Theorem fex2 7903

Description: A function with bounded domain and codomain is a set. This version of fex 7209 is proven without the Axiom of Replacement ax-rep 5275, but depends on ax-un 7705, which is not required for the proof of fex 7209. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fex2	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexg 7717	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
3		fssxp 6729	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
4	3	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ssexd 5314	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  Vcvv 3470   ⊆ wss 3941   × cxp 5664  ⟶wf 6525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2702  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3430  df-v 3472  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-br 5139  df-opab 5201  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-dm 5676  df-rn 5677  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533

This theorem is referenced by:  elmapg  8813  f1oen2g  8944  f1dom2g  8945  f1dom2gOLD  8946  dom3d  8970  domssex2  9117  domssex  9118  mapxpen  9123  oismo  9514  wdomima2g  9560  dfac8clem  10006  acni2  10020  acnlem  10022  dfac4  10096  dfac2a  10103  axdc2lem  10422  axdc4lem  10429  axcclem  10431  addex  12951  mulex  12952  seqf1olem2  13987  seqf1o  13988  limsuple  15401  limsuplt  15402  limsupbnd1  15405  caucvgrlem  15598  prdsplusg  17383  prdsmulr  17384  prdsvsca  17385  prdshom  17392  gsumval  18575  frmdplusg  18707  odinf  19392  staffval  20399  cnfldcj  20880  cnfldds  20883  xrsadd  20891  xrsmul  20892  xrsds  20917  ocvfval  21147  cnpfval  22662  iscnp2  22667  fmf  23373  tsmsval  23559  blfvalps  23813  nmfval  24021  tngnm  24092  tngngp2  24093  tngngpd  24094  tngngp  24095  nmoffn  24152  nmofval  24155  ishtpy  24412  tcphex  24658  adjeu  31000  ismeas  33012  isismty  36458  rrnval  36484