Theorem fex2 7932

Description: A function with bounded domain and codomain is a set. This version of fex 7225 is proven without the Axiom of Replacement ax-rep 5242, but depends on ax-un 7733, which is not required for the proof of fex 7225. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fex2	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexg 7748	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
2	1	3adant1 1146	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
3		fssxp 6734	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
4	3	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ssexd 5295	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   × cxp 5660  ⟶wf 6533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-dm 5672  df-rn 5673  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541

This theorem is referenced by:  elmapg  8835  f1oen2g  8964  f1dom2g  8965  dom3d  8990  domssex2  9124  domssex  9125  mapxpen  9130  oismo  9501  wdomima2g  9547  dfac8clem  10015  acni2  10029  acnlem  10031  dfac4  10105  dfac2a  10112  axdc2lem  10431  axdc4lem  10438  axcclem  10440  mpoaddex  13011  addex  13012  mpomulex  13013  mulex  13014  seqf1olem2  14077  seqf1o  14078  limsuple  15528  limsuplt  15529  limsupbnd1  15532  caucvgrlem  15723  prdsplusg  17510  prdsmulr  17511  prdsvsca  17512  prdshom  17519  gsumval  18734  frmdplusg  18912  isghm  19285  odinf  19632  staffval  20921  cnfldcj  21499  cnfldds  21502  xrsadd  21508  xrsmul  21509  xrsds  21528  ocvfval  21784  cnpfval  23359  iscnp2  23364  fmf  24070  tsmsval  24256  blfvalps  24508  nmfval  24713  tngnm  24776  tngngp2  24777  tngngpd  24778  tngngp  24779  nmoffn  24836  nmofval  24839  ishtpy  25099  tcphex  25344  elno  27775  adjeu  32181  ismeas  34533  isismty  38339  rrnval  38365  subex  42904  absex  42905  cjex  42906  sn-isghm  43296