Theorem f0 6655

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6564	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 230	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5835	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4330	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3955	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 6437	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 708	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1539   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ran crn 5590   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437

This theorem is referenced by:  f00  6656  f0bi  6657  f10  6749  map0g  8672  ac6sfi  9058  oif  9289  wrd0  14242  0csh0  14506  ram0  16723  0ssc  17552  0subcat  17553  setc2ohom  17810  cat1lem  17811  gsum0  18368  ga0  18904  0frgp  19385  ptcmpfi  22964  0met  23519  perfdvf  25067  uhgr0e  27441  uhgr0  27443  griedg0prc  27631  locfinref  31791  matunitlindf  35775  poimirlem28  35805  sticksstones11  40112  climlimsupcex  43310  0cnf  43418  dvnprodlem3  43489  sge00  43914  hoidmvlelem3  44135