Theorem f0 6802

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6711	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 231	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5950	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4423	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 4043	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 6577	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 710	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1537   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ran crn 5701   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577

This theorem is referenced by:  f00  6803  f0bi  6804  f10  6895  map0g  8942  ac6sfi  9348  oif  9599  wrd0  14587  0csh0  14841  ram0  17069  0ssc  17901  0subcat  17902  setc2ohom  18162  cat1lem  18163  gsum0  18722  ga0  19338  0frgp  19821  ptcmpfi  23842  0met  24397  perfdvf  25958  uhgr0e  29106  uhgr0  29108  griedg0prc  29299  locfinref  33787  matunitlindf  37578  poimirlem28  37608  sticksstones11  42113  climlimsupcex  45690  0cnf  45798  dvnprodlem3  45869  sge00  46297  hoidmvlelem3  46518