Theorem f0 6721

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6629	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 231	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5881	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4340	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3968	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 6502	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 712	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ran crn 5632   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2539  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502

This theorem is referenced by:  f00  6722  f0bi  6723  f10  6813  map0g  8832  ac6sfi  9194  oif  9445  wrd0  14501  0csh0  14755  ram0  16993  0ssc  17804  0subcat  17805  setc2ohom  18062  cat1lem  18063  gsum0  18652  ga0  19273  0frgp  19754  ptcmpfi  23778  0met  24331  perfdvf  25870  uhgr0e  29140  uhgr0  29142  griedg0prc  29333  locfinref  33985  matunitlindf  37939  poimirlem28  37969  sticksstones11  42595  climlimsupcex  46197  0cnf  46305  dvnprodlem3  46376  sge00  46804  hoidmvlelem3  47025