Theorem mapdm0 8791

Description: The empty set is the only map with empty domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 3-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mapdm0	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ↑m ∅) = {∅})

Proof of Theorem mapdm0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5254	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		elmapg 8788	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
3	1, 2	mpan2 692	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
4		f0bi 6725	. . . 4 ⊢ (𝑓:∅⟶𝐵 ↔ 𝑓 = ∅)
5	3, 4	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m ∅) ↔ 𝑓 = ∅))
6		velsn 4598	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} ↔ 𝑓 = ∅)
7	5, 6	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m ∅) ↔ 𝑓 ∈ {∅}))
8	7	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ↑m ∅) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ∅c0 4287  {csn 4582  ⟶wf 6496  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-map 8777

This theorem is referenced by:  map0e  8832  hashmap  14370  ehl0base  25384  1arithidom  33629  vieta  33756  repr0  34788  mpct  45556  rrxtopn0  46648  qndenserrnbl  46650  hoicvr  46903  ovn02  46923  ovnhoi  46958  ovnlecvr2  46965  hoiqssbl  46980  hoimbl  46986  0aryfvalel  48991