Theorem fco2 6744

Description: Functionality of a composition with weakened out of domain condition on the first argument. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fco2	⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Proof of Theorem fco2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fco 6742	. 2 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)
2		frn 6725	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
3		cores 6256	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
6	5	feq1d 6699	. 2 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶 ↔ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶))
7	1, 6	mpbid 235	1 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ⊆ wss 3899  ran crn 5655   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  ⟶wf 6542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-br 5106  df-opab 5170  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550

This theorem is used by:  fsuppcor  9406  prdsrngd  20410  prdsringd  20562  prdscrngd  20563  prds1  20564  prdstmdd  24455  prdsxmslem2  24860  eulerpartlemmf  35060  sseqf  35077  poimirlem9  38687  ftc1anclem3  38753  fco2d  45302