Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  extoimad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem extoimad 40863
Description: If |f(x)| <= C for all x then it applies to all x in the image of |f(x)| (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
extoimad.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
extoimad.2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
extoimad (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem extoimad
StepHypRef Expression
1 extoimad.2 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶)
2 extoimad.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
32ffvelrnda 6828 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
43recnd 10658 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
54abscld 14788 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6 imaco 6071 . . . . . 6 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
87eleq2d 2875 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ 𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))))
9 absf 14689 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
11 ax-resscn 10583 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
1310, 12fssresd 6519 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
142, 13fco2d 40861 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
1514ffnd 6488 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) Fn ℝ)
16 ssidd 3938 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
1715, 16fvelimabd 6713 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥))
18 eqcom 2805 . . . . . . . 8 (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2019rexbidv 3256 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2117, 20bitrd 282 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
222adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
23 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
2422, 23fvco3d 6738 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹𝑦)))
2524eqcomd 2804 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑦)) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
2625eqeq2d 2809 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦)) ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2726rexbidva 3255 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2821, 27bitr4d 285 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))))
298, 28bitr3d 284 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))))
30 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))) → 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦)))
3130breq1d 5040 . . 3 ((𝜑𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))) → (𝑥𝐶 ↔ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶))
325, 29, 31ralxfr2d 5276 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶))
331, 32mpbird 260 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  wrex 3107  wss 3881   class class class wbr 5030  cima 5522  ccom 5523  wf 6320  cfv 6324  cc 10524  cr 10525  cle 10665  abscabs 14585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587
This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  40864  imo72b2lem2  40866  imo72b2lem1  40869  imo72b2  40873
  Copyright terms: Public domain W3C validator