Theorem f0 6773

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6682	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 230	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5926	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4397	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 4017	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 6548	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 710	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  ran crn 5678   Fn wfn 6539  ⟶wf 6540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548

This theorem is referenced by:  f00  6774  f0bi  6775  f10  6867  map0g  8878  ac6sfi  9287  oif  9525  wrd0  14489  0csh0  14743  ram0  16955  0ssc  17787  0subcat  17788  setc2ohom  18045  cat1lem  18046  gsum0  18603  ga0  19162  0frgp  19647  ptcmpfi  23317  0met  23872  perfdvf  25420  uhgr0e  28331  uhgr0  28333  griedg0prc  28521  locfinref  32821  matunitlindf  36486  poimirlem28  36516  sticksstones11  40972  climlimsupcex  44485  0cnf  44593  dvnprodlem3  44664  sge00  45092  hoidmvlelem3  45313