Theorem extoimad 42014

Description: If |f(x)| <= C for all x then it applies to all x in the image of |f(x)| (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
extoimad.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
extoimad.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
extoimad	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem extoimad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extoimad.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝐶)
2		extoimad.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	2	ffvelcdmda 7000	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11082	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
5	4	abscld 15224	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ∈ ℝ)
6		imaco 6176	. . . . . 6 ⊢ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) = (abs “ (𝐹 “ ℝ)))
8	7	eleq2d 2822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ 𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))))
9		absf 15125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
11		ax-resscn 11007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
13	10, 12	fssresd 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
14	2, 13	fco2d 42012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹):ℝ⟶ℝ)
15	14	ffnd 6638	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) Fn ℝ)
16		ssidd 3953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
17	15, 16	fvelimabd 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥))
18		eqcom 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
20	19	rexbidv 3171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
21	17, 20	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
22	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
23		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
24	22, 23	fvco3d 6907	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦) = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
25	24	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦))
26	25	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦)) ↔ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
27	26	rexbidva 3169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑦)))
28	21, 27	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((abs ∘ 𝐹) “ ℝ) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦))))
29	8, 28	bitr3d 280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦))))
30		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦))) → 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦)))
31	30	breq1d 5096	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝐹‘𝑦))) → (𝑥 ≤ 𝐶 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝐶))
32	5, 29, 31	ralxfr2d 5347	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝐶))
33	1, 32	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (abs “ (𝐹 “ ℝ))𝑥 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5086   “ cima 5610   ∘ ccom 5611  ⟶wf 6461  ‘cfv 6465  ℂcc 10948  ℝcr 10949   ≤ cle 11089  abscabs 15021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-sup 9277  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662  df-rp 12810  df-seq 13801  df-exp 13862  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023

This theorem is referenced by:  imo72b2lem0  42015  imo72b2lem2  42017  imo72b2lem1  42019  imo72b2  42022