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Theorem fin23lem11 9730
 Description: Lemma for isfin2-2 9732. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem11.1 (𝑧 = (𝐴𝑥) → (𝜓𝜒))
fin23lem11.2 (𝑤 = (𝐴𝑣) → (𝜑𝜃))
fin23lem11.3 ((𝑥𝐴𝑣𝐴) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
fin23lem11 (𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∃𝑥 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑 → ∃𝑧𝐵𝑣𝐵 ¬ 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑐,𝑤,𝑥,𝑧,𝐴   𝐵,𝑐,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝜒,𝑧   𝜑,𝑣   𝜓,𝑥   𝜃,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧,𝑤,𝑐)   𝜓(𝑧,𝑤,𝑣,𝑐)   𝜒(𝑥,𝑤,𝑣,𝑐)   𝜃(𝑥,𝑧,𝑣,𝑐)

Proof of Theorem fin23lem11
StepHypRef Expression
1 difeq2 4044 . . . . 5 (𝑐 = 𝑥 → (𝐴𝑐) = (𝐴𝑥))
21eleq1d 2874 . . . 4 (𝑐 = 𝑥 → ((𝐴𝑐) ∈ 𝐵 ↔ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵))
32elrab 3628 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵))
4 simp2r 1197 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐵)
5 fin23lem11.2 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝐴𝑣) → (𝜑𝜃))
65notbid 321 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝐴𝑣) → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜃))
7 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑)
8 difeq2 4044 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (𝐴𝑣) → (𝐴𝑐) = (𝐴 ∖ (𝐴𝑣)))
98eleq1d 2874 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝐴𝑣) → ((𝐴𝑐) ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴𝑣)) ∈ 𝐵))
10 difss 4059 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑣) ⊆ 𝐴
11 ssun1 4099 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ⊆ (𝐴𝑥)
12 undif1 4382 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑥) ∪ 𝑥) = (𝐴𝑥)
1311, 12sseqtrri 3952 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ ((𝐴𝑥) ∪ 𝑥)
14 simpl2r 1224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐵)
15 simpl2l 1223 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
16 unexg 7454 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑥) ∈ 𝐵𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → ((𝐴𝑥) ∪ 𝑥) ∈ V)
1714, 15, 16syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → ((𝐴𝑥) ∪ 𝑥) ∈ V)
18 ssexg 5191 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ((𝐴𝑥) ∪ 𝑥) ∧ ((𝐴𝑥) ∪ 𝑥) ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
1913, 17, 18sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → 𝐴 ∈ V)
20 elpw2g 5211 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → ((𝐴𝑣) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴𝑣) ⊆ 𝐴))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → ((𝐴𝑣) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴𝑣) ⊆ 𝐴))
2210, 21mpbiri 261 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → (𝐴𝑣) ∈ 𝒫 𝐴)
23 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
24 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣𝐵)
2523, 24sseldd 3916 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐴)
2625elpwid 4508 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣𝐴)
27 dfss4 4185 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴𝑣)) = 𝑣)
2826, 27sylib 221 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑣)) = 𝑣)
2928, 24eqeltrd 2890 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑣)) ∈ 𝐵)
309, 22, 29elrabd 3630 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → (𝐴𝑣) ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵})
316, 7, 30rspcdva 3573 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → ¬ 𝜃)
32 simplrl 776 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
3332elpwid 4508 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑥𝐴)
34 ssel2 3910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐴)
3534adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐴)
3635elpwid 4508 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣𝐴)
37 fin23lem11.3 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑣𝐴) → (𝜒𝜃))
3833, 36, 37syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣𝐵) → (𝜒𝜃))
3938notbid 321 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣𝐵) → (¬ 𝜒 ↔ ¬ 𝜃))
40393adantl3 1165 . . . . . . 7 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → (¬ 𝜒 ↔ ¬ 𝜃))
4131, 40mpbird 260 . . . . . 6 (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣𝐵) → ¬ 𝜒)
4241ralrimiva 3149 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) → ∀𝑣𝐵 ¬ 𝜒)
43 fin23lem11.1 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐴𝑥) → (𝜓𝜒))
4443notbid 321 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐴𝑥) → (¬ 𝜓 ↔ ¬ 𝜒))
4544ralbidv 3162 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐴𝑥) → (∀𝑣𝐵 ¬ 𝜓 ↔ ∀𝑣𝐵 ¬ 𝜒))
4645rspcev 3571 . . . . 5 (((𝐴𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑣𝐵 ¬ 𝜒) → ∃𝑧𝐵𝑣𝐵 ¬ 𝜓)
474, 42, 46syl2anc 587 . . . 4 ((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) → ∃𝑧𝐵𝑣𝐵 ¬ 𝜓)
48473exp 1116 . . 3 (𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐵) → (∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑 → ∃𝑧𝐵𝑣𝐵 ¬ 𝜓)))
493, 48syl5bi 245 . 2 (𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 → (𝑥 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} → (∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑 → ∃𝑧𝐵𝑣𝐵 ¬ 𝜓)))
5049rexlimdv 3242 1 (𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∃𝑥 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑 → ∃𝑧𝐵𝑣𝐵 ¬ 𝜓))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7443 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-uni 4801 This theorem is referenced by:  fin2i2  9731  isfin2-2  9732
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