Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  extoimad Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: If |f(x)| <= C for all x then it applies to all x in the image of |f(x)| (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
extoimad.2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
extoimad (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

StepHypRef Expression
1 extoimad.2 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶)
2 extoimad.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
32ffvelrnda 6828 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
43recnd 10658 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
54abscld 14788 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6 imaco 6071 . . . . . 6 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
87eleq2d 2875 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ 𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))))
9 absf 14689 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
11 ax-resscn 10583 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
1310, 12fssresd 6519 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
142, 13fco2d 40861 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
1514ffnd 6488 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) Fn ℝ)
16 ssidd 3938 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
1715, 16fvelimabd 6713 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥))
18 eqcom 2805 . . . . . . . 8 (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2019rexbidv 3256 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2117, 20bitrd 282 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
222adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
23 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
2422, 23fvco3d 6738 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹𝑦)))
2524eqcomd 2804 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑦)) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
2625eqeq2d 2809 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦)) ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2726rexbidva 3255 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2821, 27bitr4d 285 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))))
298, 28bitr3d 284 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))))
30 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))) → 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦)))
3130breq1d 5040 . . 3 ((𝜑𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))) → (𝑥𝐶 ↔ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶))
325, 29, 31ralxfr2d 5276 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶))
331, 32mpbird 260 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   “ cima 5522   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  ℂcc 10524  ℝcr 10525   ≤ cle 10665  abscabs 14585 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587 This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  40864  imo72b2lem2  40866  imo72b2lem1  40869  imo72b2  40873
 Copyright terms: Public domain W3C validator