Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones11 40120
Description: Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones11.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones11.2 (𝜑𝐾 = 0)
sticksstones11.3 𝐹 = (𝑎𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))))
sticksstones11.4 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones11.5 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)}
sticksstones11.6 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))}
Assertion
Ref Expression
sticksstones11 (𝜑𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑗,𝑙   𝐴,𝑏,𝑗,𝑙   𝑥,𝐴,𝑦,𝑎,𝑗,𝑙   𝐵,𝑎   𝐵,𝑏   𝐾,𝑎,𝑓,𝑗,𝑙,𝑥,𝑦   𝐾,𝑏   𝑔,𝐾,𝑖,𝑎   𝑁,𝑏,𝑗   𝑓,𝑁   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑎,𝑗,𝑙   𝜑,𝑏   𝜑,𝑥,𝑦   𝑖,𝑙
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐴(𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑙)   𝐾(𝑘)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘,𝑎,𝑙)

Proof of Theorem sticksstones11
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑢 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones11.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 sticksstones11.2 . . . 4 (𝜑𝐾 = 0)
3 0nn0 12258 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
52, 4eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
6 sticksstones11.3 . . 3 𝐹 = (𝑎𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))))
7 sticksstones11.5 . . 3 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)}
8 sticksstones11.6 . . 3 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))}
91, 5, 6, 7, 8sticksstones8 40117 . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
10 sticksstones11.4 . . 3 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
111, 2, 10, 7, 8sticksstones9 40118 . 2 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
127a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)})
13 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑢𝜑
14 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑢{𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)}
15 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑢{{⟨1, 𝑁⟩}}
16 ffn 6592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢:{1}⟶ℕ0𝑢 Fn {1})
1716ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → 𝑢 Fn {1})
18 1nn 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℕ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → 1 ∈ ℕ)
201adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21 fnsng 6478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {⟨1, 𝑁⟩} Fn {1})
2219, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → {⟨1, 𝑁⟩} Fn {1})
23 elsni 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 ∈ {1} → 𝑝 = 1)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) → 𝑝 = 1)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) ∧ 𝑝 = 1) → 𝑝 = 1)
2625fveq2d 6770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) ∧ 𝑝 = 1) → (𝑢𝑝) = (𝑢‘1))
27 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → 𝑢:{1}⟶ℕ0)
28 1ex 10981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1 ∈ V
2928snid 4597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1 ∈ {1}
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → 1 ∈ {1})
3127, 30ffvelrnd 6954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → (𝑢‘1) ∈ ℕ0)
3231nn0cnd 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → (𝑢‘1) ∈ ℂ)
33 fveq2 6766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = 1 → (𝑢𝑖) = (𝑢‘1))
3433sumsn 15468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((1 ∈ ℕ ∧ (𝑢‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = (𝑢‘1))
3519, 32, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = (𝑢‘1))
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = (𝑢‘1)) → Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = (𝑢‘1))
3736eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = (𝑢‘1)) → (𝑢‘1) = Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖))
38 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = (𝑢‘1)) → Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)
3937, 38eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = (𝑢‘1)) → (𝑢‘1) = 𝑁)
4039ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → (Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = (𝑢‘1) → (𝑢‘1) = 𝑁))
4135, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → (𝑢‘1) = 𝑁)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) → (𝑢‘1) = 𝑁)
4318a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) → 1 ∈ ℕ)
4420adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) → 𝑁 ∈ ℕ0)
45 fvsng 7044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
4643, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
4746eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) → 𝑁 = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
4842, 47eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) → (𝑢‘1) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) ∧ 𝑝 = 1) → (𝑢‘1) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
5025eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) ∧ 𝑝 = 1) → 1 = 𝑝)
5150fveq2d 6770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) ∧ 𝑝 = 1) → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑝))
5226, 49, 513eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) ∧ 𝑝 = 1) → (𝑢𝑝) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑝))
5324, 52mpdan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) → (𝑢𝑝) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑝))
5417, 22, 53eqfnfvd 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩})
55 fsng 7001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑢:{1}⟶{𝑁} ↔ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}))
5619, 20, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → (𝑢:{1}⟶{𝑁} ↔ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}))
5754, 56mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → 𝑢:{1}⟶{𝑁})
58 ssidd 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → {𝑁} ⊆ {𝑁})
59 fss 6609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑢:{1}⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ {𝑁}) → 𝑢:{1}⟶{𝑁})
6057, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → 𝑢:{1}⟶{𝑁})
6160, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → 𝑢:{1}⟶{𝑁})
6261, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩})
63 vex 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑢 ∈ V
6463elsn 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ↔ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩})
6562, 64sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)) → 𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}})
6665ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁) → 𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}))
67 1zzd 12361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
68 fzsn 13308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (1...1) = {1})
7069eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → {1} = (1...1))
71 1e0p1 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 = (0 + 1)
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 = (0 + 1))
7372oveq2d 7283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1...1) = (1...(0 + 1)))
7470, 73eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → {1} = (1...(0 + 1)))
752eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 = 𝐾)
7675oveq1d 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0 + 1) = (𝐾 + 1))
7776oveq2d 7283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (1...(0 + 1)) = (1...(𝐾 + 1)))
7874, 77eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {1} = (1...(𝐾 + 1)))
7978feq2d 6578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑢:{1}⟶ℕ0𝑢:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
8078sumeq1d 15423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑢𝑖))
8180eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑢𝑖) = 𝑁))
8279, 81anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁) ↔ (𝑢:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑢𝑖) = 𝑁)))
8382imbi1d 342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑢:{1}⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁) → 𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}) ↔ ((𝑢:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑢𝑖) = 𝑁) → 𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}})))
8466, 83mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑢:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑢𝑖) = 𝑁) → 𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}))
85 feq1 6573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = 𝑢 → (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0𝑢:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
86 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑔 = 𝑢𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑔 = 𝑢)
8786fveq1d 6768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑔 = 𝑢𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑔𝑖) = (𝑢𝑖))
8887sumeq2dv 15425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 = 𝑢 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑢𝑖))
8988eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = 𝑢 → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑢𝑖) = 𝑁))
9085, 89anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = 𝑢 → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁) ↔ (𝑢:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑢𝑖) = 𝑁)))
9163, 90elab 3608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ (𝑢:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑢𝑖) = 𝑁))
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑢 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ (𝑢:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑢𝑖) = 𝑁)))
9392imbi1d 342 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑢 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} → 𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}) ↔ ((𝑢:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑢𝑖) = 𝑁) → 𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}})))
9484, 93mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑢 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} → 𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}))
9594imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)}) → 𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}})
9695ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑢 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} → 𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}))
9713, 14, 15, 96ssrd 3925 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} ⊆ {{⟨1, 𝑁⟩}})
9818a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
9998, 1, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑢:{1}⟶{𝑁} ↔ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}))
10099bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩} ↔ 𝑢:{1}⟶{𝑁}))
101100biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩} → 𝑢:{1}⟶{𝑁}))
102 elsni 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} → 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩})
103101, 102impel 506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}) → 𝑢:{1}⟶{𝑁})
1041snssd 4742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → {𝑁} ⊆ ℕ0)
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}) → {𝑁} ⊆ ℕ0)
106 fss 6609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢:{1}⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ ℕ0) → 𝑢:{1}⟶ℕ0)
107103, 105, 106syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}) → 𝑢:{1}⟶ℕ0)
10879adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}) → (𝑢:{1}⟶ℕ0𝑢:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
109107, 108mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}) → 𝑢:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
110102adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}) → 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩})
111783ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → {1} = (1...(𝐾 + 1)))
112111eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → (1...(𝐾 + 1)) = {1})
113112sumeq1d 15423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑢𝑖) = Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖))
11418a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → 1 ∈ ℕ)
11513ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → 𝑁 ∈ ℕ0)
116115nn0cnd 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → 𝑁 ∈ ℂ)
117114, 115, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
118117eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → 𝑁 = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
1191103adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩})
120119fveq1d 6768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → (𝑢‘1) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
121118, 120eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → 𝑁 = (𝑢‘1))
122121eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → (𝑁 ∈ ℂ ↔ (𝑢‘1) ∈ ℂ))
123116, 122mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → (𝑢‘1) ∈ ℂ)
124114, 123, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = (𝑢‘1))
125120, 117eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → (𝑢‘1) = 𝑁)
126124, 125eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → Σ𝑖 ∈ {1} (𝑢𝑖) = 𝑁)
127113, 126eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑢𝑖) = 𝑁)
1281273expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}) ∧ 𝑢 = {⟨1, 𝑁⟩}) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑢𝑖) = 𝑁)
129110, 128mpdan 684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑢𝑖) = 𝑁)
130109, 129jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}) → (𝑢:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑢𝑖) = 𝑁))
131130, 91sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}) → 𝑢 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)})
132131ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑢 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} → 𝑢 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)}))
13313, 15, 14, 132ssrd 3925 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {{⟨1, 𝑁⟩}} ⊆ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)})
13497, 133eqssd 3937 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} = {{⟨1, 𝑁⟩}})
13512, 134eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = {{⟨1, 𝑁⟩}})
136 eqss 3935 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = {{⟨1, 𝑁⟩}} ↔ (𝐴 ⊆ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ {{⟨1, 𝑁⟩}} ⊆ 𝐴))
137136biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {{⟨1, 𝑁⟩}} → (𝐴 ⊆ {{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ {{⟨1, 𝑁⟩}} ⊆ 𝐴))
138137simpld 495 . . . . . . . 8 (𝐴 = {{⟨1, 𝑁⟩}} → 𝐴 ⊆ {{⟨1, 𝑁⟩}})
139135, 138syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ {{⟨1, 𝑁⟩}})
140 fss 6609 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐵𝐴𝐴 ⊆ {{⟨1, 𝑁⟩}}) → 𝐺:𝐵⟶{{⟨1, 𝑁⟩}})
14111, 139, 140syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐵⟶{{⟨1, 𝑁⟩}})
142141adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝐺:𝐵⟶{{⟨1, 𝑁⟩}})
1439ffvelrnda 6953 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝐹𝑐) ∈ 𝐵)
144 fvconst 7028 . . . . 5 ((𝐺:𝐵⟶{{⟨1, 𝑁⟩}} ∧ (𝐹𝑐) ∈ 𝐵) → (𝐺‘(𝐹𝑐)) = {⟨1, 𝑁⟩})
145142, 143, 144syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝐺‘(𝐹𝑐)) = {⟨1, 𝑁⟩})
146135eleq2d 2824 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑐𝐴𝑐 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}))
147146biimpd 228 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑐𝐴𝑐 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}}))
148147imp 407 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝑐 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}})
149 vex 3433 . . . . . . 7 𝑐 ∈ V
150149elsn 4576 . . . . . 6 (𝑐 ∈ {{⟨1, 𝑁⟩}} ↔ 𝑐 = {⟨1, 𝑁⟩})
151148, 150sylib 217 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐴) → 𝑐 = {⟨1, 𝑁⟩})
152151eqcomd 2744 . . . 4 ((𝜑𝑐𝐴) → {⟨1, 𝑁⟩} = 𝑐)
153145, 152eqtrd 2778 . . 3 ((𝜑𝑐𝐴) → (𝐺‘(𝐹𝑐)) = 𝑐)
154153ralrimiva 3108 . 2 (𝜑 → ∀𝑐𝐴 (𝐺‘(𝐹𝑐)) = 𝑐)
155 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑𝐵)
156 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑑𝜑
157 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑑𝐵
158 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑑{∅}
1598a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))})
160159eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐵𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))}))
161160biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑𝐵𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))}))
162161syldbl2 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))})
163 vex 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑑 ∈ V
164 feq1 6573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑑 → (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
165 fveq1 6765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑑 → (𝑓𝑥) = (𝑑𝑥))
166 fveq1 6765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑑 → (𝑓𝑦) = (𝑑𝑦))
167165, 166breq12d 5086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = 𝑑 → ((𝑓𝑥) < (𝑓𝑦) ↔ (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)))
168167imbi2d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑑 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
1691682ralbidv 3123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑑 → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
170164, 169anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = 𝑑 → ((𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦))) ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦)))))
171163, 170elab 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))} ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
172162, 171sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑑𝑥) < (𝑑𝑦))))
173172simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
174 0lt1 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 < 1
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 < 1)
1762, 175eqbrtrd 5095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 < 1)
1775nn0zd 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
178 fzn 13282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 < 1 ↔ (1...𝐾) = ∅))
17967, 177, 178syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐾 < 1 ↔ (1...𝐾) = ∅))
180176, 179mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1...𝐾) = ∅)
181180feq2d 6578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑑:∅⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
182181adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝑑:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑑:∅⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
183173, 182mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑:∅⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
184 f0bi 6649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑:∅⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑑 = ∅)
185183, 184sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑 = ∅)
186 velsn 4577 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ {∅} ↔ 𝑑 = ∅)
187185, 186sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑 ∈ {∅})
188187ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑑𝐵𝑑 ∈ {∅}))
189 f0 6647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ∅:∅⟶(1...(𝑁 + 𝐾))
190189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∅:∅⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
191180feq2d 6578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (∅:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ∅:∅⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
192190, 191mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∅:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
193 ral0 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (∅‘𝑥) < (∅‘𝑦))
194193a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (∅‘𝑥) < (∅‘𝑦)))
195 biidd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝐾)) → (∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (∅‘𝑥) < (∅‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (∅‘𝑥) < (∅‘𝑦))))
196180, 195raleqbidva 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (∅‘𝑥) < (∅‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (∅‘𝑥) < (∅‘𝑦))))
197194, 196mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (∅‘𝑥) < (∅‘𝑦)))
198192, 197jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (∅:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (∅‘𝑥) < (∅‘𝑦))))
199 0ex 5229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ∅ ∈ V
200 feq1 6573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = ∅ → (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ∅:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
201 fveq1 6765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = ∅ → (𝑓𝑥) = (∅‘𝑥))
202 fveq1 6765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = ∅ → (𝑓𝑦) = (∅‘𝑦))
203201, 202breq12d 5086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = ∅ → ((𝑓𝑥) < (𝑓𝑦) ↔ (∅‘𝑥) < (∅‘𝑦)))
204203imbi2d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = ∅ → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (∅‘𝑥) < (∅‘𝑦))))
2052042ralbidv 3123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = ∅ → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (∅‘𝑥) < (∅‘𝑦))))
206200, 205anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = ∅ → ((𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦))) ↔ (∅:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (∅‘𝑥) < (∅‘𝑦)))))
207206elabg 3606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∅ ∈ V → (∅ ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))} ↔ (∅:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (∅‘𝑥) < (∅‘𝑦)))))
208199, 207ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∅ ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))} ↔ (∅:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (∅‘𝑥) < (∅‘𝑦))))
209198, 208sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∅ ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))})
2108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))})
211209, 210eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
212211adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ {∅}) → ∅ ∈ 𝐵)
213 elsni 4578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ {∅} → 𝑑 = ∅)
214213adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑑 ∈ {∅}) → 𝑑 = ∅)
215214eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑑 ∈ {∅}) → (𝑑𝐵 ↔ ∅ ∈ 𝐵))
216212, 215mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑑 ∈ {∅}) → 𝑑𝐵)
217216ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑑 ∈ {∅} → 𝑑𝐵))
218188, 217impbid 211 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑑𝐵𝑑 ∈ {∅}))
219156, 157, 158, 218eqrd 3939 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = {∅})
220219adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐵 = {∅})
221155, 220eleqtrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑 ∈ {∅})
222163elsn 4576 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ {∅} ↔ 𝑑 = ∅)
223221, 222sylib 217 . . . . . . 7 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝑑 = ∅)
224223fveq2d 6770 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐺𝑑) = (𝐺‘∅))
225224fveq2d 6770 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) = (𝐹‘(𝐺‘∅)))
226180adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → (1...𝐾) = ∅)
227226mpteq1d 5168 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) = (𝑗 ∈ ∅ ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))))
228 mpt0 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ∅ ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) = ∅
229228a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑗 ∈ ∅ ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) = ∅)
230227, 229eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) = ∅)
231 fzfid 13703 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝐾) ∈ Fin)
232231mptexd 7092 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) ∈ V)
233 elsng 4575 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) ∈ V → ((𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) ∈ {∅} ↔ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) = ∅))
234232, 233syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) ∈ {∅} ↔ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) = ∅))
235234adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → ((𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) ∈ {∅} ↔ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) = ∅))
236230, 235mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(𝑎𝑙))) ∈ {∅})
237236, 6fmptd 6980 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶{∅})
238237adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → 𝐹:𝐴⟶{∅})
239 ffvelrn 6951 . . . . . . . 8 ((𝐺:𝐵𝐴 ∧ ∅ ∈ 𝐵) → (𝐺‘∅) ∈ 𝐴)
24011, 211, 239syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺‘∅) ∈ 𝐴)
241240adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐺‘∅) ∈ 𝐴)
242 fvconst 7028 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶{∅} ∧ (𝐺‘∅) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺‘∅)) = ∅)
243238, 241, 242syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝐺‘∅)) = ∅)
244225, 243eqtrd 2778 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) = ∅)
245223eqcomd 2744 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐵) → ∅ = 𝑑)
246244, 245eqtrd 2778 . . 3 ((𝜑𝑑𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) = 𝑑)
247246ralrimiva 3108 . 2 (𝜑 → ∀𝑑𝐵 (𝐹‘(𝐺𝑑)) = 𝑑)
2489, 11, 154, 2472fvidf1od 7162 1 (𝜑𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  {cab 2715  wral 3064  Vcvv 3429  wss 3886  c0 4256  ifcif 4459  {csn 4561  cop 4567   class class class wbr 5073  cmpt 5156   Fn wfn 6421  wf 6422  1-1-ontowf1o 6425  cfv 6426  (class class class)co 7267  Fincfn 8720  cc 10879  0cc0 10881  1c1 10882   + caddc 10884   < clt 11019  cmin 11215  cn 11983  0cn0 12243  cz 12329  ...cfz 13249  Σcsu 15407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-inf2 9386  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-sup 9188  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-rp 12741  df-ico 13095  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-seq 13732  df-exp 13793  df-hash 14055  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-clim 15207  df-sum 15408
This theorem is referenced by:  sticksstones13  40123
  Copyright terms: Public domain W3C validator