Theorem fex2 7912

Description: A function with bounded domain and codomain is a set. This version of fex 7200 is proven without the Axiom of Replacement ax-rep 5234, but depends on ax-un 7711, which is not required for the proof of fex 7200. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fex2	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexg 7726	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
3		fssxp 6715	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
4	3	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ssexd 5279	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   × cxp 5636  ⟶wf 6507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515

This theorem is referenced by:  elmapg  8812  f1oen2g  8940  f1dom2g  8941  dom3d  8965  domssex2  9101  domssex  9102  mapxpen  9107  oismo  9493  wdomima2g  9539  dfac8clem  9985  acni2  9999  acnlem  10001  dfac4  10075  dfac2a  10083  axdc2lem  10401  axdc4lem  10408  axcclem  10410  mpoaddex  12947  addex  12948  mpomulex  12949  mulex  12950  seqf1olem2  14007  seqf1o  14008  limsuple  15444  limsuplt  15445  limsupbnd1  15448  caucvgrlem  15639  prdsplusg  17421  prdsmulr  17422  prdsvsca  17423  prdshom  17430  gsumval  18604  frmdplusg  18781  isghm  19147  odinf  19493  staffval  20750  cnfldcj  21273  cnfldds  21276  cnfldcjOLD  21286  cnflddsOLD  21289  xrsadd  21296  xrsmul  21297  xrsds  21326  ocvfval  21575  cnpfval  23121  iscnp2  23126  fmf  23832  tsmsval  24018  blfvalps  24271  nmfval  24476  tngnm  24539  tngngp2  24540  tngngpd  24541  tngngp  24542  nmoffn  24599  nmofval  24602  ishtpy  24871  tcphex  25117  elno  27557  adjeu  31818  ismeas  34189  isismty  37795  rrnval  37821  subex  42235  absex  42236  cjex  42237  sn-isghm  42661