Theorem fex2 7861

Description: A function with bounded domain and codomain is a set. This version of fex 7155 is proven without the Axiom of Replacement ax-rep 5212, but depends on ax-un 7663, which is not required for the proof of fex 7155. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fex2	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem fex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexg 7678	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
3		fssxp 6673	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
4	3	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
5	2, 4	ssexd 5257	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   × cxp 5609  ⟶wf 6472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-dm 5621  df-rn 5622  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480

This theorem is referenced by:  elmapg  8758  f1oen2g  8886  f1dom2g  8887  dom3d  8911  domssex2  9045  domssex  9046  mapxpen  9051  oismo  9421  wdomima2g  9467  dfac8clem  9918  acni2  9932  acnlem  9934  dfac4  10008  dfac2a  10016  axdc2lem  10334  axdc4lem  10341  axcclem  10343  mpoaddex  12881  addex  12882  mpomulex  12883  mulex  12884  seqf1olem2  13944  seqf1o  13945  limsuple  15380  limsuplt  15381  limsupbnd1  15384  caucvgrlem  15575  prdsplusg  17357  prdsmulr  17358  prdsvsca  17359  prdshom  17366  gsumval  18580  frmdplusg  18757  isghm  19122  odinf  19470  staffval  20751  cnfldcj  21295  cnfldds  21298  cnfldcjOLD  21308  cnflddsOLD  21311  xrsadd  21317  xrsmul  21318  xrsds  21341  ocvfval  21598  cnpfval  23144  iscnp2  23149  fmf  23855  tsmsval  24041  blfvalps  24293  nmfval  24498  tngnm  24561  tngngp2  24562  tngngpd  24563  tngngp  24564  nmoffn  24621  nmofval  24624  ishtpy  24893  tcphex  25139  elno  27579  adjeu  31861  ismeas  34204  isismty  37841  rrnval  37867  subex  42280  absex  42281  cjex  42282  sn-isghm  42706