MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupths Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupths 28572
Description: The Eulerian paths on the graph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Feb-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
eupths.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
eupths (EulerPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)}
Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem eupths
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6766 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = (iEdg‘𝐺))
2 eupths.i . . . . . . 7 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
31, 2eqtr4di 2796 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = 𝐼)
43dmeqd 5807 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → dom (iEdg‘𝑔) = dom 𝐼)
5 foeq3 6678 . . . . 5 (dom (iEdg‘𝑔) = dom 𝐼 → (𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔) ↔ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → (𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔) ↔ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼))
76adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔) ↔ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼))
8 wksv 27996 . . . . 5 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝} ∈ V
9 trliswlk 28074 . . . . . 6 (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
109ssopab2i 5460 . . . . 5 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝} ⊆ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝}
118, 10ssexi 5244 . . . 4 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝} ∈ V
1211a1i 11 . . 3 (⊤ → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝} ∈ V)
13 df-eupth 28570 . . 3 EulerPaths = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝑔)𝑝𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔))})
147, 12, 13fvmptopab 7320 . 2 (⊤ → (EulerPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)})
1514mptru 1546 1 (EulerPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wtru 1540  wcel 2106  Vcvv 3429   class class class wbr 5073  {copab 5135  dom cdm 5584  ontowfo 6424  cfv 6426  (class class class)co 7267  0cc0 10881  ..^cfzo 13392  chash 14054  iEdgciedg 27377  Walkscwlks 27973  Trailsctrls 28067  EulerPathsceupth 28569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-hash 14055  df-word 14228  df-wlks 27976  df-trls 28069  df-eupth 28570
This theorem is referenced by:  iseupth  28573
  Copyright terms: Public domain W3C validator