Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones11 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sticksstones11 40960
Description: Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones11.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones11.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 = 0)
sticksstones11.3 𝐹 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))))
sticksstones11.4 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐡 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (π‘˜ ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(π‘˜ = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘β€˜πΎ)), if(π‘˜ = 1, ((π‘β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))))
sticksstones11.5 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
sticksstones11.6 𝐡 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))}
Assertion
Ref Expression
sticksstones11 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐡)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑗,𝑙   𝐴,𝑏,𝑗,𝑙   π‘₯,𝐴,𝑦,π‘Ž,𝑗,𝑙   𝐡,π‘Ž   𝐡,𝑏   𝐾,π‘Ž,𝑓,𝑗,𝑙,π‘₯,𝑦   𝐾,𝑏   𝑔,𝐾,𝑖,π‘Ž   𝑁,𝑏,𝑗   𝑓,𝑁   𝑔,𝑁,𝑖   πœ‘,π‘Ž,𝑗,𝑙   πœ‘,𝑏   πœ‘,π‘₯,𝑦   𝑖,𝑙
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓,𝑔,𝑖,π‘˜)   𝐴(𝑓,𝑔,𝑖,π‘˜)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏,𝑙)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏,𝑙)   𝐾(π‘˜)   𝑁(π‘₯,𝑦,π‘˜,π‘Ž,𝑙)
Proof of Theorem sticksstones11
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones11.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 sticksstones11.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 = 0)
3 0nn0 12483 . . . . 5 0 ∈ β„•0
43a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
52, 4eqeltrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
6 sticksstones11.3 . . 3 𝐹 = (π‘Ž ∈ 𝐴 ↦ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))))
7 sticksstones11.5 . . 3 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
8 sticksstones11.6 . . 3 𝐡 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))}
91, 5, 6, 7, 8sticksstones8 40957 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
10 sticksstones11.4 . . 3 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐡 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (π‘˜ ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(π‘˜ = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘β€˜πΎ)), if(π‘˜ = 1, ((π‘β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))))
111, 2, 10, 7, 8sticksstones9 40958 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
127a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)})
13 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘’πœ‘
14 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑒{𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
15 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑒{{⟨1, π‘βŸ©}}
16 ffn 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 β†’ 𝑒 Fn {1})
1716ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ 𝑒 Fn {1})
18 1nn 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ β„•
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ 1 ∈ β„•)
201adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
21 fnsng 6597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ {⟨1, π‘βŸ©} Fn {1})
2219, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ {⟨1, π‘βŸ©} Fn {1})
23 elsni 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 ∈ {1} β†’ 𝑝 = 1)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) β†’ 𝑝 = 1)
25 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) ∧ 𝑝 = 1) β†’ 𝑝 = 1)
2625fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) ∧ 𝑝 = 1) β†’ (π‘’β€˜π‘) = (π‘’β€˜1))
27 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ 𝑒:{1}βŸΆβ„•0)
28 1ex 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1 ∈ V
2928snid 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1 ∈ {1}
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ 1 ∈ {1})
3127, 30ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ (π‘’β€˜1) ∈ β„•0)
3231nn0cnd 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ (π‘’β€˜1) ∈ β„‚)
33 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = 1 β†’ (π‘’β€˜π‘–) = (π‘’β€˜1))
3433sumsn 15688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((1 ∈ β„• ∧ (π‘’β€˜1) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = (π‘’β€˜1))
3519, 32, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = (π‘’β€˜1))
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = (π‘’β€˜1)) β†’ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = (π‘’β€˜1))
3736eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = (π‘’β€˜1)) β†’ (π‘’β€˜1) = Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–))
38 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = (π‘’β€˜1)) β†’ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)
3937, 38eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = (π‘’β€˜1)) β†’ (π‘’β€˜1) = 𝑁)
4039ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ (Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = (π‘’β€˜1) β†’ (π‘’β€˜1) = 𝑁))
4135, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ (π‘’β€˜1) = 𝑁)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) β†’ (π‘’β€˜1) = 𝑁)
4318a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) β†’ 1 ∈ β„•)
4420adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
45 fvsng 7174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1) = 𝑁)
4643, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1) = 𝑁)
4746eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) β†’ 𝑁 = ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1))
4842, 47eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) β†’ (π‘’β€˜1) = ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1))
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) ∧ 𝑝 = 1) β†’ (π‘’β€˜1) = ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1))
5025eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) ∧ 𝑝 = 1) β†’ 1 = 𝑝)
5150fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) ∧ 𝑝 = 1) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1) = ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘))
5226, 49, 513eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) ∧ 𝑝 = 1) β†’ (π‘’β€˜π‘) = ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘))
5324, 52mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ {1}) β†’ (π‘’β€˜π‘) = ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘))
5417, 22, 53eqfnfvd 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©})
55 fsng 7131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑒:{1}⟢{𝑁} ↔ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}))
5619, 20, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ (𝑒:{1}⟢{𝑁} ↔ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}))
5754, 56mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ 𝑒:{1}⟢{𝑁})
58 ssidd 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ {𝑁} βŠ† {𝑁})
59 fss 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑒:{1}⟢{𝑁} ∧ {𝑁} βŠ† {𝑁}) β†’ 𝑒:{1}⟢{𝑁})
6057, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ 𝑒:{1}⟢{𝑁})
6160, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ 𝑒:{1}⟢{𝑁})
6261, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©})
63 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑒 ∈ V
6463elsn 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ↔ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©})
6562, 64sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)) β†’ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}})
6665ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁) β†’ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}))
67 1zzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
68 fzsn 13539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 ∈ β„€ β†’ (1...1) = {1})
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (1...1) = {1})
7069eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ {1} = (1...1))
71 1e0p1 12715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 = (0 + 1)
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 1 = (0 + 1))
7372oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (1...1) = (1...(0 + 1)))
7470, 73eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ {1} = (1...(0 + 1)))
752eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 0 = 𝐾)
7675oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (0 + 1) = (𝐾 + 1))
7776oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (1...(0 + 1)) = (1...(𝐾 + 1)))
7874, 77eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ {1} = (1...(𝐾 + 1)))
7978feq2d 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ↔ 𝑒:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0))
8078sumeq1d 15643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘’β€˜π‘–))
8180eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘’β€˜π‘–) = 𝑁))
8279, 81anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁) ↔ (𝑒:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)))
8382imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (((𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁) β†’ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}) ↔ ((𝑒:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘’β€˜π‘–) = 𝑁) β†’ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}})))
8466, 83mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑒:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘’β€˜π‘–) = 𝑁) β†’ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}))
85 feq1 6695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = 𝑒 β†’ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ↔ 𝑒:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0))
86 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑔 = 𝑒 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑔 = 𝑒)
8786fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑔 = 𝑒 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (π‘”β€˜π‘–) = (π‘’β€˜π‘–))
8887sumeq2dv 15645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 = 𝑒 β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘’β€˜π‘–))
8988eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = 𝑒 β†’ (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘’β€˜π‘–) = 𝑁))
9085, 89anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = 𝑒 β†’ ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁) ↔ (𝑒:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)))
9163, 90elab 3667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} ↔ (𝑒:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘’β€˜π‘–) = 𝑁))
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} ↔ (𝑒:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)))
9392imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑒 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} β†’ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}) ↔ ((𝑒:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘’β€˜π‘–) = 𝑁) β†’ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}})))
9484, 93mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} β†’ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}))
9594imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}) β†’ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}})
9695ex 413 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} β†’ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}))
9713, 14, 15, 96ssrd 3986 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} βŠ† {{⟨1, π‘βŸ©}})
9818a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
9998, 1, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑒:{1}⟢{𝑁} ↔ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}))
10099bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©} ↔ 𝑒:{1}⟢{𝑁}))
101100biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©} β†’ 𝑒:{1}⟢{𝑁}))
102 elsni 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} β†’ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©})
103101, 102impel 506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}) β†’ 𝑒:{1}⟢{𝑁})
1041snssd 4811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ {𝑁} βŠ† β„•0)
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}) β†’ {𝑁} βŠ† β„•0)
106 fss 6731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒:{1}⟢{𝑁} ∧ {𝑁} βŠ† β„•0) β†’ 𝑒:{1}βŸΆβ„•0)
107103, 105, 106syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}) β†’ 𝑒:{1}βŸΆβ„•0)
10879adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}) β†’ (𝑒:{1}βŸΆβ„•0 ↔ 𝑒:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0))
109107, 108mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}) β†’ 𝑒:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
110102adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}) β†’ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©})
111783ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ {1} = (1...(𝐾 + 1)))
112111eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ (1...(𝐾 + 1)) = {1})
113112sumeq1d 15643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘’β€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–))
11418a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ 1 ∈ β„•)
11513ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
116115nn0cnd 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
117114, 115, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1) = 𝑁)
118117eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ 𝑁 = ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1))
1191103adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©})
120119fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ (π‘’β€˜1) = ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1))
121118, 120eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ 𝑁 = (π‘’β€˜1))
122121eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ (𝑁 ∈ β„‚ ↔ (π‘’β€˜1) ∈ β„‚))
123116, 122mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ (π‘’β€˜1) ∈ β„‚)
124114, 123, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = (π‘’β€˜1))
125120, 117eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ (π‘’β€˜1) = 𝑁)
126124, 125eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ Σ𝑖 ∈ {1} (π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)
127113, 126eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)
1281273expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}) ∧ 𝑒 = {⟨1, π‘βŸ©}) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)
129110, 128mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘’β€˜π‘–) = 𝑁)
130109, 129jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}) β†’ (𝑒:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘’β€˜π‘–) = 𝑁))
131130, 91sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}) β†’ 𝑒 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)})
132131ex 413 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} β†’ 𝑒 ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}))
13313, 15, 14, 132ssrd 3986 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {{⟨1, π‘βŸ©}} βŠ† {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)})
13497, 133eqssd 3998 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} = {{⟨1, π‘βŸ©}})
13512, 134eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 = {{⟨1, π‘βŸ©}})
136 eqss 3996 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = {{⟨1, π‘βŸ©}} ↔ (𝐴 βŠ† {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ {{⟨1, π‘βŸ©}} βŠ† 𝐴))
137136biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝐴 = {{⟨1, π‘βŸ©}} β†’ (𝐴 βŠ† {{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ {{⟨1, π‘βŸ©}} βŠ† 𝐴))
138137simpld 495 . . . . . . . 8 (𝐴 = {{⟨1, π‘βŸ©}} β†’ 𝐴 βŠ† {{⟨1, π‘βŸ©}})
139135, 138syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† {{⟨1, π‘βŸ©}})
140 fss 6731 . . . . . . 7 ((𝐺:𝐡⟢𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† {{⟨1, π‘βŸ©}}) β†’ 𝐺:𝐡⟢{{⟨1, π‘βŸ©}})
14111, 139, 140syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢{{⟨1, π‘βŸ©}})
142141adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺:𝐡⟢{{⟨1, π‘βŸ©}})
1439ffvelcdmda 7083 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐡)
144 fvconst 7158 . . . . 5 ((𝐺:𝐡⟢{{⟨1, π‘βŸ©}} ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {⟨1, π‘βŸ©})
145142, 143, 144syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {⟨1, π‘βŸ©})
146135eleq2d 2819 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ 𝐴 ↔ 𝑐 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}))
147146biimpd 228 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ 𝐴 β†’ 𝑐 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}}))
148147imp 407 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ 𝑐 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}})
149 vex 3478 . . . . . . 7 𝑐 ∈ V
150149elsn 4642 . . . . . 6 (𝑐 ∈ {{⟨1, π‘βŸ©}} ↔ 𝑐 = {⟨1, π‘βŸ©})
151148, 150sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ 𝑐 = {⟨1, π‘βŸ©})
152151eqcomd 2738 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ {⟨1, π‘βŸ©} = 𝑐)
153145, 152eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = 𝑐)
154153ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐴 (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = 𝑐)
155 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
156 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘‘πœ‘
157 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑𝐡
158 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑{βˆ…}
1598a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))})
160159eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑑 ∈ 𝐡 ↔ 𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))}))
161160biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑑 ∈ 𝐡 β†’ 𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))}))
162161syldbl2 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))})
163 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑑 ∈ V
164 feq1 6695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑑 β†’ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑑:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾))))
165 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑑 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘‘β€˜π‘₯))
166 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑑 β†’ (π‘“β€˜π‘¦) = (π‘‘β€˜π‘¦))
167165, 166breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = 𝑑 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦) ↔ (π‘‘β€˜π‘₯) < (π‘‘β€˜π‘¦)))
168167imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = 𝑑 β†’ ((π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘‘β€˜π‘₯) < (π‘‘β€˜π‘¦))))
1691682ralbidv 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = 𝑑 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘‘β€˜π‘₯) < (π‘‘β€˜π‘¦))))
170164, 169anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = 𝑑 β†’ ((𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘‘β€˜π‘₯) < (π‘‘β€˜π‘¦)))))
171163, 170elab 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))} ↔ (𝑑:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘‘β€˜π‘₯) < (π‘‘β€˜π‘¦))))
172162, 171sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑑:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘‘β€˜π‘₯) < (π‘‘β€˜π‘¦))))
173172simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)))
174 0lt1 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 < 1
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
1762, 175eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐾 < 1)
1775nn0zd 12580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
178 fzn 13513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐾 < 1 ↔ (1...𝐾) = βˆ…))
17967, 177, 178syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐾 < 1 ↔ (1...𝐾) = βˆ…))
180176, 179mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (1...𝐾) = βˆ…)
181180feq2d 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑑:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑑:βˆ…βŸΆ(1...(𝑁 + 𝐾))))
182181adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑑:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑑:βˆ…βŸΆ(1...(𝑁 + 𝐾))))
183173, 182mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑:βˆ…βŸΆ(1...(𝑁 + 𝐾)))
184 f0bi 6771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑:βˆ…βŸΆ(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑑 = βˆ…)
185183, 184sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 = βˆ…)
186 velsn 4643 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ {βˆ…} ↔ 𝑑 = βˆ…)
187185, 186sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ {βˆ…})
188187ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐡 β†’ 𝑑 ∈ {βˆ…}))
189 f0 6769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 βˆ…:βˆ…βŸΆ(1...(𝑁 + 𝐾))
190189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βˆ…:βˆ…βŸΆ(1...(𝑁 + 𝐾)))
191180feq2d 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (βˆ…:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ βˆ…:βˆ…βŸΆ(1...(𝑁 + 𝐾))))
192190, 191mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆ…:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)))
193 ral0 4511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (βˆ…β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘¦))
194193a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (βˆ…β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘¦)))
195 biidd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...𝐾)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (βˆ…β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (βˆ…β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘¦))))
196180, 195raleqbidva 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (βˆ…β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (βˆ…β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘¦))))
197194, 196mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (βˆ…β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘¦)))
198192, 197jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (βˆ…:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (βˆ…β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘¦))))
199 0ex 5306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆ… ∈ V
200 feq1 6695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = βˆ… β†’ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ βˆ…:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾))))
201 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (βˆ…β€˜π‘₯))
202 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = βˆ… β†’ (π‘“β€˜π‘¦) = (βˆ…β€˜π‘¦))
203201, 202breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = βˆ… β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦) ↔ (βˆ…β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘¦)))
204203imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = βˆ… β†’ ((π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯ < 𝑦 β†’ (βˆ…β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘¦))))
2052042ralbidv 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = βˆ… β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (βˆ…β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘¦))))
206200, 205anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = βˆ… β†’ ((𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦))) ↔ (βˆ…:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (βˆ…β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘¦)))))
207206elabg 3665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ… ∈ V β†’ (βˆ… ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))} ↔ (βˆ…:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (βˆ…β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘¦)))))
208199, 207ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ… ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))} ↔ (βˆ…:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (βˆ…β€˜π‘₯) < (βˆ…β€˜π‘¦))))
209198, 208sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))})
2108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐡 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))})
211209, 210eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝐡)
212211adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {βˆ…}) β†’ βˆ… ∈ 𝐡)
213 elsni 4644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ {βˆ…} β†’ 𝑑 = βˆ…)
214213adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {βˆ…}) β†’ 𝑑 = βˆ…)
215214eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {βˆ…}) β†’ (𝑑 ∈ 𝐡 ↔ βˆ… ∈ 𝐡))
216212, 215mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ {βˆ…}) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
217216ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ {βˆ…} β†’ 𝑑 ∈ 𝐡))
218188, 217impbid 211 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐡 ↔ 𝑑 ∈ {βˆ…}))
219156, 157, 158, 218eqrd 4000 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 = {βˆ…})
220219adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = {βˆ…})
221155, 220eleqtrd 2835 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 ∈ {βˆ…})
222163elsn 4642 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ {βˆ…} ↔ 𝑑 = βˆ…)
223221, 222sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝑑 = βˆ…)
224223fveq2d 6892 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) = (πΊβ€˜βˆ…))
225224fveq2d 6892 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜βˆ…)))
226180adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (1...𝐾) = βˆ…)
227226mpteq1d 5242 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))) = (𝑗 ∈ βˆ… ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))))
228 mpt0 6689 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ βˆ… ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))) = βˆ…
229228a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑗 ∈ βˆ… ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))) = βˆ…)
230227, 229eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))) = βˆ…)
231 fzfid 13934 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1...𝐾) ∈ Fin)
232231mptexd 7222 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))) ∈ V)
233 elsng 4641 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))) ∈ V β†’ ((𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))) ∈ {βˆ…} ↔ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))) = βˆ…))
234232, 233syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))) ∈ {βˆ…} ↔ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))) = βˆ…))
235234adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))) ∈ {βˆ…} ↔ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))) = βˆ…))
236230, 235mpbird 256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑗 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑗 + Σ𝑙 ∈ (1...𝑗)(π‘Žβ€˜π‘™))) ∈ {βˆ…})
237236, 6fmptd 7110 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢{βˆ…})
238237adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:𝐴⟢{βˆ…})
239 ffvelcdm 7080 . . . . . . . 8 ((𝐺:𝐡⟢𝐴 ∧ βˆ… ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜βˆ…) ∈ 𝐴)
24011, 211, 239syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜βˆ…) ∈ 𝐴)
241240adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (πΊβ€˜βˆ…) ∈ 𝐴)
242 fvconst 7158 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟢{βˆ…} ∧ (πΊβ€˜βˆ…) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜βˆ…)) = βˆ…)
243238, 241, 242syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜βˆ…)) = βˆ…)
244225, 243eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = βˆ…)
245223eqcomd 2738 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ βˆ… = 𝑑)
246244, 245eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = 𝑑)
247246ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = 𝑑)
2489, 11, 154, 2472fvidf1od 7292 1 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  ...cfz 13480  Ξ£csu 15628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629
This theorem is referenced by:  sticksstones13  40963
  Copyright terms: Public domain W3C validator