Theorem elnnz 12706

Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elnnz	⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem elnnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12345	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		orc 881	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
3		nngt0 12372	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4	1, 2, 3	jca31 524	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
5		idd 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ))
6		lt0neg2 11826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 ↔ -𝑁 < 0))
7		renegcl 11624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → -𝑁 ∈ ℝ)
8		0re 11313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		ltnsym 11411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ( -𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
10	7, 8, 9	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ( -𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
11	6, 10	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → ¬ 0 < -𝑁))
12	11	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 0 < -𝑁)
13		nngt0 12372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
14	12, 13	nsyl 141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ -𝑁 ∈ ℕ)
15		gt0ne0 11784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
16	15	neneqd 2960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
17		ioran 999	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (¬ -𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 0))
18	14, 16, 17	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
19	18	pm2.21d 122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ))
20	5, 19	jaod 873	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ))
21	20	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ)))
22	21	com23 87	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (0 < 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ)))
23	22	imp31 423	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	4, 23	impbii 212	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
25		elz 12698	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
26		3orrot 1108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
27		3orass 1106	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
28	26, 27	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
29	28	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
30	25, 29	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
31	30	anbi1i 636	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ ( -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
32	24, 31	bitr4i 281	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝcr 11202  0cc0 11203   < clt 11346   -cneg 11545  ℕcn 12338  ℤcz 12696

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-z 12697

This theorem is used by:  elnn0z  12709  elnnz1  12725  znnsub  12745  nn0ge0div  12771  msqznn  12784  elpq  13106  lbfzo0  13837  elfzo0z  13839  fzofzim  13847  fzo1fzo0n0  13853  elfzodifsumelfzo  13869  elfznelfzo  13911  nnesq  14374  swrdlsw  14821  pfxccatin12lem3  14885  repswswrd  14939  cshwcsh2id  14983  swrd2lsw  15110  2swrd2eqwrdeq  15111  nnabscl  15498  iseralt  15857  sqrt2irrlem  16421  p1modz1  16434  nndivdvds  16436  oddge22np1  16524  evennn2n  16526  nno  16557  nnoddm1d2  16561  ndvdsadd  16585  bitsfzolem  16609  sqgcd  16741  qredeu  16838  prmind2  16865  qgt0numnn  16932  posqsqznn  16941  oddprm  16993  pythagtriplem6  17004  pythagtriplem11  17008  pythagtriplem13  17010  pythagtriplem19  17016  pc2dvds  17062  pcadd  17072  prmreclem3  17101  4sqlem11  17138  4sqlem12  17139  prmgaplem7  17240  cshwshashlem2  17279  subgmulg  19356  znidomb  21872  rtprmirr  27093  sgmnncl  27479  muinv  27525  mersenne  27559  bposlem6  27621  gausslemma2dlem1a  27697  lgseisenlem1  27707  lgsquadlem1  27712  lgsquadlem2  27713  2sqlem8  27758  2sqnn0  27770  dchrisum0flblem2  27841  clwlkclwwlklem2a2  30589  clwlkclwwlklem2a4  30593  clwlkclwwlklem2a  30594  eucrct2eupth1  30850  nn0prpwlem  37202  poimirlem7  38638  poimirlem29  38660  mblfinlem2  38669  lcmineqlem15  43186  lcmineqlem23  43194  aks4d1lem1  43205  aks4d1p1p2  43213  aks4d1p1  43219  aks4d1p2  43220  aks4d1p3  43221  aks4d1p5  43223  aks4d1p6  43224  aks4d1p7d1  43225  aks4d1p8  43230  posbezout  43243  aks6d1c1  43259  hashscontpow1  43264  aks6d1c4  43267  aks6d1c2  43273  aks6d1c5lem2  43281  2ap1caineq  43288  aks6d1c7lem1  43323  aks6d1c7lem2  43324  aks6d1c7  43327  aks5lem6  43335  aks5lem8  43344  fimgmcyc  43691  dffltz  43763  irrapxlem4  43925  rmspecnonsq  44007  rmynn  44056  jm2.24  44063  jm2.23  44096  jm2.20nn  44097  jm2.27a  44105  jm2.27c  44107  rmydioph  44114  jm3.1lem3  44119  sumnnodd  46735  dvnxpaek  47045  dirkertrigeqlem3  47203  fourierdlem47  47256  fouriersw  47334  etransclem15  47352  etransclem24  47361  etransclem25  47362  etransclem35  47372  etransclem48  47385  zm1nn  48465  modm1p1ne  48539  muldvdsfacgt  48549  muldvdsfacm1  48550  iccpartigtl  48598  nnoALTV  48886  nneven  48889  ztprmneprm  49552  blennngt2o2  49797