MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fex2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fex2 7272
Description: A function with bounded domain and range is a set. This version of fex 6636 is proven without the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fex2 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex2
StepHypRef Expression
1 xpexg 7111 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
213adant1 1124 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
3 fssxp 6201 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
433ad2ant1 1127 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
52, 4ssexd 4940 1 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071  wcel 2145  Vcvv 3351  wss 3723   × cxp 5248  wf 6026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-dm 5260  df-rn 5261  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034
This theorem is referenced by:  elmapg  8026  f1oen2g  8130  f1dom2g  8131  dom3d  8155  domssex2  8280  domssex  8281  mapxpen  8286  oismo  8605  wdomima2g  8651  ixpiunwdom  8656  dfac8clem  9059  ac5num  9063  acni2  9073  acnlem  9075  dfac4  9149  dfac2a  9156  axdc2lem  9476  axdc4lem  9483  axcclem  9485  ac6num  9507  axdclem2  9548  addex  12033  mulex  12034  seqf1olem2  13048  seqf1o  13049  limsuple  14417  limsuplt  14418  limsupbnd1  14421  caucvgrlem  14611  prdsval  16323  prdsplusg  16326  prdsmulr  16327  prdsvsca  16328  prdsds  16332  prdshom  16335  plusffval  17455  gsumval  17479  frmdplusg  17599  vrmdfval  17601  odinf  18187  efgtf  18342  gsumval3lem1  18513  gsumval3lem2  18514  gsumval3  18515  staffval  19057  scaffval  19091  cnfldcj  19968  cnfldds  19971  xrsadd  19978  xrsmul  19979  xrsds  20004  ipffval  20210  ocvfval  20227  cnpfval  21259  iscnp2  21264  txcn  21650  fmval  21967  fmf  21969  tsmsval  22154  tsmsadd  22170  blfvalps  22408  nmfval  22613  tngnm  22675  tngngp2  22676  tngngpd  22677  tngngp  22678  nmoffn  22735  nmofval  22738  ishtpy  22991  tchex  23235  adjeu  29088  ismeas  30602  hgt750lemg  31072  isismty  33930  rrnval  33956
  Copyright terms: Public domain W3C validator