Theorem fex2 7876

Description: A function with bounded domain and codomain is a set. This version of fex 7170 is proven without the Axiom of Replacement ax-rep 5199, but depends on ax-un 7678, which is not required for the proof of fex 7170. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fex2	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexg 7693	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
2	1	3adant1 1136	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
3		fssxp 6682	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
4	3	3ad2ant1 1139	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ssexd 5252	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883   × cxp 5616  ⟶wf 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-dm 5628  df-rn 5629  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489

This theorem is referenced by:  elmapg  8776  f1oen2g  8905  f1dom2g  8906  dom3d  8931  domssex2  9065  domssex  9066  mapxpen  9071  oismo  9445  wdomima2g  9491  dfac8clem  9945  acni2  9959  acnlem  9961  dfac4  10035  dfac2a  10043  axdc2lem  10361  axdc4lem  10368  axcclem  10370  mpoaddex  12929  addex  12930  mpomulex  12931  mulex  12932  seqf1olem2  13995  seqf1o  13996  limsuple  15431  limsuplt  15432  limsupbnd1  15435  caucvgrlem  15626  prdsplusg  17412  prdsmulr  17413  prdsvsca  17414  prdshom  17421  gsumval  18636  frmdplusg  18813  isghm  19181  odinf  19529  staffval  20813  cnfldcj  21356  cnfldds  21359  xrsadd  21365  xrsmul  21366  xrsds  21385  ocvfval  21641  cnpfval  23217  iscnp2  23222  fmf  23928  tsmsval  24114  blfvalps  24366  nmfval  24571  tngnm  24634  tngngp2  24635  tngngpd  24636  tngngp  24637  nmoffn  24694  nmofval  24697  ishtpy  24957  tcphex  25202  elno  27627  adjeu  31978  ismeas  34383  isismty  38168  rrnval  38194  subex  42731  absex  42732  cjex  42733  sn-isghm  43123