Theorem fex2 7974

Description: A function with bounded domain and codomain is a set. This version of fex 7263 is proven without the Axiom of Replacement ax-rep 5303, but depends on ax-un 7770, which is not required for the proof of fex 7263. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fex2	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexg 7785	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
3		fssxp 6775	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
4	3	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ssexd 5342	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   × cxp 5698  ⟶wf 6569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577

This theorem is referenced by:  elmapg  8897  f1oen2g  9028  f1dom2g  9029  f1dom2gOLD  9030  dom3d  9054  domssex2  9203  domssex  9204  mapxpen  9209  oismo  9609  wdomima2g  9655  dfac8clem  10101  acni2  10115  acnlem  10117  dfac4  10191  dfac2a  10199  axdc2lem  10517  axdc4lem  10524  axcclem  10526  mpoaddex  13053  addex  13054  mpomulex  13055  mulex  13056  seqf1olem2  14093  seqf1o  14094  limsuple  15524  limsuplt  15525  limsupbnd1  15528  caucvgrlem  15721  prdsplusg  17518  prdsmulr  17519  prdsvsca  17520  prdshom  17527  gsumval  18715  frmdplusg  18889  isghm  19255  odinf  19605  staffval  20864  cnfldcj  21396  cnfldds  21399  cnfldcjOLD  21409  cnflddsOLD  21412  xrsadd  21420  xrsmul  21421  xrsds  21450  ocvfval  21707  cnpfval  23263  iscnp2  23268  fmf  23974  tsmsval  24160  blfvalps  24414  nmfval  24622  tngnm  24693  tngngp2  24694  tngngpd  24695  tngngp  24696  nmoffn  24753  nmofval  24756  ishtpy  25023  tcphex  25270  elno  27708  adjeu  31921  ismeas  34163  isismty  37761  rrnval  37787  subex  42242  absex  42243  cjex  42244  sn-isghm  42628