Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnnz 12035
 Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
elnnz (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem elnnz
StepHypRef Expression
1 nnre 11686 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 orc 864 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
3 nngt0 11710 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
41, 2, 3jca31 518 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
5 idd 24 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ))
6 lt0neg2 11190 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 ↔ -𝑁 < 0))
7 renegcl 10992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → -𝑁 ∈ ℝ)
8 0re 10686 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
9 ltnsym 10781 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
107, 8, 9sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
116, 10sylbid 243 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → ¬ 0 < -𝑁))
1211imp 410 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 0 < -𝑁)
13 nngt0 11710 . . . . . . . . . 10 (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
1412, 13nsyl 142 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ -𝑁 ∈ ℕ)
15 gt0ne0 11148 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
1615neneqd 2956 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
17 ioran 981 . . . . . . . . 9 (¬ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (¬ -𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 0))
1814, 16, 17sylanbrc 586 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
1918pm2.21d 121 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ((-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ))
205, 19jaod 856 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ))
2120ex 416 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ)))
2221com23 86 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ)))
2322imp31 421 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
244, 23impbii 212 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
25 elz 12027 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
26 3orrot 1089 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
27 3orass 1087 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
2826, 27bitri 278 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
2928anbi2i 625 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
3025, 29bitri 278 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
3130anbi1i 626 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
3224, 31bitr4i 281 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5035  ℝcr 10579  0cc0 10580   < clt 10718  -cneg 10914  ℕcn 11679  ℤcz 12025 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-z 12026 This theorem is referenced by:  elnn0z  12038  elnnz1  12052  znnsub  12072  nn0ge0div  12095  msqznn  12108  elpq  12420  lbfzo0  13131  elfzo0z  13133  fzofzim  13138  fzo1fzo0n0  13142  elfzodifsumelfzo  13157  elfznelfzo  13196  nnesq  13643  swrdlsw  14081  pfxccatin12lem3  14146  repswswrd  14198  cshwcsh2id  14242  swrd2lsw  14366  2swrd2eqwrdeq  14367  nnabscl  14738  iseralt  15094  sqrt2irrlem  15654  p1modz1  15667  nndivdvds  15669  oddge22np1  15755  evennn2n  15757  nno  15788  nnoddm1d2  15792  ndvdsadd  15816  bitsfzolem  15838  sqgcd  15966  qredeu  16059  prmind2  16086  qgt0numnn  16151  oddprm  16207  pythagtriplem6  16218  pythagtriplem11  16222  pythagtriplem13  16224  pythagtriplem19  16230  pc2dvds  16275  pcadd  16285  prmreclem3  16314  4sqlem11  16351  4sqlem12  16352  prmgaplem7  16453  cshwshashlem2  16493  subgmulg  18365  znidomb  20334  sgmnncl  25836  muinv  25882  mersenne  25915  bposlem6  25977  gausslemma2dlem1a  26053  lgseisenlem1  26063  lgsquadlem1  26068  lgsquadlem2  26069  2sqlem8  26114  2sqnn0  26126  dchrisum0flblem2  26197  clwlkclwwlklem2a2  27882  clwlkclwwlklem2a4  27886  clwlkclwwlklem2a  27887  eucrct2eupth1  28133  nn0prpwlem  34086  poimirlem7  35370  poimirlem29  35392  mblfinlem2  35401  lcmineqlem15  39636  lcmineqlem23  39644  aks4d1p1p2  39662  aks4d1p1  39668  2ap1caineq  39672  posqsqznn  39870  rtprmirr  39872  dffltz  39991  irrapxlem4  40167  rmspecnonsq  40249  rmynn  40298  jm2.24  40305  jm2.23  40338  jm2.20nn  40339  jm2.27a  40347  jm2.27c  40349  rmydioph  40356  jm3.1lem3  40361  sumnnodd  42666  dvnxpaek  42978  dirkertrigeqlem3  43136  fourierdlem47  43189  fouriersw  43267  etransclem15  43285  etransclem24  43294  etransclem25  43295  etransclem35  43305  etransclem48  43318  zm1nn  44255  iccpartigtl  44336  nnoALTV  44608  nneven  44611  ztprmneprm  45144  blennngt2o2  45399
 Copyright terms: Public domain W3C validator