Theorem f0 6761

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6668	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 234	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5918	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4358	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3984	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 6542	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 723	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1570   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  ran crn 5664   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542

This theorem is referenced by:  f00  6762  f0bi  6763  f10  6856  map0g  8883  ac6sfi  9245  oif  9493  wrd0  14578  0csh0  14832  ram0  17083  0ssc  17895  0subcat  17896  setc2ohom  18153  cat1lem  18154  gsum0  18743  ga0  19369  0frgp  19850  ptcmpfi  23951  0met  24504  perfdvf  26043  uhgr0e  29399  uhgr0  29401  griedg0prc  29592  0mplrim  33882  locfinref  34209  matunitlindf  38247  poimirlem28  38277  sticksstones11  42901  climlimsupcex  46463  0cnf  46571  dvnprodlem3  46642  sge00  47070  hoidmvlelem3  47291