Theorem fin2i2 10355

Description: A II-finite set contains minimal elements for every nonempty chain. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin2i2	⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → ∩ 𝐵 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fin2i2

Dummy variables 𝑐 𝑚 𝑛 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
2		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → 𝐴 ∈ FinII)
3		ssrab2 4089	. . . . . 6 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ⊆ 𝒫 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ⊆ 𝒫 𝐴)
5		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → 𝐵 ≠ ∅)
6		fin23lem7 10353	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ≠ ∅)
7	2, 1, 5, 6	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ≠ ∅)
8		sorpsscmpl 7752	. . . . . 6 ⊢ ( [⊊] Or 𝐵 → [⊊] Or {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})
9	8	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → [⊊] Or {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})
10		fin2i 10332	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ ({𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ≠ ∅ ∧ [⊊] Or {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})) → ∪ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})
11	2, 4, 7, 9, 10	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → ∪ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})
12		sorpssuni 7750	. . . . 5 ⊢ ( [⊊] Or {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} → (∃𝑚 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑛 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑛 ↔ ∪ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}))
13	9, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → (∃𝑚 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑛 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑛 ↔ ∪ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}))
14	11, 13	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → ∃𝑚 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑛 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑛)
15		psseq2 4100	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴 ∖ 𝑚) → (𝑤 ⊊ 𝑧 ↔ 𝑤 ⊊ (𝐴 ∖ 𝑚)))
16		psseq2 4100	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝐴 ∖ 𝑤) → (𝑚 ⊊ 𝑛 ↔ 𝑚 ⊊ (𝐴 ∖ 𝑤)))
17		pssdifcom2 4496	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ⊊ (𝐴 ∖ 𝑚) ↔ 𝑚 ⊊ (𝐴 ∖ 𝑤)))
18	15, 16, 17	fin23lem11 10354	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∃𝑚 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑛 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑛 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 ⊊ 𝑧))
19	1, 14, 18	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 ⊊ 𝑧)
20		sorpssint 7751	. . 3 ⊢ ( [⊊] Or 𝐵 → (∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 ⊊ 𝑧 ↔ ∩ 𝐵 ∈ 𝐵))
21	20	ad2antll 729	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 ⊊ 𝑧 ↔ ∩ 𝐵 ∈ 𝐵))
22	19, 21	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → ∩ 𝐵 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  {crab 3432   ∖ cdif 3959   ⊆ wss 3962   ⊊ wpss 3963  ∅c0 4338  𝒫 cpw 4604  ∪ cuni 4911  ∩ cint 4950   Or wor 5595   [⊊] crpss 7740  Fin^IIcfin2 10316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-br 5148  df-opab 5210  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-rpss 7741  df-fin2 10323

This theorem is referenced by:  isfin2-2  10356  fin23lem40  10388  fin2so  37593