Theorem mapdm0 8766

Description: The empty set is the only map with empty domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 3-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mapdm0	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ↑m ∅) = {∅})

Proof of Theorem mapdm0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5245	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		elmapg 8763	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
3	1, 2	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
4		f0bi 6706	. . . 4 ⊢ (𝑓:∅⟶𝐵 ↔ 𝑓 = ∅)
5	3, 4	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m ∅) ↔ 𝑓 = ∅))
6		velsn 4592	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} ↔ 𝑓 = ∅)
7	5, 6	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m ∅) ↔ 𝑓 ∈ {∅}))
8	7	eqrdv 2729	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ↑m ∅) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4283  {csn 4576  ⟶wf 6477  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752

This theorem is referenced by:  map0e  8806  hashmap  14342  ehl0base  25344  1arithidom  33500  repr0  34622  mpct  45244  rrxtopn0  46337  qndenserrnbl  46339  hoicvr  46592  ovn02  46612  ovnhoi  46647  ovnlecvr2  46654  hoiqssbl  46669  hoimbl  46675  0aryfvalel  48672