘 → (𝑘 < 1 → 𝐼 = 𝐽)))
118113, 117mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 < 1 → 𝐼 = 𝐽))
119118adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 1 → 𝐼 = 𝐽))
120112, 119sylbird 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑘) < (𝑁 · 1) → 𝐼 = 𝐽))
121107, 120sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁𝐼 = 𝐽))
122121ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁𝐼 = 𝐽)))
1231223ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁𝐼 = 𝐽)))
12432, 123sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁𝐼 = 𝐽)))
125124adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁𝐼 = 𝐽)))
126125com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁 → (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 = 𝐽)))
127126a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 · 𝑘) < 𝑁 → (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 = 𝐽))))
128102, 127syl6bir 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → ((𝐼𝐽) < 𝑁 → (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 = 𝐽)))))
129128com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐼𝐽) < 𝑁 → (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
130129com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝐽) < 𝑁 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
131130adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
132131com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
133132a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))))
134 breq2 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) ↔ -𝑁 < (𝐼𝐽)))
135 nnre 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
136 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℝ)
137 remulcl 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑁 · 𝑘) ∈ ℝ)
138135, 136, 137syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑁 · 𝑘) ∈ ℝ)
139135adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
140138, 139possumd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0 < ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) ↔ -𝑁 < (𝑁 · 𝑘)))
141103adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
142141mulid1d 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
143142eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑁 = (𝑁 · 1))
144143oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑘) + (𝑁 · 1)))
145 recn 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℂ)
146145adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℂ)
147146adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
148 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 1 ∈ ℂ)
149141, 147, 148adddid 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) = ((𝑁 · 𝑘) + (𝑁 · 1)))
150144, 149eqtr4d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑘 + 1)))
151150breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0 < ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) ↔ 0 < (𝑁 · (𝑘 + 1))))
152 peano2re 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
153152adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
154153adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
155139, 154remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
156 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → 0 ∈ ℝ)
157 nnnn0 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
158157nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
159 nnge1 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ -𝑘)
160 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑘 ∈ ℂ → 𝑘 ∈ ℂ)
161 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑘 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
162160, 161addcomd 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 1) = (1 + 𝑘))
163161, 160subnegd 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑘 ∈ ℂ → (1 − -𝑘) = (1 + 𝑘))
164162, 163eqtr4d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 1) = (1 − -𝑘))
165145, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) = (1 − -𝑘))
166165adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((1 ≤ -𝑘𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 + 1) = (1 − -𝑘))
167 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑘 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
168 renegcl 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑘 ∈ ℝ → -𝑘 ∈ ℝ)
169167, 168suble0d 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑘 ∈ ℝ → ((1 − -𝑘) ≤ 0 ↔ 1 ≤ -𝑘))
170169biimparc 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((1 ≤ -𝑘𝑘 ∈ ℝ) → (1 − -𝑘) ≤ 0)
171166, 170eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((1 ≤ -𝑘𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 + 1) ≤ 0)
172159, 171sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 + 1) ≤ 0)
173158, 172anim12i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0 ≤ 𝑁 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 0))
174173olcd 871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑘 + 1)) ∨ (0 ≤ 𝑁 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 0)))
175 mulle0b 11500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑁 · (𝑘 + 1)) ≤ 0 ↔ ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑘 + 1)) ∨ (0 ≤ 𝑁 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 0))))
176135, 153, 175syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ((𝑁 · (𝑘 + 1)) ≤ 0 ↔ ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑘 + 1)) ∨ (0 ≤ 𝑁 ∧ (𝑘 + 1) ≤ 0))))
177174, 176mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑁 · (𝑘 + 1)) ≤ 0)
178155, 156, 177lensymd 10780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → ¬ 0 < (𝑁 · (𝑘 + 1)))
179178pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0 < (𝑁 · (𝑘 + 1)) → 𝐼 = 𝐽))
180151, 179sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (0 < ((𝑁 · 𝑘) + 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
181140, 180sylbird 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽))
182181a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (¬ 𝑘 = 0 → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽)))
183182ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽))))
1841833ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽))))
1856, 184sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽))))
186185adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → 𝐼 = 𝐽))))
187186com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-𝑁 < (𝑁 · 𝑘) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 = 𝐽))))
188134, 187syl6bir 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐼 = 𝐽)))))
189188com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
190189com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-𝑁 < (𝐼𝐽) → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
191190adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
192191com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
193192ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))))
194101, 133, 1933jaoi 1424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℝ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))))
195194impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ℕ ∨ -𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
19698, 195sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))))
197196impcom 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))))
19897, 197mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (¬ 𝑘 = 0 → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))
199198com12 32 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 = 0 → (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽)))
20095, 199pm2.61i 185 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
201200rexlimdva 3243 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑘) = (𝐼𝐽) → 𝐼 = 𝐽))
20276, 201sylbird 263 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐼𝐽) / 𝑁) ∈ ℤ → 𝐼 = 𝐽))
20374, 202sylbid 243 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
2042033adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼𝐽) mod 𝑁) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
20568, 204sylbid 243 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) − (𝐽 mod 𝑁)) mod 𝑁) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
20661, 205sylbid 243 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
20745, 206syl5 34 . . . 4 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) − (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁)) = 0 → 𝐼 = 𝐽))
20844, 207sylbird 263 . . 3 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → ((((𝐼 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) = (((𝐽 mod 𝑁) + 𝑆) mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
20919, 208sylbid 243 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) → 𝐼 = 𝐽))
210 oveq1 7142 . . 3 (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 + 𝑆) = (𝐽 + 𝑆))
211210oveq1d 7150 . 2 (𝐼 = 𝐽 → ((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁))
212209, 211impbid1 228 1 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (((𝐼 + 𝑆) mod 𝑁) = ((𝐽 + 𝑆) mod 𝑁) ↔ 𝐼 = 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wrex 3107   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  cn 11625  0cn0 11885  cz 11969  +crp 12377  ..^cfzo 13028   mod cmo 13232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233
This theorem is referenced by:  cshf1  14163
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