Theorem f0 6769

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6678	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 230	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5923	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4395	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 4015	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 6544	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 709	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1541   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ran crn 5676   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544

This theorem is referenced by:  f00  6770  f0bi  6771  f10  6863  map0g  8874  ac6sfi  9283  oif  9521  wrd0  14485  0csh0  14739  ram0  16951  0ssc  17783  0subcat  17784  setc2ohom  18041  cat1lem  18042  gsum0  18599  ga0  19156  0frgp  19641  ptcmpfi  23308  0met  23863  perfdvf  25411  uhgr0e  28320  uhgr0  28322  griedg0prc  28510  locfinref  32809  matunitlindf  36474  poimirlem28  36504  sticksstones11  40960  climlimsupcex  44471  0cnf  44579  dvnprodlem3  44650  sge00  45078  hoidmvlelem3  45299