MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f0 6543
Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
f0 ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 ∅ = ∅
2 fn0 6462 . . 3 (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
31, 2mpbir 234 . 2 ∅ Fn ∅
4 rn0 5779 . . 3 ran ∅ = ∅
5 0ss 4331 . . 3 ∅ ⊆ 𝐴
64, 5eqsstri 3985 . 2 ran ∅ ⊆ 𝐴
7 df-f 6342 . 2 (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
83, 6, 7mpbir2an 710 1 ∅:∅⟶𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wss 3918  c0 4274  ran crn 5539   Fn wfn 6333  wf 6334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pr 5313
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-br 5050  df-opab 5112  df-id 5443  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342
This theorem is referenced by:  f00  6544  f0bi  6545  f10  6630  map0g  8433  ac6sfi  8748  oif  8980  wrd0  13882  0csh0  14146  ram0  16347  0ssc  17098  0subcat  17099  gsum0  17885  ga0  18419  0frgp  18896  ptcmpfi  22409  0met  22964  perfdvf  24497  uhgr0e  26855  uhgr0  26857  griedg0prc  27045  locfinref  31128  matunitlindf  34960  poimirlem28  34990  climlimsupcex  42268  0cnf  42376  dvnprodlem3  42447  sge00  42872  hoidmvlelem3  43093
  Copyright terms: Public domain W3C validator