Theorem extoimad 44509

Description: If |f(x)| <= C for all x then it applies to all x in the image of |f(x)| (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
extoimad.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
extoimad.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
extoimad	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem extoimad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extoimad.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝐶)
2		extoimad.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	2	ffvelcdmda 7038	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11172	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
5	4	abscld 15374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ∈ ℝ)
6		imaco 6217	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
8	7	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ 𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))))
9		absf 15273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
11		ax-resscn 11095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
13	10, 12	fssresd 6709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
14	2, 13	fco2d 44507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
15	14	ffnd 6671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) Fn ℝ)
16		ssidd 3959	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
17	15, 16	fvelimabd 6915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥))
18		eqcom 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
20	19	rexbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
21	17, 20	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
22	2	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
23		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
24	22, 23	fvco3d 6942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
25	24	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
26	25	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦)) ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
27	26	rexbidva 3160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
28	21, 27	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦))))
29	8, 28	bitr3d 281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦))))
30		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦))) → 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
31	30	breq1d 5110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦))) → (𝑥 ≤ 𝐶 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝐶))
32	5, 29, 31	ralxfr2d 5357	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝐶))
33	1, 32	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   “ cima 5635   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  ℂcc 11036  ℝcr 11037   ≤ cle 11179  abscabs 15169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171

This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  44510  imo72b2lem2  44512  imo72b2lem1  44514  imo72b2  44517