Theorem f0 6772

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6681	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 230	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5925	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4396	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 4016	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 6547	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 709	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1541   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ran crn 5677   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547

This theorem is referenced by:  f00  6773  f0bi  6774  f10  6866  map0g  8880  ac6sfi  9289  oif  9527  wrd0  14491  0csh0  14745  ram0  16957  0ssc  17789  0subcat  17790  setc2ohom  18047  cat1lem  18048  gsum0  18605  ga0  19164  0frgp  19649  ptcmpfi  23324  0met  23879  perfdvf  25427  uhgr0e  28369  uhgr0  28371  griedg0prc  28559  locfinref  32890  matunitlindf  36578  poimirlem28  36608  sticksstones11  41064  climlimsupcex  44570  0cnf  44678  dvnprodlem3  44749  sge00  45177  hoidmvlelem3  45398