Theorem 0map0sn0 8944

Description: The set of mappings of the empty set to the empty set is the singleton containing the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0map0sn0	⊢ (∅ ↑m ∅) = {∅}

Proof of Theorem 0map0sn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0bi 6790	. . 3 ⊢ (𝑓:∅⟶∅ ↔ 𝑓 = ∅)
2	1	abbii 2830	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:∅⟶∅} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
3		0ex 5265	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	3, 3	mapval 8889	. 2 ⊢ (∅ ↑m ∅) = {𝑓 ∣ 𝑓:∅⟶∅}
5		df-sn 4589	. 2 ⊢ {∅} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
6	2, 4, 5	3eqtr4i 2796	1 ⊢ (∅ ↑m ∅) = {∅}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  {cab 2741  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟶wf 6557  (class class class)co 7446   ↑_m cmap 8878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-map 8880

This theorem is used by:  efmndbas0  19119  symgvalstruct  19644  setc1ohomfval  50843  setc1ocofval  50844