Theorem findfvcl 37004

Description: Please add description here. (Contributed by Jeff Hoffman, 12-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
findfvcl.1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘∅) ∈ 𝑃)
findfvcl.2	⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝑃 → (𝐹‘suc 𝑦) ∈ 𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
findfvcl	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑦,𝑃   𝜑,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem findfvcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveleq 37003	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝜑 → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑃) ↔ (𝜑 → (𝐹‘∅) ∈ 𝑃)))
2		fveleq 37003	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑃) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑃)))
3		fveleq 37003	. 2 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑃) ↔ (𝜑 → (𝐹‘suc 𝑦) ∈ 𝑃)))
4		fveleq 37003	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑃) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑃)))
5		findfvcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘∅) ∈ 𝑃)
6		findfvcl.2	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝑃 → (𝐹‘suc 𝑦) ∈ 𝑃)))
7	6	a2d 30	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑃) → (𝜑 → (𝐹‘suc 𝑦) ∈ 𝑃)))
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	finds 7902	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ∅c0 4289  suc csuc 6369  ‘cfv 6543  ωcom 7871

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-tr 5224  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fv 6551  df-om 7872

This theorem is used by:  findreccl  37005