Theorem extoimad 41664

Description: If |f(x)| <= C for all x then it applies to all x in the image of |f(x)| (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
extoimad.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
extoimad.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
extoimad	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem extoimad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extoimad.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝐶)
2		extoimad.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	2	ffvelrnda 6943	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
4	3	recnd 10934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
5	4	abscld 15076	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ∈ ℝ)
6		imaco 6144	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
8	7	eleq2d 2824	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ 𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))))
9		absf 14977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
11		ax-resscn 10859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
13	10, 12	fssresd 6625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
14	2, 13	fco2d 41662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
15	14	ffnd 6585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) Fn ℝ)
16		ssidd 3940	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
17	15, 16	fvelimabd 6824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥))
18		eqcom 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
20	19	rexbidv 3225	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
21	17, 20	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
22	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
23		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
24	22, 23	fvco3d 6850	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
25	24	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
26	25	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦)) ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
27	26	rexbidva 3224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
28	21, 27	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦))))
29	8, 28	bitr3d 280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦))))
30		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦))) → 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
31	30	breq1d 5080	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦))) → (𝑥 ≤ 𝐶 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝐶))
32	5, 29, 31	ralxfr2d 5328	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝐶))
33	1, 32	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   “ cima 5583   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  ℂcc 10800  ℝcr 10801   ≤ cle 10941  abscabs 14873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875

This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  41665  imo72b2lem2  41667  imo72b2lem1  41669  imo72b2  41672