Theorem 0map0sn0 8917

Description: The set of mappings of the empty set to the empty set is the singleton containing the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0map0sn0	⊢ (∅ ↑m ∅) = {∅}

Proof of Theorem 0map0sn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0bi 6766	. . 3 ⊢ (𝑓:∅⟶∅ ↔ 𝑓 = ∅)
2	1	abbii 2827	. 2 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:∅⟶∅} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
3		0ex 5260	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
4	3, 3	mapval 8862	. 2 ⊢ (∅ ↑m ∅) = {𝑓 ∣ 𝑓:∅⟶∅}
5		df-sn 4585	. 2 ⊢ {∅} = {𝑓 ∣ 𝑓 = ∅}
6	2, 4, 5	3eqtr4i 2793	1 ⊢ (∅ ↑m ∅) = {∅}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  {cab 2738  ∅c0 4278  {csn 4584  ⟶wf 6535  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8851

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-map 8853

This theorem is used by:  efmndbas0  19093  symgvalstruct  19617  setc1ohomfval  50722  setc1ocofval  50723