Theorem f0 6715

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6623	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 231	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5875	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4352	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3980	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 6496	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 711	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1541   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  ran crn 5625   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496

This theorem is referenced by:  f00  6716  f0bi  6717  f10  6807  map0g  8822  ac6sfi  9184  oif  9435  wrd0  14462  0csh0  14716  ram0  16950  0ssc  17761  0subcat  17762  setc2ohom  18019  cat1lem  18020  gsum0  18609  ga0  19227  0frgp  19708  ptcmpfi  23757  0met  24310  perfdvf  25860  uhgr0e  29144  uhgr0  29146  griedg0prc  29337  locfinref  33998  matunitlindf  37815  poimirlem28  37845  sticksstones11  42406  climlimsupcex  46009  0cnf  46117  dvnprodlem3  46188  sge00  46616  hoidmvlelem3  46837