Theorem f0 6789

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	⊢ ∅:∅⟶𝐴

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
2		fn0 6699	. . 3 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbir 231	. 2 ⊢ ∅ Fn ∅
4		rn0 5936	. . 3 ⊢ ran ∅ = ∅
5		0ss 4400	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
6	4, 5	eqsstri 4030	. 2 ⊢ ran ∅ ⊆ 𝐴
7		df-f 6565	. 2 ⊢ (∅:∅⟶𝐴 ↔ (∅ Fn ∅ ∧ ran ∅ ⊆ 𝐴))
8	3, 6, 7	mpbir2an 711	1 ⊢ ∅:∅⟶𝐴

Syntax hints:   = wceq 1540   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ran crn 5686   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565

This theorem is referenced by:  f00  6790  f0bi  6791  f10  6881  map0g  8924  ac6sfi  9320  oif  9570  wrd0  14577  0csh0  14831  ram0  17060  0ssc  17882  0subcat  17883  setc2ohom  18140  cat1lem  18141  gsum0  18697  ga0  19316  0frgp  19797  ptcmpfi  23821  0met  24376  perfdvf  25938  uhgr0e  29088  uhgr0  29090  griedg0prc  29281  locfinref  33840  matunitlindf  37625  poimirlem28  37655  sticksstones11  42157  climlimsupcex  45784  0cnf  45892  dvnprodlem3  45963  sge00  46391  hoidmvlelem3  46612