Theorem elnnz 12598

Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem elnnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12247	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		orc 867	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
3		nngt0 12271	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4	1, 2, 3	jca31 514	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
5		idd 24	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ))
6		lt0neg2 11744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 ↔ -𝑁 < 0))
7		renegcl 11546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → -𝑁 ∈ ℝ)
8		0re 11237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		ltnsym 11333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
11	6, 10	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → ¬ 0 < -𝑁))
12	11	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 0 < -𝑁)
13		nngt0 12271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
14	12, 13	nsyl 140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ -𝑁 ∈ ℕ)
15		gt0ne0 11702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
16	15	neneqd 2937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
17		ioran 985	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (¬ -𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 0))
18	14, 16, 17	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
19	18	pm2.21d 121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ((-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ))
20	5, 19	jaod 859	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ))
21	20	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ)))
22	21	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ)))
23	22	imp31 417	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	4, 23	impbii 209	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
25		elz 12590	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
26		3orrot 1091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
27		3orass 1089	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
28	26, 27	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
29	28	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
30	25, 29	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
31	30	anbi1i 624	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
32	24, 31	bitr4i 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ℝcr 11128  0cc0 11129   < clt 11269  -cneg 11467  ℕcn 12240  ℤcz 12588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-z 12589

This theorem is referenced by:  elnn0z  12601  elnnz1  12618  znnsub  12638  nn0ge0div  12662  msqznn  12675  elpq  12991  lbfzo0  13716  elfzo0z  13718  fzofzim  13726  fzo1fzo0n0  13731  elfzodifsumelfzo  13747  elfznelfzo  13788  nnesq  14245  swrdlsw  14685  pfxccatin12lem3  14750  repswswrd  14802  cshwcsh2id  14847  swrd2lsw  14971  2swrd2eqwrdeq  14972  nnabscl  15344  iseralt  15701  sqrt2irrlem  16266  p1modz1  16279  nndivdvds  16281  oddge22np1  16368  evennn2n  16370  nno  16401  nnoddm1d2  16405  ndvdsadd  16429  bitsfzolem  16453  sqgcd  16581  qredeu  16677  prmind2  16704  qgt0numnn  16770  oddprm  16830  pythagtriplem6  16841  pythagtriplem11  16845  pythagtriplem13  16847  pythagtriplem19  16853  pc2dvds  16899  pcadd  16909  prmreclem3  16938  4sqlem11  16975  4sqlem12  16976  prmgaplem7  17077  cshwshashlem2  17116  subgmulg  19123  znidomb  21522  rtprmirr  26722  sgmnncl  27109  muinv  27155  mersenne  27190  bposlem6  27252  gausslemma2dlem1a  27328  lgseisenlem1  27338  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  2sqlem8  27389  2sqnn0  27401  dchrisum0flblem2  27472  clwlkclwwlklem2a2  29974  clwlkclwwlklem2a4  29978  clwlkclwwlklem2a  29979  eucrct2eupth1  30225  nn0prpwlem  36340  poimirlem7  37651  poimirlem29  37673  mblfinlem2  37682  lcmineqlem15  42056  lcmineqlem23  42064  aks4d1lem1  42075  aks4d1p1p2  42083  aks4d1p1  42089  aks4d1p2  42090  aks4d1p3  42091  aks4d1p5  42093  aks4d1p6  42094  aks4d1p7d1  42095  aks4d1p8  42100  posbezout  42113  aks6d1c1  42129  hashscontpow1  42134  aks6d1c4  42137  aks6d1c2  42143  aks6d1c5lem2  42151  2ap1caineq  42158  aks6d1c7lem1  42193  aks6d1c7lem2  42194  aks6d1c7  42197  aks5lem6  42205  aks5lem8  42214  posqsqznn  42385  fimgmcyc  42557  dffltz  42657  irrapxlem4  42848  rmspecnonsq  42930  rmynn  42980  jm2.24  42987  jm2.23  43020  jm2.20nn  43021  jm2.27a  43029  jm2.27c  43031  rmydioph  43038  jm3.1lem3  43043  sumnnodd  45659  dvnxpaek  45971  dirkertrigeqlem3  46129  fourierdlem47  46182  fouriersw  46260  etransclem15  46278  etransclem24  46287  etransclem25  46288  etransclem35  46298  etransclem48  46311  zm1nn  47331  iccpartigtl  47437  nnoALTV  47709  nneven  47712  ztprmneprm  48322  blennngt2o2  48572