Theorem funfvima2d 39439

Description: A function's value in a preimage belongs to the image. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
funfvima2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
funfvima2d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ 𝐴))

Proof of Theorem funfvima2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvima2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	ffund 6297	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		ssidd 3843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐴)
4	1	fdmd 6302	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	3, 4	sseqtr4d 3861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
6		funfvima2 6767	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))
7	2, 5, 6	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ 𝐴)))
8	7	imp 397	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 “ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  dom cdm 5357   “ cima 5360  Fun wfun 6131  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-fv 6145

This theorem is referenced by:  imo72b2lem1  39441