Theorem fin2i2 10313

Description: A II-finite set contains minimal elements for every nonempty chain. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin2i2	⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → ∩ 𝐵 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fin2i2

Dummy variables 𝑐 𝑚 𝑛 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
2		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → 𝐴 ∈ FinII)
3		ssrab2 4078	. . . . . 6 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ⊆ 𝒫 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ⊆ 𝒫 𝐴)
5		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → 𝐵 ≠ ∅)
6		fin23lem7 10311	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ≠ ∅)
7	2, 1, 5, 6	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ≠ ∅)
8		sorpsscmpl 7724	. . . . . 6 ⊢ ( [⊊] Or 𝐵 → [⊊] Or {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})
9	8	ad2antll 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → [⊊] Or {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})
10		fin2i 10290	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ ({𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ≠ ∅ ∧ [⊊] Or {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})) → ∪ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})
11	2, 4, 7, 9, 10	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → ∪ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵})
12		sorpssuni 7722	. . . . 5 ⊢ ( [⊊] Or {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} → (∃𝑚 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑛 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑛 ↔ ∪ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}))
13	9, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → (∃𝑚 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑛 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑛 ↔ ∪ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}))
14	11, 13	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → ∃𝑚 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑛 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑛)
15		psseq2 4089	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴 ∖ 𝑚) → (𝑤 ⊊ 𝑧 ↔ 𝑤 ⊊ (𝐴 ∖ 𝑚)))
16		psseq2 4089	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝐴 ∖ 𝑤) → (𝑚 ⊊ 𝑛 ↔ 𝑚 ⊊ (𝐴 ∖ 𝑤)))
17		pssdifcom2 4491	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑤 ⊆ 𝐴) → (𝑤 ⊊ (𝐴 ∖ 𝑚) ↔ 𝑚 ⊊ (𝐴 ∖ 𝑤)))
18	15, 16, 17	fin23lem11 10312	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴 → (∃𝑚 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵}∀𝑛 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝐵} ¬ 𝑚 ⊊ 𝑛 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 ⊊ 𝑧))
19	1, 14, 18	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 ⊊ 𝑧)
20		sorpssint 7723	. . 3 ⊢ ( [⊊] Or 𝐵 → (∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 ⊊ 𝑧 ↔ ∩ 𝐵 ∈ 𝐵))
21	20	ad2antll 728	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 ⊊ 𝑧 ↔ ∩ 𝐵 ∈ 𝐵))
22	19, 21	mpbid 231	1 ⊢ (((𝐴 ∈ FinII ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝐵)) → ∩ 𝐵 ∈ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949   ⊊ wpss 3950  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  ∪ cuni 4909  ∩ cint 4951   Or wor 5588   [⊊] crpss 7712  Fin^IIcfin2 10274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-rpss 7713  df-fin2 10281

This theorem is referenced by:  isfin2-2  10314  fin23lem40  10346  fin2so  36475