Theorem fco2 6528

Description: Functionality of a composition with weakened out of domain condition on the first argument. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fco2	⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Proof of Theorem fco2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fco 6526	. 2 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)
2		frn 6515	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
3		cores 6097	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐺 ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
5	4	adantl 484	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ 𝐺))
6	5	feq1d 6494	. 2 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (((𝐹 ↾ 𝐵) ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶 ↔ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶))
7	1, 6	mpbid 234	1 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ⊆ wss 3936  ran crn 5551   ↾ cres 5552   ∘ ccom 5554  ⟶wf 6346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5060  df-opab 5122  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354

This theorem is referenced by:  fsuppcor  8861  prdsringd  19356  prdscrngd  19357  prds1  19358  prdstmdd  22726  prdsxmslem2  23133  eulerpartlemmf  31628  sseqf  31645  poimirlem9  34895  ftc1anclem3  34963  fco2d  40506