Theorem fin23lem11 9931

Description: Lemma for isfin2-2 9933. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem11.1	⊢ (𝑧 = (𝐴 ∖ 𝑥) → (𝜓 ↔ 𝜒))
fin23lem11.2	⊢ (𝑤 = (𝐴 ∖ 𝑣) → (𝜑 ↔ 𝜃))
fin23lem11.3	⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴) → (𝜒 ↔ 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
fin23lem11	⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∃𝑥 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑐,𝑤,𝑥,𝑧,𝐴   𝐵,𝑐,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝜒,𝑧   𝜑,𝑣   𝜓,𝑥   𝜃,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧,𝑤,𝑐)   𝜓(𝑧,𝑤,𝑣,𝑐)   𝜒(𝑥,𝑤,𝑣,𝑐)   𝜃(𝑥,𝑧,𝑣,𝑐)

Proof of Theorem fin23lem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difeq2 4031	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝐴 ∖ 𝑐) = (𝐴 ∖ 𝑥))
2	1	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵))
3	2	elrab 3602	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵))
4		simp2r 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵)
5		fin23lem11.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝐴 ∖ 𝑣) → (𝜑 ↔ 𝜃))
6	5	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝐴 ∖ 𝑣) → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜃))
7		simpl3 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑)
8		difeq2 4031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (𝐴 ∖ 𝑣) → (𝐴 ∖ 𝑐) = (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑣)))
9	8	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = (𝐴 ∖ 𝑣) → ((𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑣)) ∈ 𝐵))
10		difss 4046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∖ 𝑣) ⊆ 𝐴
11		ssun1 4086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝑥)
12		undif1 4390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∪ 𝑥) = (𝐴 ∪ 𝑥)
13	11, 12	sseqtrri 3938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ⊆ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∪ 𝑥)
14		simpl2r 1229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵)
15		simpl2l 1228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
16		unexg 7534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∪ 𝑥) ∈ V)
17	14, 15, 16	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∪ 𝑥) ∈ V)
18		ssexg 5216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∪ 𝑥) ∧ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∪ 𝑥) ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
19	13, 17, 18	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
20		elpw2g 5237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ∖ 𝑣) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ 𝑣) ⊆ 𝐴))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ∖ 𝑣) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ 𝑣) ⊆ 𝐴))
22	10, 21	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∖ 𝑣) ∈ 𝒫 𝐴)
23		simpl1 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
24		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ 𝐵)
25	23, 24	sseldd 3902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐴)
26	25	elpwid 4524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ⊆ 𝐴)
27		dfss4 4173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑣)) = 𝑣)
28	26, 27	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑣)) = 𝑣)
29	28, 24	eqeltrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑣)) ∈ 𝐵)
30	9, 22, 29	elrabd 3604	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∖ 𝑣) ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})
31	6, 7, 30	rspcdva 3539	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ¬ 𝜃)
32		simplrl 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
33	32	elpwid 4524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
34		ssel2 3895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐴)
35	34	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐴)
36	35	elpwid 4524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → 𝑣 ⊆ 𝐴)
37		fin23lem11.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴) → (𝜒 ↔ 𝜃))
38	33, 36, 37	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (𝜒 ↔ 𝜃))
39	38	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (¬ 𝜒 ↔ ¬ 𝜃))
40	39	3adantl3 1170	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → (¬ 𝜒 ↔ ¬ 𝜃))
41	31, 40	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) ∧ 𝑣 ∈ 𝐵) → ¬ 𝜒)
42	41	ralrimiva 3105	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) → ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜒)
43		fin23lem11.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝐴 ∖ 𝑥) → (𝜓 ↔ 𝜒))
44	43	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝐴 ∖ 𝑥) → (¬ 𝜓 ↔ ¬ 𝜒))
45	44	ralbidv 3118	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐴 ∖ 𝑥) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜒))
46	45	rspcev 3537	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜒) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓)
47	4, 42, 46	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓)
48	47	3exp 1121	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝐵) → (∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓)))
49	3, 48	syl5bi 245	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 → (𝑥 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} → (∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓)))
50	49	rexlimdv 3202	1 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∃𝑥 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑤 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑣 ∈ 𝐵 ¬ 𝜓))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3408   ∖ cdif 3863   ∪ cun 3864   ⊆ wss 3866  𝒫 cpw 4513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2071  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-uni 4820

This theorem is referenced by:  fin2i2  9932  isfin2-2  9933