Theorem fco2 6744

Description: Functionality of a composition with weakened out of domain condition on the first argument. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fco2	⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Proof of Theorem fco2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fco 6741	. 2 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)
2		frn 6724	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
3		cores 6248	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
6	5	feq1d 6702	. 2 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶 ↔ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶))
7	1, 6	mpbid 231	1 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ⊆ wss 3948  ran crn 5677   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547

This theorem is referenced by:  fsuppcor  9405  prdsrngd  20077  prdsringd  20216  prdscrngd  20217  prds1  20218  prdstmdd  23948  prdsxmslem2  24358  eulerpartlemmf  33838  sseqf  33855  poimirlem9  36961  ftc1anclem3  37027  fco2d  43377