Theorem eupths 28465

Description: The Eulerian paths on the graph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Feb-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eupths.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eupths	⊢ (EulerPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)}

Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem eupths

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = (iEdg‘𝐺))
2		eupths.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	eqtr4di 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (iEdg‘𝑔) = 𝐼)
4	3	dmeqd 5803	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → dom (iEdg‘𝑔) = dom 𝐼)
5		foeq3 6670	. . . . 5 ⊢ (dom (iEdg‘𝑔) = dom 𝐼 → (𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔) ↔ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔) ↔ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑔 = 𝐺) → (𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔) ↔ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼))
8		wksv 27889	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝} ∈ V
9		trliswlk 27967	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
10	9	ssopab2i 5456	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝} ⊆ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝}
11	8, 10	ssexi 5241	. . . 4 ⊢ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝} ∈ V
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(Trails‘𝐺)𝑝} ∈ V)
13		df-eupth 28463	. . 3 ⊢ EulerPaths = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝑔)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom (iEdg‘𝑔))})
14	7, 12, 13	fvmptopab 7308	. 2 ⊢ (⊤ → (EulerPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)})
15	14	mptru 1546	1 ⊢ (EulerPaths‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Trails‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))–onto→dom 𝐼)}

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  {copab 5132  dom cdm 5580  –onto→wfo 6416  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  iEdgciedg 27270  Walkscwlks 27866  Trailsctrls 27960  EulerPathsceupth 28462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-wlks 27869  df-trls 27962  df-eupth 28463

This theorem is referenced by:  iseupth  28466