Theorem f0 6715

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6623	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 231	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5875	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4341	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 3969	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 6496	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 712	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ran crn 5625   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496

This theorem is referenced by:  f00  6716  f0bi  6717  f10  6807  map0g  8825  ac6sfi  9187  oif  9438  wrd0  14492  0csh0  14746  ram0  16984  0ssc  17795  0subcat  17796  setc2ohom  18053  cat1lem  18054  gsum0  18643  ga0  19264  0frgp  19745  ptcmpfi  23788  0met  24341  perfdvf  25880  uhgr0e  29154  uhgr0  29156  griedg0prc  29347  locfinref  34001  matunitlindf  37953  poimirlem28  37983  sticksstones11  42609  climlimsupcex  46215  0cnf  46323  dvnprodlem3  46394  sge00  46822  hoidmvlelem3  47043