Theorem 0map0sn0 8879

Description: The set of mappings of the empty set to the empty set is the singleton containing the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0map0sn0	⊢ (∅ ↑m ∅) = {∅}

Proof of Theorem 0map0sn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0bi 6761	. . 3 ⊢ (𝑓:∅⟶∅ ↔ 𝑓 = ∅)
2	1	abbii 2830	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:∅⟶∅} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
3		0ex 5270	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	3, 3	mapval 8831	. 2 ⊢ (∅ ↑m ∅) = {𝑓 ∣ 𝑓:∅⟶∅}
5		df-sn 4590	. 2 ⊢ {∅} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
6	2, 4, 5	3eqtr4i 2796	1 ⊢ (∅ ↑m ∅) = {∅}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  {cab 2741  ∅c0 4286  {csn 4589  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8822

This theorem is used by:  efmndbas0  18954  symgvalstruct  19471  setc1ohomfval  50299  setc1ocofval  50300