Theorem f0 6744

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6652	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 231	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5892	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4366	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3996	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 6518	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 711	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ran crn 5642   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518

This theorem is referenced by:  f00  6745  f0bi  6746  f10  6836  map0g  8860  ac6sfi  9238  oif  9490  wrd0  14511  0csh0  14765  ram0  17000  0ssc  17806  0subcat  17807  setc2ohom  18064  cat1lem  18065  gsum0  18618  ga0  19237  0frgp  19716  ptcmpfi  23707  0met  24261  perfdvf  25811  uhgr0e  29005  uhgr0  29007  griedg0prc  29198  locfinref  33838  matunitlindf  37619  poimirlem28  37649  sticksstones11  42151  climlimsupcex  45774  0cnf  45882  dvnprodlem3  45953  sge00  46381  hoidmvlelem3  46602