Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  extoimad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem extoimad 41812
Description: If |f(x)| <= C for all x then it applies to all x in the image of |f(x)| (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
extoimad.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
extoimad.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
extoimad (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))π‘₯ ≀ 𝐢)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem extoimad
StepHypRef Expression
1 extoimad.2 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 𝐢)
2 extoimad.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
32ffvelcdmda 6989 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
43recnd 11045 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
54abscld 15189 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
6 imaco 6165 . . . . . 6 ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) = (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))
76a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) = (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)))
87eleq2d 2822 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) ↔ π‘₯ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))))
9 absf 15090 . . . . . . . . . . 11 abs:β„‚βŸΆβ„
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
11 ax-resscn 10970 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
1310, 12fssresd 6667 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (abs β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
142, 13fco2d 41810 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹):β„βŸΆβ„)
1514ffnd 6627 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹) Fn ℝ)
16 ssidd 3949 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
1715, 16fvelimabd 6870 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) = π‘₯))
18 eqcom 2743 . . . . . . . 8 (((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) = π‘₯ ↔ π‘₯ = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦))
1918a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) = π‘₯ ↔ π‘₯ = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦)))
2019rexbidv 3172 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) = π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ π‘₯ = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦)))
2117, 20bitrd 280 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ π‘₯ = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦)))
222adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
23 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
2422, 23fvco3d 6896 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
2524eqcomd 2742 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦))
2625eqeq2d 2747 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ π‘₯ = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦)))
2726rexbidva 3170 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ π‘₯ = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ π‘₯ = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘¦)))
2821, 27bitr4d 283 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((abs ∘ 𝐹) β€œ ℝ) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ π‘₯ = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
298, 28bitr3d 282 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ π‘₯ = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
30 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ π‘₯ = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
3130breq1d 5091 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (π‘₯ ≀ 𝐢 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 𝐢))
325, 29, 31ralxfr2d 5342 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))π‘₯ ≀ 𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ 𝐢))
331, 32mpbird 258 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (abs β€œ (𝐹 β€œ ℝ))π‘₯ ≀ 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3892   class class class wbr 5081   β€œ cima 5599   ∘ ccom 5600  βŸΆwf 6450  β€˜cfv 6454  β„‚cc 10911  β„cr 10912   ≀ cle 11052  abscabs 14986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-pre-sup 10991
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-er 8525  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-sup 9241  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-div 11675  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-n0 12276  df-z 12362  df-uz 12625  df-rp 12773  df-seq 13764  df-exp 13825  df-cj 14851  df-re 14852  df-im 14853  df-sqrt 14987  df-abs 14988
This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  41813  imo72b2lem2  41815  imo72b2lem1  41817  imo72b2  41820
  Copyright terms: Public domain W3C validator