Theorem fco2 6694

Description: Functionality of a composition with weakened out of domain condition on the first argument. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fco2	⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Proof of Theorem fco2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fco 6692	. 2 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)
2		frn 6675	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
3		cores 6213	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
6	5	feq1d 6650	. 2 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶 ↔ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶))
7	1, 6	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ⊆ wss 3889  ran crn 5632   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502

This theorem is referenced by:  fsuppcor  9317  prdsrngd  20157  prdsringd  20300  prdscrngd  20301  prds1  20302  prdstmdd  24089  prdsxmslem2  24494  eulerpartlemmf  34519  sseqf  34536  poimirlem9  37950  ftc1anclem3  38016  fco2d  44589