Theorem f0 6715

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6623	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 232	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5875	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4335	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3968	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 6496	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 717	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1547   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  ran crn 5626   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-mo 2543  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496

This theorem is referenced by:  f00  6716  f0bi  6717  f10  6807  map0g  8829  ac6sfi  9191  oif  9442  wrd0  14499  0csh0  14753  ram0  16991  0ssc  17802  0subcat  17803  setc2ohom  18060  cat1lem  18061  gsum0  18650  ga0  19271  0frgp  19752  ptcmpfi  23803  0met  24356  perfdvf  25895  uhgr0e  29165  uhgr0  29167  griedg0prc  29358  0mplrim  33705  locfinref  34032  matunitlindf  37992  poimirlem28  38022  sticksstones11  42648  climlimsupcex  46219  0cnf  46327  dvnprodlem3  46398  sge00  46826  hoidmvlelem3  47047