Theorem f0 6639

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6548	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 230	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5824	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4327	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3951	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 6422	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 707	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1539   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ran crn 5581   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422

This theorem is referenced by:  f00  6640  f0bi  6641  f10  6732  map0g  8630  ac6sfi  8988  oif  9219  wrd0  14170  0csh0  14434  ram0  16651  0ssc  17468  0subcat  17469  setc2ohom  17726  cat1lem  17727  gsum0  18283  ga0  18819  0frgp  19300  ptcmpfi  22872  0met  23427  perfdvf  24972  uhgr0e  27344  uhgr0  27346  griedg0prc  27534  locfinref  31693  matunitlindf  35702  poimirlem28  35732  sticksstones11  40040  climlimsupcex  43200  0cnf  43308  dvnprodlem3  43379  sge00  43804  hoidmvlelem3  44025