Theorem fin2i2 10167

Description: A II-finite set contains minimal elements for every nonempty chain. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin2i2	⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → ∩ 𝐵 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fin2i2

Dummy variables 𝑐 𝑚 𝑛 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 766	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
2		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → 𝐴 ∈ FinII)
3		ssrab2 4024	. . . . . 6 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ⊆ 𝒫 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ⊆ 𝒫 𝐴)
5		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → 𝐵 ≠ ∅)
6		fin23lem7 10165	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ≠ ∅)
7	2, 1, 5, 6	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ≠ ∅)
8		sorpsscmpl 7641	. . . . . 6 ⊢ ( [⊊] Or 𝐵 → [⊊] Or {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})
9	8	ad2antll 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → [⊊] Or {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})
10		fin2i 10144	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ ({𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ≠ ∅ ∧ [⊊] Or {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})) → ∪ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})
11	2, 4, 7, 9, 10	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → ∪ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})
12		sorpssuni 7639	. . . . 5 ⊢ ( [⊊] Or {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} → (∃𝑚 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑛 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑛 ↔ ∪ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}))
13	9, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → (∃𝑚 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑛 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑛 ↔ ∪ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}))
14	11, 13	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → ∃𝑚 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑛 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑛)
15		psseq2 4034	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴 ∖ 𝑚) → (𝑤 ⊊ 𝑧 ↔ 𝑤 ⊊ (𝐴 ∖ 𝑚)))
16		psseq2 4034	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝐴 ∖ 𝑤) → (𝑚 ⊊ 𝑛 ↔ 𝑚 ⊊ (𝐴 ∖ 𝑤)))
17		pssdifcom2 4434	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ⊊ (𝐴 ∖ 𝑚) ↔ 𝑚 ⊊ (𝐴 ∖ 𝑤)))
18	15, 16, 17	fin23lem11 10166	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∃𝑚 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑛 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑛 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 ⊊ 𝑧))
19	1, 14, 18	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 ⊊ 𝑧)
20		sorpssint 7640	. . 3 ⊢ ( [⊊] Or 𝐵 → (∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 ⊊ 𝑧 ↔ ∩ 𝐵 ∈ 𝐵))
21	20	ad2antll 726	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 ⊊ 𝑧 ↔ ∩ 𝐵 ∈ 𝐵))
22	19, 21	mpbid 231	1 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → ∩ 𝐵 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3403   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897   ⊊ wpss 3898  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4546  ∪ cuni 4851  ∩ cint 4893   Or wor 5525   [⊊] crpss 7629  Fin^IIcfin2 10128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-br 5090  df-opab 5152  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5620  df-rel 5621  df-rpss 7630  df-fin2 10135

This theorem is referenced by:  isfin2-2  10168  fin23lem40  10200  fin2so  35862