Theorem mapdm0 8818

Description: The empty set is the only map with empty domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 3-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mapdm0	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ↑m ∅) = {∅})

Proof of Theorem mapdm0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5265	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		elmapg 8815	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
3	1, 2	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m ∅) ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
4		f0bi 6746	. . . 4 ⊢ (𝑓:∅⟶𝐵 ↔ 𝑓 = ∅)
5	3, 4	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m ∅) ↔ 𝑓 = ∅))
6		velsn 4608	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} ↔ 𝑓 = ∅)
7	5, 6	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m ∅) ↔ 𝑓 ∈ {∅}))
8	7	eqrdv 2728	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ↑m ∅) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ∅c0 4299  {csn 4592  ⟶wf 6510  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804

This theorem is referenced by:  map0e  8858  hashmap  14407  ehl0base  25323  1arithidom  33515  repr0  34609  mpct  45202  rrxtopn0  46298  qndenserrnbl  46300  hoicvr  46553  ovn02  46573  ovnhoi  46608  ovnlecvr2  46615  hoiqssbl  46630  hoimbl  46636  0aryfvalel  48627