Theorem fex2 7754

Description: A function with bounded domain and range is a set. This version of fex 7084 is proven without the Axiom of Replacement ax-rep 5205, but depends on ax-un 7566, which is not required for the proof of fex 7084. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fex2	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexg 7578	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
2	1	3adant1 1128	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
3		fssxp 6612	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
4	3	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ssexd 5243	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   × cxp 5578  ⟶wf 6414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422

This theorem is referenced by:  elmapg  8586  f1oen2g  8711  f1dom2g  8712  f1dom2gOLD  8713  dom3d  8737  domssex2  8873  domssex  8874  mapxpen  8879  oismo  9229  wdomima2g  9275  dfac8clem  9719  acni2  9733  acnlem  9735  dfac4  9809  dfac2a  9816  axdc2lem  10135  axdc4lem  10142  axcclem  10144  addex  12657  mulex  12658  seqf1olem2  13691  seqf1o  13692  limsuple  15115  limsuplt  15116  limsupbnd1  15119  caucvgrlem  15312  prdsplusg  17086  prdsmulr  17087  prdsvsca  17088  prdshom  17095  gsumval  18276  frmdplusg  18408  odinf  19085  staffval  20022  cnfldcj  20517  cnfldds  20520  xrsadd  20527  xrsmul  20528  xrsds  20553  ocvfval  20783  cnpfval  22293  iscnp2  22298  fmf  23004  tsmsval  23190  blfvalps  23444  nmfval  23650  tngnm  23721  tngngp2  23722  tngngpd  23723  tngngp  23724  nmoffn  23781  nmofval  23784  ishtpy  24041  tcphex  24286  adjeu  30152  ismeas  32067  isismty  35886  rrnval  35912