Theorem fin23lem11 10073

Description: Lemma for isfin2-2 10075. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem11.1	⊢ (𝑧 = (𝐴 ∖ 𝑥) → (𝜓 ↔ 𝜒))
fin23lem11.2	⊢ (𝑤 = (𝐴 ∖ 𝑣) → (𝜑 ↔ 𝜃))
fin23lem11.3	⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴) → (𝜒 ↔ 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
fin23lem11	⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∃𝑥 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑐,𝑤,𝑥,𝑧,𝐴   𝐵,𝑐,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝜒,𝑧   𝜑,𝑣   𝜓,𝑥   𝜃,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧,𝑤,𝑐)   𝜓(𝑧,𝑤,𝑣,𝑐)   𝜒(𝑥,𝑤,𝑣,𝑐)   𝜃(𝑥,𝑧,𝑣,𝑐)

Proof of Theorem fin23lem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difeq2 4051	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝐴 ∖ 𝑐) = (𝐴 ∖ 𝑥))
2	1	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵))
3	2	elrab 3624	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵))
4		simp2r 1199	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵)
5		fin23lem11.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝐴 ∖ 𝑣) → (𝜑 ↔ 𝜃))
6	5	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐴 ∖ 𝑣) → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜃))
7		simpl3 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑)
8		difeq2 4051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (𝐴 ∖ 𝑣) → (𝐴 ∖ 𝑐) = (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑣)))
9	8	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = (𝐴 ∖ 𝑣) → ((𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑣)) ∈ 𝐵))
10		difss 4066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∖ 𝑣) ⊆ 𝐴
11		ssun1 4106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝑥)
12		undif1 4409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∪ 𝑥) = (𝐴 ∪ 𝑥)
13	11, 12	sseqtrri 3958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ⊆ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∪ 𝑥)
14		simpl2r 1226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵)
15		simpl2l 1225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
16		unexg 7599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∪ 𝑥) ∈ V)
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∪ 𝑥) ∈ V)
18		ssexg 5247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∪ 𝑥) ∧ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∪ 𝑥) ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
19	13, 17, 18	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
20		elpw2g 5268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ∖ 𝑣) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ 𝑣) ⊆ 𝐴))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∖ 𝑣) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ 𝑣) ⊆ 𝐴))
22	10, 21	mpbiri 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∖ 𝑣) ∈ 𝒫 𝐴)
23		simpl1 1190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
24		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ 𝐵)
25	23, 24	sseldd 3922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐴)
26	25	elpwid 4544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ⊆ 𝐴)
27		dfss4 4192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑣)) = 𝑣)
28	26, 27	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑣)) = 𝑣)
29	28, 24	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑣)) ∈ 𝐵)
30	9, 22, 29	elrabd 3626	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∖ 𝑣) ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})
31	6, 7, 30	rspcdva 3562	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ¬ 𝜃)
32		simplrl 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
33	32	elpwid 4544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
34		ssel2 3916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐴)
35	34	adantlr 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐴)
36	35	elpwid 4544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ⊆ 𝐴)
37		fin23lem11.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴) → (𝜒 ↔ 𝜃))
38	33, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝜒 ↔ 𝜃))
39	38	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (¬ 𝜒 ↔ ¬ 𝜃))
40	39	3adantl3 1167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (¬ 𝜒 ↔ ¬ 𝜃))
41	31, 40	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ¬ 𝜒)
42	41	ralrimiva 3103	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) → ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜒)
43		fin23lem11.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝐴 ∖ 𝑥) → (𝜓 ↔ 𝜒))
44	43	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝐴 ∖ 𝑥) → (¬ 𝜓 ↔ ¬ 𝜒))
45	44	ralbidv 3112	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐴 ∖ 𝑥) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜒))
46	45	rspcev 3561	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜒) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓)
47	4, 42, 46	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓)
48	47	3exp 1118	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) → (∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓)))
49	3, 48	syl5bi 241	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 → (𝑥 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} → (∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓)))
50	49	rexlimdv 3212	1 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∃𝑥 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-uni 4840

This theorem is referenced by:  fin2i2  10074  isfin2-2  10075