Theorem f0 6534

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6451	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 234	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5760	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4304	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3949	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 6328	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 710	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1538   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ran crn 5520   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328

This theorem is referenced by:  f00  6535  f0bi  6536  f10  6622  map0g  8431  ac6sfi  8746  oif  8978  wrd0  13882  0csh0  14146  ram0  16348  0ssc  17099  0subcat  17100  gsum0  17886  ga0  18420  0frgp  18897  ptcmpfi  22418  0met  22973  perfdvf  24506  uhgr0e  26864  uhgr0  26866  griedg0prc  27054  locfinref  31194  matunitlindf  35055  poimirlem28  35085  climlimsupcex  42411  0cnf  42519  dvnprodlem3  42590  sge00  43015  hoidmvlelem3  43236