Theorem dfss4 4223

Description: Subclass defined in terms of class difference. See comments under dfun2 4224. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfss4	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem dfss4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqin2 4177	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
2		eldif 3913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
3	2	notbii 320	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	3	anbi2i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)))
5		elin 3919	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
6		abai 827	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)))
7		iman 401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
8	7	anbi2i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)))
9	5, 6, 8	3bitri 297	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)))
10	4, 9	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐴))
11	10	difeqri 4082	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = (𝐵 ∩ 𝐴)
12	11	eqeq1i 2742	. 2 ⊢ ((𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴 ↔ (𝐵 ∩ 𝐴) = 𝐴)
13	1, 12	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-3an 1089  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-in 3910  df-ss 3920

This theorem is referenced by:  ssdifim  4227  dfin4  4232  sscon34b  4258  sorpsscmpl  7689  sbthlem3  9029  fin23lem7  10238  fin23lem11  10239  compsscnvlem  10292  compssiso  10296  isf34lem4  10299  efgmnvl  19655  frlmlbs  21764  isopn2  22988  iincld  22995  iuncld  23001  clsval2  23006  ntrval2  23007  ntrdif  23008  clsdif  23009  cmclsopn  23018  opncldf1  23040  indiscld  23047  mretopd  23048  restcld  23128  pnrmopn  23299  conndisj  23372  hausllycmp  23450  kqcldsat  23689  filufint  23876  cfinufil  23884  ufilen  23886  alexsublem  24000  bcth3  25299  inmbl  25511  iccmbl  25535  mbfimaicc  25600  i1fd  25650  itgss3  25784  difuncomp  32639  iundifdifd  32647  iundifdif  32648  supppreima  32780  pmtrcnelor  33184  evlextv  33718  ist0cld  34010  cldssbrsiga  34364  unelcarsg  34489  kur14lem4  35422  cldbnd  36539  clsun  36541  mblfinlem3  37907  mblfinlem4  37908  ismblfin  37909  itg2addnclem  37919  fdc  37993  dssmapnvod  44373  ntrclsfveq1  44413  ntrclsfveq  44415  ntrclsneine0lem  44417  ntrclsiso  44420  ntrclsk2  44421  ntrclskb  44422  ntrclsk3  44423  ntrclsk13  44424  ntrclsk4  44425  clsneiel2  44462  neicvgel2  44473  salincl  46679  salexct  46689  ovnsubadd2lem  47000  lincext2  48812  opncldeqv  49258