Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  extoimad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem extoimad 40393
Description: If |f(x)| <= C for all x then it applies to all x in the image of |f(x)| (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
extoimad.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
extoimad.2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
extoimad (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem extoimad
StepHypRef Expression
1 extoimad.2 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶)
2 extoimad.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
32ffvelrnda 6843 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
43recnd 10657 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
54abscld 14784 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6 imaco 6097 . . . . . 6 ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
87eleq2d 2895 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ 𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))))
9 absf 14685 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
11 ax-resscn 10582 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
1310, 12fssresd 6538 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
142, 13fco2d 40391 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
1514ffnd 6508 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) Fn ℝ)
16 ssidd 3987 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
1715, 16fvelimabd 6731 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥))
18 eqcom 2825 . . . . . . . 8 (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2019rexbidv 3294 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2117, 20bitrd 280 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
222adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
23 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
2422, 23fvco3d 6754 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹𝑦)))
2524eqcomd 2824 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑦)) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
2625eqeq2d 2829 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦)) ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2726rexbidva 3293 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
2821, 27bitr4d 283 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))))
298, 28bitr3d 282 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))))
30 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))) → 𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦)))
3130breq1d 5067 . . 3 ((𝜑𝑥 = (abs‘(𝐹𝑦))) → (𝑥𝐶 ↔ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶))
325, 29, 31ralxfr2d 5301 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝐶))
331, 32mpbird 258 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057  cima 5551  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  cc 10523  cr 10524  cle 10664  abscabs 14581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583
This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  40394  imo72b2lem2  40396  imo72b2lem1  40399  imo72b2  40403
  Copyright terms: Public domain W3C validator