Theorem extoimad 43218

Description: If |f(x)| <= C for all x then it applies to all x in the image of |f(x)| (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
extoimad.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
extoimad.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
extoimad	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem extoimad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extoimad.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝐶)
2		extoimad.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	2	ffvelcdmda 7086	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11246	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
5	4	abscld 15387	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ∈ ℝ)
6		imaco 6250	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
8	7	eleq2d 2819	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ 𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))))
9		absf 15288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
11		ax-resscn 11169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
13	10, 12	fssresd 6758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
14	2, 13	fco2d 43216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
15	14	ffnd 6718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) Fn ℝ)
16		ssidd 4005	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
17	15, 16	fvelimabd 6965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥))
18		eqcom 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
20	19	rexbidv 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
21	17, 20	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
22	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
23		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
24	22, 23	fvco3d 6991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
25	24	eqcomd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
26	25	eqeq2d 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦)) ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
27	26	rexbidva 3176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
28	21, 27	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦))))
29	8, 28	bitr3d 280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦))))
30		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦))) → 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
31	30	breq1d 5158	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦))) → (𝑥 ≤ 𝐶 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝐶))
32	5, 29, 31	ralxfr2d 5408	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝐶))
33	1, 32	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   “ cima 5679   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ℂcc 11110  ℝcr 11111   ≤ cle 11253  abscabs 15185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187

This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  43219  imo72b2lem2  43221  imo72b2lem1  43223  imo72b2  43226