Theorem f0 6560

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6479	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 233	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5796	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4350	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 4001	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 6359	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 709	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1537   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  ran crn 5556   Fn wfn 6350  ⟶wf 6351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5067  df-opab 5129  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359

This theorem is referenced by:  f00  6561  f0bi  6562  f10  6647  map0g  8448  ac6sfi  8762  oif  8994  wrd0  13889  0csh0  14155  ram0  16358  0ssc  17107  0subcat  17108  gsum0  17894  ga0  18428  0frgp  18905  ptcmpfi  22421  0met  22976  perfdvf  24501  uhgr0e  26856  uhgr0  26858  griedg0prc  27046  locfinref  31105  matunitlindf  34905  poimirlem28  34935  climlimsupcex  42099  0cnf  42209  dvnprodlem3  42282  sge00  42707  hoidmvlelem3  42928