Theorem fex2 7948

Description: A function with bounded domain and codomain is a set. This version of fex 7232 is proven without the Axiom of Replacement ax-rep 5232, but depends on ax-un 7751, which is not required for the proof of fex 7232. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fex2	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexg 7764	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
2	1	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
3		fssxp 6737	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
4	3	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ssexd 5286	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   × cxp 5649  ⟶wf 6534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542

This theorem is used by:  elmapg  8859  f1oen2g  8995  f1dom2g  8996  dom3d  9021  domssex2  9156  domssex  9157  mapxpen  9162  oismo  9534  wdomima2g  9580  dfac8clem  10111  acni2  10125  acnlem  10127  dfac4  10201  dfac2a  10208  axdc2lem  10526  axdc4lem  10533  axcclem  10535  mpoaddex  13116  addex  13117  mpomulex  13118  mulex  13119  seqf1olem2  14185  seqf1o  14186  limsuple  15645  limsuplt  15646  limsupbnd1  15649  caucvgrlem  15840  prdsplusg  17629  prdsmulr  17630  prdsvsca  17631  prdshom  17638  gsumval  18866  frmdplusg  19050  isghm  19430  odinf  19777  staffval  21098  cnfldcj  21687  cnfldds  21690  xrsadd  21696  xrsmul  21697  xrsds  21716  ocvfval  21972  cnpfval  23552  iscnp2  23557  fmf  24264  tsmsval  24450  blfvalps  24702  nmfval  24907  tngnm  24970  tngngp2  24971  tngngpd  24972  tngngp  24973  nmoffn  25030  nmofval  25033  ishtpy  25293  tcphex  25538  elno  28003  adjeu  32491  ismeas  34832  isismty  38735  rrnval  38761  subex  43298  absex  43299  cjex  43300  sn-isghm  43684