Theorem f0 6763

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6670	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 234	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5908	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4350	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3977	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 6542	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 724	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ran crn 5652   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542

This theorem is used by:  f00  6764  f0bi  6765  f10  6858  map0g  8912  ac6sfi  9275  oif  9524  wrd0  14684  0csh0  14944  ram0  17200  0ssc  18012  0subcat  18013  setc2ohom  18270  cat1lem  18271  gsum0  18873  ga0  19512  0frgp  19993  matunitlindf  22996  ptcmpfi  24132  0met  24685  perfdvf  26223  uhgr0e  29649  uhgr0  29651  griedg0prc  29845  0mplrim  34146  locfinref  34473  poimirlem28  38566  sticksstones11  43206  climlimsupcex  46778  0cnf  46886  dvnprodlem3  46957  sge00  47385  hoidmvlelem3  47606