Theorem 0map0sn0 8897

Description: The set of mappings of the empty set to the empty set is the singleton containing the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0map0sn0	⊢ (∅ ↑m ∅) = {∅}

Proof of Theorem 0map0sn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0bi 6757	. . 3 ⊢ (𝑓:∅⟶∅ ↔ 𝑓 = ∅)
2	1	abbii 2828	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:∅⟶∅} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
3		0ex 5261	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	3, 3	mapval 8842	. 2 ⊢ (∅ ↑m ∅) = {𝑓 ∣ 𝑓:∅⟶∅}
5		df-sn 4585	. 2 ⊢ {∅} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
6	2, 4, 5	3eqtr4i 2794	1 ⊢ (∅ ↑m ∅) = {∅}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  {cab 2739  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟶wf 6527  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8831

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8833

This theorem is used by:  efmndbas0  19067  symgvalstruct  19591  setc1ohomfval  50545  setc1ocofval  50546